L’ingénierie électorale

15Cet article s’inscrit ainsi dans une tradition d’ingénierie électorale [6] (voir par exemple Sartori [1997], Grilli di Cortona et al. [1999] et Norris [2004]). L’ingénierie électorale est une science appliquée relativement jeune mais qui plonge ses racines dans une tradition intellectuelle ancienne, au croisement entre théorie du choix social et science électorale, qui consigne et répertorie les différentes formules d’élection [7]. D’une certaine manière, la théorie du choix social et la science électorale ont en commun de mettre l’accent sur les propriétés attendues d’un mécanisme électoral (en théorie du choix social, on parlera d’axiomes) et les difficultés que l’on rencontre à exiger d’un mécanisme qu’il satisfasse une liste trop longue de propriétés. La théorie met alors en évidence les arbitrages (trade-offs), voire impossibilités, auxquels l’architecte du mécanisme est inévitablement exposé en accomplissant sa tâche de sélection. À des fins de transparence et d’éclairage, l’analyse comparative des avantages et défauts de chaque mécanisme devient alors essentielle [8].

16Dans cet article, nous employons le vocable « ingénierie électorale » pour désigner l’analyse d’un mécanisme électoral à l’aide d’une batterie de critères et d’indices mesurant chacun une dimension importante du mécanisme. Le mot peut cependant recouvrir des approches différentes qu’il convient de distinguer. De ce point de vue, trois aspects méritent d’être discutés. Tout d’abord, on doit se demander si l’analyse est théorique (y a-t-il un modèle causal qui explique analytiquement comment on passe des préférences aux sièges via les bulletins de vote ?) ou empirique (la dépendance entre les performances d’un mécanisme et les paramètres du mécanisme est-elle uniquement le reflet de régularités empiriques ?). Ensuite, dans l’éventualité où l’analyse est théorique, on doit examiner comment l’analyse causale prend en compte ou non les comportements des acteurs. Enfin, s’agissant de l’évaluation normative, on doit expliciter le ou les critères utilisés pour évaluer et mesurer les qualités des mécanismes et l’opportunité d’une réforme. Faut-il se limiter à un critère unique welfariste, cherchant à maximiser le bonheur ou l’utilité du plus grand nombre, ou envisager aussi des critères non welfaristes ?

17Le travail mené dans cet article est principalement théorique dans le sens précis où il repose sur une chaîne causale. Au départ, un mécanisme est une forme de jeu (« game form ») M qui transforme un vecteur de votes V en un vecteur de sièges S. La combinaison du mécanisme M et d’un profil de préférences ou utilités individuelles P définit un jeu non coopératif sous forme normale dont il faut analyser les équilibres V = E(M,P). Autrement dit, l’analyse d’un mécanisme passe par une étude des effets mécaniques mais aussi des effets psychologiques (pour reprendre la terminologie de Duverger) : le changement d’équilibre de V = E(M,P) à V′ = E(M′,P) peut aussi bien provenir des effets mécaniques du passage de M à M′ que de la modification du comportement des électeurs à l’équilibre. Dans notre article, nous supposons qu’il n’y a que deux types de candidats (gauche ou droite ; démocrate ou conservateur). Dans ce cas, l’effet psychologique disparaît car vote sincère et vote stratégique coïncident. En revanche dans le cas général, on ne peut faire l’impasse sur les complexités additionnelles résultant des réactions comportementales aux changements de règles du jeu.

18S’agissant de la dimension normative, notre approche, suivant en cela la science électorale, est multicritère. L’évaluation d’un mécanisme se fait à l’aune de plusieurs critères qui ne sont nullement agrégés. Cette approche doit être contrastée avec celle héritée du mechanism design et utilisée en théorie du vote (Weber [1977] ; Barberà et Jackson [2006] ; Bordley [1983] ; Chamberlin et Cohen [1978] ; Merrill [1985] ; Beisbart et Bovens [2013] ; Beisbart, Bovens et Hartmann [2005]), qui utilise un critère welfariste unique comme par exemple la valeur espérée des utilités individuelles. Le point commun entre l’approche de type « science électorale » utilisée dans cet article et l’approche mechanism design est le point de vue ex ante. L’évaluation du mécanisme se fait en effet avant de connaître le profil de préférences des électeurs. Il faut donc se doter d’un modèle décrivant la fréquence des différents profils sous la forme d’une loi de probabilité sur l’ensemble des profils de préférences.

19L’approche empirique en ingénierie électorale procède de manière différente. En lieu et place de causalités théoriques, elle identifie des régularités empiriques fortes entre les paramètres du système électoral et certains indices décrivant les conséquences du système : nombre de partis dans le paysage politique, taux de participation des femmes à la vie politique, représentation des différentes forces politiques au Parlement, corruption et responsabilité des hommes politiques… Un classique de cette approche est le livre de Taagepera et Shugart [1989]. On trouve dans la littérature récente de nombreuses publications d’ingénierie électorale portant sur des points plus particuliers. Citons notamment le travail de Carey et Hix [2011] portant sur l’impact de la district magnitude sur la disproportionnalité, le nombre de partis dans les coalitions gouvernementales ou au Parlement et la distance entre citoyens et gouvernement.

Le modèle : hypothèses et notations

20Comme les auteurs précédents, nous allons nous focaliser sur un petit nombre d’indices et mesures pour évaluer de manière pertinente les effets de la réforme de l’élection des conseillers départementaux. En préliminaire, il nous faut présenter notre modèle et nos hypothèses, qui précisent ainsi les conditions dans lesquelles nos conclusions resteront valides. Ce modèle conserve volontairement un niveau de généralité plus important que l’objet de son application empirique.

21On modélise l’élection du Parlement [9] (unicaméral) de taille R (ici fixé) d’un pays (ou territoire) N comprenant n électeurs. La chambre est composée de deux types possibles de représentants G ou D et chaque électeur i de N est décrit par sa préférence P_i. Il y a deux préférences possibles : G ou D. Un électorat est donc décrit ici par un profil de préférences : P = (P₁,…,P_n) ∈ {G,D}ⁿ.. Un mécanisme électoral (scrutin plurinominal) est une application M définie sur {G,D}ⁿ et à valeurs dans ℕ² : à tout profil P = (P₁,…,P_n) ∈ {G,D}ⁿ, il attache une décision M(P) = (r^G (P),r^D (P)) ∈ ℕ², avec r^G (P) + r^D (P) = R où r^G (P) et r^D (P) désignent respectivement le nombre d’élus de gauche et le nombre d’élus de droite dans l’assemblée.

22Dans cet article, nous allons nous intéresser à une classe de mécanismes électoraux d’un usage très répandu qui organise l’élection après avoir au préalable divisé le territoire en districts. Précisément, le mécanisme M sera décrit par deux paramètres : le découpage électoral d’une part et la formule de conversion voix/sièges utilisée dans chacun des districts. S’agissant de la première dimension, nous supposerons que la population N est partitionnée (on notera P la partition) en K districts électoraux (circonscriptions, etc.) : N = U_1≤k≤K N_k avec N_k ⋂ N_l = ∅ pour tout k,l = 1,…,K, k ≠ l. Ici N_k désigne la population d’électeurs du district k et on notera n_k la taille du district. Nous allons nous concentrer sur les mécanismes d’élection où chaque district k élit une partie de la chambre. Précisément, nous supposerons que le district k élit r_k ∈ ℕ représentants et que seuls participent à cette élection les électeurs de N_k. L’élection est donc de ce point de vue la juxtaposition de K élections locales. Les résultats des K élections locales définissent une chambre composée de membres. Étant donné un profil P, on notera n^G_k et n^D_k le nombre d’électeurs de gauche et de droite dans le district k.

23S’agissant de la seconde dimension, à savoir la conversion des voix en sièges dans chacun des districts, nous allons supposer que chaque camp (G et D) présente dans chaque district k une liste ordonnée de r_k noms. La formule convertissant dans le district k le vecteur (n^G_k,n^D_k) en un vecteur (r^G_k,r^D_k) [10] tel que r^G_k + r^D_k = r_k sera notée M_k. En résumé, la description complète du mécanisme M comprend trois termes : l’entier K, le vecteur d’entiers r = (r₁,…,r_K) et le vecteur M = (M₁,…,M_K).

24Dans cet article, nous allons nous concentrer sur les trois formules électorales suivantes :

• M¹ : scrutin majoritaire plurinominal [11] avec listes fermées [12]. La liste recevant le plus de suffrages emporte la totalité des r_k sièges.
• M² : scrutin proportionnel au plus fort reste (méthode de Hamilton). Pratiquement, on définit le quotient (de Hare) comme le nombre . Chaque camp c ∈ {G,D} reçoit autant de représentants que la partie entière de . Les résidus sont attribués au plus fort reste. Il est facile de remarquer qu’avec une magnitude 2, le seuil pour emporter le second siège est égal à 3/4 des voix.
• M³ : scrutin proportionnel à la plus forte moyenne (méthode de Jefferson-d’Hondt). On divise les scores de chaque parti par tous les entiers allant de 1 à r_k les sièges étant distribués aux partis en allant du ratio le plus fort au plus faible jusqu’à épuisement du stock de sièges. Avec une magnitude 2, le seuil pour emporter le second siège est donc égal à 2/3 des voix.

25Pour évaluer ex ante un système électoral, il convient de savoir comment il va fonctionner pour chaque situation, c’est-à-dire ici pour chaque profil qui peut se présenter. Dans certaines élections, les votants seront très divisés ou polarisés, et dans d’autres élections, on aura plus d’homogénéité. Cette information probabiliste est décrite par un modèle de tirage aléatoire π du profil P. Deux modèles dominent la littérature [13]. Le premier est connu dans la littérature anglo-saxonne sous le vocable de Impartial Culture (IC). Il correspond à la situation où les P_i résultent de tirages indépendants et équiprobables. Notons T ⊂ N l’ensemble des votants choisissant G pour un tirage particulier de P. Dans ce cas, pour tout T ⊆ N. Le second est connu sous le vocable de Impartial Anonymous Culture (IAC). Il suppose que, conditionnellement au tirage uniforme du paramètre p dans l’intervalle [0,1], les tirages des préférences individuelles sont indépendants et identiquement distribués comme des Bernoulli de paramètre p. On obtient dans ce cas : , où t ≡ #T. Comme souligné par Straffin [1977], ce processus est équivalent au tirage de la valeur de n^G (P) de manière uniforme entre 0 et n. Le modèle IAC a été originellement introduit de cette façon. Dans cet article, on considérera une version mixte entre IC et IAC identique à celle étudiée dans Le Breton, Lepelley et Smaoui [2016].

Des indices au service de l’ingénierie électorale

26L’objet principal de cette section est d’identifier à l’aide de deux indicateurs, un indice de dismajorité et un indice de disproportionnalité, quelques-uns des trade-offs qui apparaissent dans le choix d’un mode de scrutin. Cette grille d’indicateurs constitue du point de vue de l’ingénierie électorale un outil d’évaluation des qualités et défauts inhérents à tout système électoral. Une multitude d’indices alternatifs peuvent être également considérés. Implicitement, un indice de représentativité, en l’occurrence des femmes, est évidemment particulièrement pertinent dans le cadre de cet article, même si nous ne le traitons pas formellement. L’application de quotas stricts comme dans notre cas d’étude entraîne mécaniquement une réduction des disparités de représentation sur l’objet de ce quota. Il serait possible bien sûr de développer toute une famille d’indices de dissimilarité de représentation entre groupes sociaux ainsi que des indices de représentation territoriale, d’« accountability », de réactivité… Ces questions ne sont pas abordées ici mais peuvent faire l’objet de traitements similaires au prix d’un modèle plus sophistiqué [14].

Indice de dismajorité

27Rien n’interdit à un système électoral d’élire une chambre dominée, disons par une majorité de gauche, alors que l’opinion dans le pays est majoritairement à droite. Ce paradoxe a été abondamment discuté par les théoriciens du vote [15] sous diverses appellations (paradoxe du référendum, élections inversées). D’après Martin [2006], « un mode de scrutin est plus ou moins monotone selon qu’il respecte dans la répartition des sièges la hiérarchie des votes dans la répartition des voix ». Sous le vocable « concordance », Pukelsheim [2010] recense cette propriété comme une propriété intrinsèque d’une règle d’allocation des sièges (« apportionment rule »). Balinski et Young [2001] ne l’introduisent pas explicitement comme une propriété de base des méthodes d’allocation des sièges mais examinent les implications de propriétés de monotonie plus exigeantes que celle-là.

28Jusqu’à l’élection de Donald J. Trump avec 2 865 000 voix de moins que son adversaire Hillary R. Clinton en 2016, la victoire du président républicain George W. Bush, qui a recueilli moins de voix que son adversaire démocrate Al Gore lors des élections présidentielles américaines de 2000, était l’exemple le plus célèbre d’occurrence d’une élection inversée. Cette pathologie est identifiée dans cet article à l’aide d’un premier indice, I₁, que nous allons maintenant décrire.

29Considérons un scrutin électoral arbitraire M : P = {G, D}ⁿ → (r^G (P),r^D (P)) et notons [16] Maj(P) et Min(P) les partis respectivement majoritaire et minoritaire pour P, i.e. :

30

31La couleur C(r^G,r^D) d’une chambre composée de r^G députés de gauche et de r^D députés de droite est notée [17] :

32

33Nous définirons Ĩ₁(M,P) comme suit :

34

35La moyenne de cette variable aléatoire définit l’indice de dismajorité strict du mécanisme [18] M :

36

37Pour définir l’indice de dismajorité, il nous faut considérer les situations où les sièges sont partagés en parts égales entre les deux camps. Nous définirons Tie(M,P) comme suit :

38

39L’indice de dismajorité du mécanisme M est alors défini comme suit :

40

41Dans cette définition, nous avons supposé qu’en cas d’égalité des sièges, l’opinion majoritaire prévalait avec la probabilité  [19]. L’indice de dismajorité désigne donc la probabilité que la hiérarchie des sièges inverse la hiérarchie des voix. De notre point de vue, il est préférable d’avoir un mécanisme pour lequel cet indice prend une valeur aussi petite que possible. Plus I₁ (M) est grand et plus le risque d’être confronté à un traumatisme de type Bush-Gore ou Trump-Clinton est grand.

42Parmi les mécanismes avec districts, deux ont un indice minimal. C’est tout d’abord le cas du mécanisme associé à K = 1 : une seule (gigantesque) circonscription. Mais c’est aussi, à l’inverse, celui où K = n (démocratie directe) : cette fois chaque électeur siège dans une assemblée de taille gigantesque. Ce second mécanisme est irréaliste car des assemblées de trop grande taille sont inconcevables. Le premier en revanche ne l’est pas, mais il est souvent critiqué pour d’autres raisons comme par exemple le manque de proximité des représentants ainsi élus.

Indice de disproportionnalité

43Le premier indice concernait le respect de l’ordre des résultats en voix. Ce second va concerner le respect de la proportionnalité. La chambre doit refléter au mieux les poids respectifs des deux opinions ou idéologies. Comment mesurer la disproportionnalité d’une chambre ? Les politologues ont proposé de nombreux indices différents. Dans le cas général d’un paysage composé de J partis, l’indice de Gallagher [1991] est défini comme suit :

44

45où V_j et S_j désignent respectivement le pourcentage de voix et le pourcentage de sièges obtenus par le parti j. Dans le cas où J = 2, on obtient pour un mécanisme M et un profil P l’indice noté I₂ (M,P) :

46

47L’indice consiste à considérer la valeur moyenne de cette variable aléatoire ; autrement dit, l’indice de disproportionnalité du mécanisme M est défini par :

48

49On veut que cet indicateur soit le plus petit possible. Bien entendu, si P est tel que le parti minoritaire dans l’opinion est majoritaire dans l’assemblée, I₂ (M,P) est différent de 0. Par exemple, si le pourcentage de sièges obtenus par Min (P) est 60 alors que le pourcentage des voix obtenues par Min (P) est 40, alors I₂ (M,P) vaut 20 %. On trouve aussi 20 % dans le cas où le pourcentage de sièges obtenus par Min (P) est 45 alors que le pourcentage des voix obtenues par Min (P) est 25. Les deux 20 % ne sont pas tout à fait identiques : le premier est comptabilisé par I₁ (M,P) et I₂ (M,P) alors que le second l’est uniquement par I₂ (M,P).

50De nombreux autres indices ont été proposés et la littérature abonde de résultats [20]. Pour un district et une magnitude donnés, la méthode proportionnelle de Hamilton minimise l’indice de Gallagher atteint. Cela suggère qu’en retenant l’indice de Gallagher nous avons fait le choix « biaisé » implicite de mesurer la disproportionnalité par rapport à la méthode de Hamilton–Sainte-Laguë. Notons cependant que cet argument n’est que local dans le sens où d’Hondt appliqué localement peut parfois conduire à une plus petite valeur de l’indice de Gallagher que Hamilton appliqué localement. À titre d’illustration, considérons le cas de districts équipeuplés et d’une magnitude égale à 2, et supposons que la gauche fasse un score de 24 % dans la moitié des districts et un score de 70 % dans l’autre moitié. Son score global est donc de 47 %. Avec Hamilton, elle obtient 25 % des sièges et I₂ vaut donc 0,22. Alors qu’avec Jefferson-d’Hondt, elle obtient 50 % des sièges et I₂ vaut 0,03. On ne peut donc pas déduire de l’usage de l’indice de Gallagher qu’il biaise systématiquement le calcul de la disproportionnalité en faveur de Hamilton, car il existe des profils où ce n’est pas le cas. Le calcul en espérance qui dépend du modèle probabiliste retenu sera de ce point de vue critique.

Considérations préliminaires

51Le traitement analytique complet du cas général est hors de portée. Il mêle plusieurs difficultés qu’il convient de distinguer. La première difficulté prend sa source dans le fait que la situation de départ n’est pas nécessairement symétrique. Tout d’abord, le couple d’entiers (n_k,r_k) peut varier d’un district à l’autre. Si l’architecte ne peut pas redessiner la carte des districts pour que tous les districts soient équipeuplés (ou presque équipeuplés modulo une tolérance raisonnable), alors la question du choix des entiers r_k (question de l’apportionment) devient une question fondamentale qui a fait l’objet d’une littérature abondante (voir Balinski et Young [2001] et Pukelsheim [2010]). Une seconde source d’asymétrie tient au fait que le mécanisme peut varier d’un district à l’autre en fonction de paramètres exogènes : par exemple, les zones urbaines peuvent employer un mécanisme différent de celui employé dans les zones rurales.

52Ici, s’agissant de l’approche analytique, nous allons passer sous silence ces deux difficultés et nous concentrer sur le cas où R, égal à 1 ou à 2 et M_k = M pour tout k = 1,…,K où K est un entier pair. En d’autres termes, nous nous concentrerons sur le cas d’un territoire divisé en districts équipeuplés et envoyant de ce fait un nombre égal de représentants à la chambre (1 ou 2). En résumé, dans le cas d’école considéré ici, le mécanisme M est complètement décrit par : K le nombre de districts, la district magnitude r et l’une des trois formules électorales M décrites précédemment. Naturellement, dans le cas où r = 1 les trois formules coïncident. Dans ce contexte, nous allons comparer la situation de départ (avant la mise en place de la réforme) et trois situations d’arrivée (décrivant la situation après la mise en place d’une réforme). Les trois situations d’arrivée comprennent la réforme qui a été effectivement choisie en France par le législateur et deux réformes alternatives qu’il aurait pu envisager.

• Situation de départ : K districts et r_k = 1 pour tout k = 1,…,K. Les trois formules coïncident avec le mécanisme majoritaire noté ci-après M⁰.
• Situation alternative : districts et r_k = 2 tout . Les trois réformes possibles sont décrites par les trois formules électorales discutées précédemment : M¹, M² et M³. Pour évaluer les qualités et défauts des mécanismes associés à ces formules électorales, on souhaite procéder au calcul de I₁ (M) et I₂ (M) et mettre alors en évidence les trade-offs éventuels. Ces comparaisons seront conduites à l’aide de modèles probabilistes, présentés plus loin. Mais au préalable, pour se convaincre de la nécessité d’un modèle stochastique, commençons par montrer que pour i = 1,2,3, il n’est pas possible de déterminer les signes de et de indépendamment de P. Nous développons cet argument dans le cas de M¹ et M² (le cas de M³ étant très similaire à celui de M²) et K = 100.

Comparaison des mécanismes dans des cas simples

61En raison des difficultés analytiques discutées ci-dessus, nous offrons dans cette section un calcul exact de I₁ (M) et I₂ (M) pour les quatre mécanismes considérés ici dans des cas particuliers où l’analyse est possible. Du point de vue des trade-offs, ces calculs révèlent déjà des différences intéressantes entre les mécanismes. Il est cependant prématuré de déduire de cette étude particulière des principes généraux pour toute valeur de K.

62Le calcul procède en deux étapes. Dans une première étape, nous allons considérer le cas de trois districts et procéder au calcul de I₁ (M) et I₂ (M) dans le cas où la district magnitude est 1 puis dans le cas où la district magnitude est 2 pour chacune des trois formules électorales envisagées. Dans une seconde étape, nous considérons six districts et produisons les calculs de I₁ (M) et I₂ (M) pour les quatre mécanismes M considérés. Ce dernier calcul nous permet de comparer l’évolution des indices lorsque l’on passe de six districts à trois superdistricts pour chacun des mécanismes. L’analyse est menée sous l’hypothèse IAC* lorsque la population de chaque district devient infiniment grande.

63Dans la suite de cette section, nous utilisons une approximation discrète de la variable score avec un pas de 10 % [22].

Valeurs des indices avec trois districts : r = 1, r = 2

64Considérons donc en premier lieu un territoire composé de trois districts avec une district magnitude que nous prendrons égale à 1, puis à 2. L’objet de cette première étape est d’une part d’illustrer le calcul de I₁ (M) et I₂ (M) dans le cas le plus simple qui soit, et d’autre part d’offrir une première analyse de l’impact de la district magnitude sur la performance de chaque formule électorale.

65Si le calcul de I₁ (M) repose sur des techniques éprouvées [23], celui de I₂ (M) est nettement plus fastidieux car il impose la détermination préalable de la loi conjointe des variables V_G et r^G, qui, rappelons-le, désignent respectivement la proportion d’électeurs de gauche sur le territoire et le nombre de représentants de gauche au conseil du territoire. Le tableau 1 résume les résultats obtenus pour r = 1 (dans ce cas les trois mécanismes coïncident évidemment).

66La probabilité que la gauche obtienne entre 40 % et 50 % des voix sur le territoire (qui compte 3m électeurs) et un siège au conseil territorial est ainsi de 153/1000. Ce chiffre est obtenu en déterminant le volume du simplexe défini par les inégalités suivantes (où l’on a posé et supposé que m tend vers l’infini) [24] :

67

68ce qui donne 51/1000 et l’on obtient la probabilité de 153/1000 en multipliant par 3. Il y a donc une probabilité de 15,3 % pour que la gauche obtienne (en moyenne) 45 % des voix du territoire et seulement un tiers des conseillers, ce qui nous permet d’approximer un indice de disproportionnalité égal à sur l’intervalle. On peut ainsi donner une approximation de I₂ (M) de la manière suivante (en tenant compte de la symétrie du tableau 1) :

69

Tableau 1

Loi conjointe de V_G et r^G : K = 3, r = 1, M = M⁰

VG rG 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 0 9/2000 31/1000 27/500 31/1000 9/2000 0 0 0 0 0 1/8 1 0 1/2000 63/2000 51/400 153/1000 117/2000 3/750 0 0 0 3/8 2 0 0 0 3/750 117/2000 153/1000 51/400 63/2000 1/2000 0 3/8 3 0 0 0 0 0 9/2000 31/1000 27/500 31/1000 9/2000 1/8 9/2000 63/2000 171/2000 325/2000 432/2000 432/2000 325/2000 171/2000 63/2000 9/2000 1

Loi conjointe de V_G et r^G : K = 3, r = 1, M = M⁰

70Il est clair que la loi conjointe permet aussi de calculer I₁ (M) puisque la dismajorité se produit quand (par exemple) la gauche est majoritaire en voix et minoritaire en sièges. On notera que dans ce cas le calcul est exact (sous nos hypothèses probabilistes), car il ne dépend pas du pas de discrétisation. On obtient du tableau 1 :

71

72en accord avec le résultat obtenu par May [1948] et Feix et al. [2004] pour trois districts et m infini.

73Nous supposons maintenant que chaque district envoie deux représentants au conseil départemental, soit r = 2. Si le mécanisme est M¹, les probabilités du tableau 1 sont inchangées (les valeurs de r^G sont maintenant 0, 2, 4 et 6). Les indices I₁ (M¹) et I₂ (M¹) sont donc ceux que nous venons de calculer. Tel n’est plus le cas si l’on utilise les mécanismes M² ou M³.

74Considérons en premier lieu M² (proportionnelle au plus fort reste). Dans ce cas, le district k obtient 0 représentant de gauche si n^G_k < m/4, 1 représentant si m/4 ≤ n^G_k ≤ 3m/4 et 2 représentants si n^G_k > 3m/4. Appelons résultat du vote le vecteur (a,b,c) indiquant le nombre de représentants de gauche élus par chacun des districts. Les types de résultats associés à chaque valeur possible de r^G sont précisés dans le tableau 2.

Tableau 2

Configurations des résultats dans les trois districts

rG Types de résultat Nombre 0 (0,0,0) 1 1 (1,0,0) 3 2 (1,1,0) et (2,0,0) 3 et 3 3 (1,1,1) et (2,1,0) 1 et 6 4 (2,1,1) et (2,2,0) 3 et 3 5 (2,2,1) 3 6 (2,2,2) 1

Configurations des résultats dans les trois districts

75Nous sommes alors en mesure de déterminer la loi conjointe de V_G et r^G. Par exemple, la probabilité que la gauche obtienne entre 20 % et 30 % des voix sur le territoire et deux sièges au conseil est obtenue en évaluant les volumes associés aux ensembles d’inéquations définis comme suit :

76

77et

78

79qui correspondent respectivement aux types de résultats (1, 1, 0) et (2, 0, 0). Nous obtenons R pour le premier et pour le second. La probabilité recherchée est donc donnée par :

80

81Le tableau 3 résume les résultats. Le mécanisme M² réduit la disproportionnalité, puisque nous obtenons :

82

Tableau 3

Loi conjointe de V_G et r^G : K = 3, r = 2, M = M²

VG rG 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 0 71/16000 17/1600 9/16000 0 0 0 0 0 0 0 1/64 1 1/16000 163/8000 423/2000 163/8000 1/16000 0 0 0 0 0 3/32 2 0 1/2000 63/2000 239/2000 1201/160000 1/128 0 0 0 0 15/64 3 0 0 9/16000 181/8000 2129/16000 2129/16000 181/8000 9/16000 0 0 5/16 4 0 0 0 0 1/128 1201/16000 239/2000 63/2000 1/16000 0 15/64 5 0 0 0 0 0 1/16000 163/8000 423/8000 163/8000 1/16000 3/32 6 0 0 0 0 0 0 0 9/16000 17/16000 71/16000 1/64 9/2000 63/2000 171/2000 325/2000 432/2000 432/2000 325/2000 171/2000 63/2000 9/2000 1

Loi conjointe de V_G et r^G : K = 3, r = 2, M = M²

83contre 0,136 pour le mécanisme M¹… mais cet avantage se paie par une augmentation sensible du risque de dismajorité. Nous avons en effet :

84

85contre 0,125 pour M¹. Notons toutefois que cette valeur s’explique en grande partie par les situations dans lesquelles chaque camp obtient trois sièges. En effet :

86

87Nous considérons maintenant le mécanisme M³. L’analyse est identique à celle que nous avons menée pour le mécanisme M², avec cette différence que le district k obtient 0 représentant de gauche si n^G_k < m/3 (au lieu de n^G_k < m/4), 1 représentant si m/3 ≤ n^G_k ≤ 2m/3 et 2 représentants si n^G_k > 2m/3. Les résultats obtenus pour la loi conjointe V_G et r^G sont présentés dans le tableau 4.

Tableau 4

Loi conjointe de V_G et r^G : K = 3, r = 2, M = M³

VG rG 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 0 9/2000 1189/54000 559/54000 1/6000 0 0 0 0 0 0 1/64 1 0 96/10125 843/13500 57/1500 12/10125 0 0 0 0 0 3/32 2 0 0 343/27000 23/200 809/9000 1/216 0 0 0 0 15/64 3 0 0 0 7/750 406/3375 406/3375 7/750 0 0 0 5/16 4 0 0 0 0 1/216 809/9000 23/200 343/27000 0 0 15/64 5 0 0 0 0 0 12/10125 57/1500 843/13500 96/10125 0 3/32 6 0 0 0 0 0 0 1/6000 559/54000 1189/54000 9/2000 1/64 9/2000 63/2000 171/2000 325/2000 432/2000 432/2000 325/2000 171/2000 63/2000 9/2000 1

Loi conjointe de V_G et r^G : K = 3, r = 2, M = M³

88Les valeurs de I₁ (M³), Ĩ₁ (M³) et Ĩ₂ (M³) sont directement regroupées dans le tableau 5, qui présente la synthèse des résultats obtenus pour trois districts de magnitude 2.

Tableau 5

Une synthèse des valeurs des indices pour trois districts de magnitude 2

Paramètres I1 (M) Ĩ1 (M) I2 (M) K=3, r=1, M=M0 0,12500 0,12500 0,13576 K=3, r=1, M=M1 0,12500 0,12500 0,13576 K=3, r=1, M=M2 0,17187 0,01562 0,07161 K=3, r=1, M=M3 0,13888 0,00925 0,08132

Une synthèse des valeurs des indices pour trois districts de magnitude 2

89Le scrutin proportionnel à la plus forte moyenne, M³, apparaît dans le cas considéré et parmi les mécanismes étudiés comme celui qui offre le meilleur compromis [25] entre dismajorité, disproportionnalité et risque d’instabilité. Si la méthode du plus fort reste (M²) offre un léger avantage entre terme de risque de disproportionnalité, la plus forte moyenne réduit le risque de dismajorité pure et augmente modérément le risque d’instabilité par rapport à M¹.

Le passage de six districts à trois districts de magnitude 2

90On s’efforce maintenant d’évaluer l’impact du passage au scrutin binominal sur la valeur des indices I₁ (M) et I₂ (M). On considère pour cela un territoire composé au départ de six districts. Il y a m votants par district et, dans la situation initiale, chacun des districts élit un représentant à la majorité des voix. On rappelle que dans chaque district le tirage du résultat obéit à l’hypothèse IAC, et comme les tirages sont indépendants, nous sommes bien dans le cas IAC*. On commence par calculer la valeur de nos deux indices dans un tel contexte. La loi conjointe des variables V_G et r^G est précisée dans le tableau 6.

Tableau 6

Loi conjointe de V_G et r^G : K = 6, r = 1, M = M⁰

VG rG 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 0 311/4800000 931/300000 7431/800000 931/300000 31/4800000 0 0 0 0 0 1/27 1 1/120000000 2443/2500000 419682/16000000 162337/3000000 98401/8000000 1/7680 0 0 0 0 1/9 2 0 1/750000 42951/8000000 17269/200000 297071/2400000 150359/8000000 12/140625 0 0 0 2/9 3 0 0 81/4000000 21089/1500000 341209/2400000 341209/2400000 21089/1500000 81/4000000 0 0 7/27 4 0 0 0 12/140625 150359/8000000 341209/2400000 17269/200000 42951/8000000 1/750000 0 2/9 5 0 0 0 0 1/7680 98401/8000000 162337/3000000 419682/16000000 2443/2500000 1/120000000 1/9 6 0 0 0 0 0 311/4800000 931/300000 7431/800000 931/300000 311/480000000 1/27 81/1250000 15307/3750000 10227/250000 118279/750000 22293/75000 22293/75000 118279/750000 10227/250000 15307/3750000 81/1250000 1

Loi conjointe de V_G et r^G : K = 6, r = 1, M = M⁰

91On vérifiera aisément que l’on obtient (en supposant qu’avec trois représentants de chaque bord, les décisions sont tirées au sort) :

92

93On suppose ensuite que les districts sont regroupés deux par deux pour constituer trois superdistricts (le premier est constitué des districts 1 et 2, le deuxième des districts 3 et 4 et le troisième des districts 5 et 6). Chaque superdistrict a 2m électeurs qui élisent deux représentants. Les valeurs de I₁ (M) et I₂ (M) vont alors dépendre du mode de scrutin : M¹ (le scrutin de liste fermé), M² (la proportionnelle au plus fort reste) ou M³ (la proportionnelle à la plus forte moyenne). La synthèse des résultats est présentée dans le tableau 7 [26].

Tableau 7

L’évolution des indices lors du passage de six à trois districts

Paramètres I1 (M) Ĩ1 (M) I2 (M) K=6, r=1, M=M0 0,194271 0,038020 0,097246 K=6/2, r=2, M=M1 0,158333 0,158333 0,168879 K=6/2, r=2, M=M2 0,264713 0,018619 0,072623 K=6/2, r=2, M=M3 0,181344 0,013305 0,087935

L’évolution des indices lors du passage de six à trois districts

94M = M³ apparaît là encore comme le meilleur compromis : il réduit (légèrement) à la fois le risque de dismajorité et la disproportionnalité par rapport à la situation initiale (six districts, un représentant par district). Par rapport à M = M¹, il réduit significativement l’indice de disproportionnalité et accroît avec modération le risque de dismajorité/instabilité. M = M² a des vertus comparables à l’exception d’une augmentation très significative du risque d’instabilité. C’est la conséquence du seuil très permissif de 75 %. Une voie, non explorée dans cet article, serait de faire chuter en deçà de 66 % le seuil à partir duquel le vainqueur obtient deux sièges, par exemple à 60 %, 55 % ou 52 %. Nous pourrions alors examiner l’évolution des indices à mesure que le système proportionnel se rapproche de plus en plus de M = M¹, ce qui nous donnerait une vision plus fine des arbitrages possibles.

Vers un modèle géographique du vote : variations sur les modèles de Theil et Merrill

96Dans cette section, nous allons nous écarter sensiblement du cadre retenu jusqu’à présent et considérer un modèle stochastique, où, dans chaque canton k (ou, plus généralement, chaque territoire considéré dans la partition initiale si le canton n’est pas l’unité de cette partition), la variable modélisée est la proportion d’électeurs p^G_k votant à gauche dans le canton k et pour l’élection et non n^G_k, le nombre d’électeurs du canton k qui ont voté à gauche dans l’élection : est naturellement comprise entre 0 et 1. En cela, nous empruntons un chemin proche de celui suivi par Merrill dans une série d’articles sur l’estimation de certains paradoxes du vote dans le cadre du collège électoral américain (Merrill [1978a], [1978b]) et par Theil [1970] dans son étude de la relation voix-sièges et la loi du cube.

97Précisément, on suppose que les proportions d’électeurs de gauche dans chaque canton sont tirées selon une loi de probabilité décrite comme suit. On commence par considérer un vecteur gaussien latent X = N(μ,Ω) de dimension K : μ ∈ ℝ^K et Ω ∈ ℝ^K×K désignent respectivement le vecteur moyenne et la matrice de variances-covariances de X. Le vecteur X est transformé en un vecteur p^G dans [0,1]^K à l’aide de la transformation logistique ci-dessous :

98

99À l’inverse, connaissant le vecteur p, on peut retrouver, pour chaque k = 1,…, K, les valeurs de la variable X_k à l’aide de la transformation inverse [27] :

100

101Pour rendre compte, par exemple, d’une tendance départementale, on peut définir le vecteur X de la façon suivante. On considère tout d’abord un vecteur aléatoire gaussien Y de taille K + 1 dont les coordonnées sont indépendantes d’où l’on déduit le vecteur gaussien X en considérant la transformation linéaire : X_k = Y_k + Y_K+1 pour tout k = 1,…, K. La dernière variable Y_k+1 joue le rôle d’une tendance départementale commune. En notant, θ_k, λ_k les paramètres de la k^ième coordonnée pour k = 1,…,K + 1, on obtient μ_k = θ_k + θ_K+1, σ²_kk ≡ σ²_k = λ²_k + λ²_K+1 et Cov(X_k, X_l) = λ²_K+1. Il s’agit donc d’une spécification du modèle général où toutes les covariances sont supposées égales entre elles : cette hypothèse capture l’idée d’un déplacement du vote à gauche ou à droite consécutivement à un choc commun qui affecte donc dans la même direction tous les cantons. Rien n’empêche cependant de considérer à ce stade des matrices de variances-covariances plus générales où, à côté d’une covariance globale à l’échelle du département, figureraient des covariances locales capturant des interactions plus territorialisées.

102On notera que le modèle retenu ici est plus général que le modèle IAC* pour deux raisons. En premier lieu, la loi conjointe n’est plus le produit des lois marginales et nous autorise des covariances intercantonales arbitraires (en particulier différentes de zéro). Par ailleurs au niveau des lois marginales (propres à chaque canton), le modèle généralise IAC dans deux directions. D’une part, il n’est plus symétrique : par exemple, si μ_k > 0, le canton k est biaisé à gauche. D’autre part, la loi n’est plus uniforme. Si σ_k est « moyennement » grand, alors la masse de probabilité est, comme dans le cas de la loi uniforme, à peu près équitablement dispersée sur [0,1] alors que si σ_k est très petit, la masse de probabilité est concentrée autour de la moyenne comme dans le modèle IC. Si σ_k est relativement grand, alors, à l’inverse, la masse de probabilité tend à se concentrer sur les extrêmes.

103À chaque tirage du vecteur X est associé le profil (p^G₁, p^G₂,…,p^G_K), décrivant la géographie du vote à gauche canton par canton dans le département considéré. Le score p^G de la gauche dans le département est alors égal à :

104

105Pour chacun des trois mécanismes, on peut calculer le nombre de sièges r^G_k obtenus par la gauche dans le canton k et donc le nombre total de sièges r^G obtenus par la gauche dans le département : . Le vecteur (p^G,r^G) est la réalisation d’un vecteur aléatoire bivarié qui décrit la loi conjointe voix-sièges. Une détermination explicite de la densité de cette loi semble malheureusement hors de portée. Nous allons considérer dans ce qui suit une discrétisation de cette loi, le pas de discrétisation pouvant être choisi aussi petit que l’on veut. Le calcul de la loi conjointe est effectué par un simulateur programmé en R [28]. Il repose sur l’idée que si le nombre de simulations du vecteur gaussien est grand, d’après le théorème de Glivenko-Cantelli, l’histogramme empirique décrivant les différents événements élémentaires voix-sièges (en nombre fini après discrétisation) est voisin de l’histogramme exact. Plusieurs facteurs vont affecter et déterminer la géographie des votes et donc la relation voix-sièges ; il est utile de les séparer :

• l’intensité et la nature de la compétition entre les partis représentées par les lois marginales décrites ici par deux paramètres. Un canton sera intrinsèquement compétitif ou pivot lorsque la probabilité d’un petit intervalle centré sur sera élevée. Lorsque la loi marginale du district k est non biaisée, c’est-à-dire lorsque μ_k = 0, cela correspond aux cas où σ_k prend de petites valeurs ;
• l’intensité de la covariance. Il est clair qu’une forte covariance tendra à aligner les votes des différents districts et à produire des cartes plus homogènes ;
• l’intensité du malapportionment.

106Dans la suite, nous allons utiliser ce simulateur pour analyser des situations artificielles (en faisant varier le nombre de districts, les paramètres du Gaussien latent et le niveau de malapportionment) et réelles (nous nous concentrerons sur le département de l’Ariège) pour les quatre formules électorales précédemment décrites [29].

Le cas de trois districts

107Dans cette sous-section, nous laissons de côté la question du découpage électoral et du changement conséquent de formule électorale pour nous concentrer sur les possibilités offertes par le simulateur dans le cas le plus simple, cela afin de nous focaliser sur la loi conjointe et le calcul de I₁ et I₂ [30].

108Dans un premier temps, on suppose que tous les districts sont pivots, c’est-à-dire que μ = (0,0,0) et qu’il n’y a pas de problème de malapportionment (chaque district a le même poids démographique et élit un et un seul représentant). Commençons aussi par le cas où les covariances sont toutes nulles pour nous concentrer sur le rôle des variances, rôle évoqué plus haut dans la discussion de la distribution de Merrill. Le tableau 8 présente les résultats obtenus dans le cas de 10⁵ simulations, d’un pas de discrétisation égal à 10 % et d’une matrice Ω avec un écart type égal à 6 dans tous les cantons (situation dans laquelle notre modèle se rapproche d’une simulation IAC*).

Tableau 8

Estimation de la relation voix-sièges pour trois cantons, μ_k = 0, σ_k = 6

[0, 10] [10, 20] [20, 30] [30, 40] [40, 50] [50, 60] [60, 70] [70, 80] [80, 90] [90, 100] 0 0,0018 0,0240 0,0550 0,0373 0,0055 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,0000 0,0001 0,0236 0,1238 0,1652 0,0588 0,0030 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,0000 0,0000 0,0000 0,0032 0,0593 0,1638 0,1246 0,0231 0,0001 0,0000 3 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0055 0,0390 0,0575 0,0242 0,0019

Estimation de la relation voix-sièges pour trois cantons, μ_k = 0, σ_k = 6

109On voit en particulier que la probabilité que la gauche soit minoritaire et remporte cependant deux des trois sièges est voisine de 0,0593 + 0,0032 = 0,0625. Pour la droite, ce chiffre est estimé à 0,0588 + 0,0030 = 0,0618. On obtient un I₁ estimé à 0,0625 + 0,0618 = 0,1243. Pas loin de la valeur théorique de obtenue pour le modèle IAC* par Feix et al. [2004]. L’indice I₂ est quant à lui obtenu grâce au calcul suivant :

110

111Lorsque l’écart type grimpe à la valeur 10, on obtient la loi estimée présentée dans le tableau 9. La probabilité que le parti minoritaire remporte cependant deux des trois sièges est maintenant voisine de 0,0033 + 0,0425 + 0,0405 + 0,0033 = 0,0896. Soit, une très nette diminution de I₁ ! L’indice I₂ est lui aussi en diminution puisqu’on obtient après calcul I₂ = 0,1123. On remarque que certains événements négligeables avant prennent maintenant de l’importance : par exemple la probabilité que la gauche fasse moins de 10 % est désormais de l’ordre de 2 %. À l’inverse, la probabilité pour la gauche de n’obtenir aucun siège et un score entre 40 % et 50 % des voix est divisée par 4.

Tableau 9

Estimation de la relation voix-sièges pour trois cantons, μ_k = 0, σ_k = 10

[0, 10] [10, 20] [20, 30] [30, 40] [40, 50] [50, 60] [60, 70] [70, 80] [80, 90] [90, 100] 0 0,0205 0,0512 0,0400 0,0128 0,0014 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,0000 0,0021 0,0485 0,1472 0,1309 0,0405 0,0033 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,0000 0,0000 0,0000 0,0033 0,0425 0,1318 0,1467 0,0492 0,0019 0,0000 3 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0015 0,0128 0,0411 0,0503 0,0206

Estimation de la relation voix-sièges pour trois cantons, μ_k = 0, σ_k = 10

112Lorsque l’écart type tombe à la valeur , on se rapproche du modèle IC et on obtient le tableau 10. Désormais, la loi marginale des voix est concentrée sur l’intervalle [40 %, 60 %]. On voit que I₁ est estimé à 0,0808 + 0,0824 = 0,1632, proche de la valeur théorique de obtenue pour le modèle IC par Feix et al. [2004]. On observe par ailleurs une augmentation de la disproportionnalité avec un indice estimé à I₂ = 0,2164. Ces observations sont confirmées par le tableau 11 où la valeur de l’écart type tombe à et où l’on a affiné le pas de discrétisation, qui passe de 10 % à 5 %. De fait, toute la masse de probabilité est concentrée dans l’intervalle [45,55]. On en déduit bien sûr I₁ = 0,1632 et une valeur de I₂ = 0,2332.

Tableau 10

Estimation de la relation voix-sièges pour trois cantons, μ_k = 0,

[0, 10] [10, 20] [20, 30] [30, 40] [40, 50] [50, 60] [60, 70] [70, 80] [80, 90] [90, 100] 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1255 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,2936 0,0824 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0808 0,2934 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 3 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1244 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Estimation de la relation voix-sièges pour trois cantons, μ_k = 0,

Tableau 11

Zoom autour de 50 %, μ_k = 0,

[45, 50] [50, 55] 0 0,1244 0,0000 1 0,2943 0,0806 2 0,0826 0,2927 3 0,0000 0,1254

Zoom autour de 50 %, μ_k = 0,

113Dans le tableau 12, nous examinons l’impact de la covariance (avec un écart type de 10) en introduisant une corrélation uniforme et modérée. Ici le coefficient de corrélation est égal à 0,3. On voit que I₁ tombe à la valeur 0,00266 + 0,03414 + 0,034480 + 0,00322 = 0,0745. On obtient par ailleurs I₂ = 0,1169. On note que la masse de probabilité est plus étalée : par exemple la fréquence de l’événement « la gauche fait un score départemental entre 10 et 20 % sans remporter de sièges » monte à 7,7 % (elle était plus faible jusqu’à présent). Ce phénomène sera évidemment amplifié avec un coefficient de corrélation plus élevé.

Tableau 12

L’impact d’une covariance modérée : μ_k = 0, σ = 10, ρ = 0,3

[0, 10] [10, 20] [20, 30] [30, 40] [40, 50] [50, 60] [60, 70] [70, 80] [80, 90] [90, 100] 0 0,0560 0,0770 0,0492 0,0140 0,0017 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,0000 0,0025 0,0518 0,1130 0,0957 0,0345 0,0032 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,0000 0,0000 0,0000 0,0027 0,0341 0,0976 0,1143 0,0531 0,0024 0,0000 3 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0015 0,0141 0,0473 0,0769 0,0573

L’impact d’une covariance modérée : μ_k = 0, σ = 10, ρ = 0,3

114Nous considérons maintenant l’impact de biais partisans. Que se passe-t-il si par exemple l’écart type est égal à 1, les covariances sont parfaites mais le canton 2 est biaisé à gauche alors que le canton 3 est biaisé à droite avec un biais d’amplitude 0,1 ? Les résultats reportés dans le tableau 13 sont éloquents. Deux événements absorbent la quasi-totalité de la masse de probabilité : « La gauche fait entre 40 et 50 % des voix et n’obtient aucun siège » et, symétriquement, « La droite fait entre 40 et 50 % des voix et n’obtient aucun siège ». Ici l’indice I₁ est égal à 0 mais l’indice I₂ est très élevé puisque l’on obtient I₂ = 0,4127.

Tableau 13

L’impact d’un biais : μ_k = (0, 0,1, –0,1), σ = 1, ρ = 1

[0, 10] [10, 20] [20, 30] [30, 40] [40, 50] [50, 60] [60, 70] [70, 80] [80, 90] [90, 100] 0 0,0000 0,0000 0,0004 0,0534 0,4068 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,0000 0,0000 0.0000 0,0000 0,0398 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0399 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 3 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,4073 0,0521 0,0003 0,0000 0,0000

L’impact d’un biais : μ_k = (0, 0,1, –0,1), σ = 1, ρ = 1

115Nous terminons cette section en examinant les effets du malapportionment sur les deux indices. Bien que chaque canton n’élise qu’un seul représentant, leurs populations peuvent varier fortement. Nous supposons ici l’absence de biais, l’absence de covariances et une variance identique égale à 1 dans tous les cantons. Dans le cas où le premier canton est dix fois plus peuplé que les deux autres, on obtient les résultats reportés dans le tableau 14 d’où l’on déduit I₁ = 0,23 et I₂ = 0,2207. Le malapportionment augmente ici très significativement le risque de dismajorité.

Tableau 14

L’impact du malapportionment sur la relation voix-sièges n₁ = 10, n₂ = n₃ = 1

[0, 10] [10, 20] [20, 30] [30, 40] [40, 50] [50, 60] [60, 70] [70, 80] [80, 90] [90, 100] 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0112 0,1164 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0125 0,2465 0,1092 0,0035 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,0000 0,0000 0,0000 0,0043 0,1130 0,2437 0,0127 0,0000 0,0000 0,0000 3 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1178 0,0092 0,0000 0,0000 0,0000

L’impact du malapportionment sur la relation voix-sièges n₁ = 10, n₂ = n₃ = 1

116Si le problème de malapportionment est plus équilibré, disons que le premier canton est deux fois plus peuplé que les deux autres qui eux sont de taille identique, disons (52, 24, 24), la masse de probabilité se place au centre avec I₁ = 0,1806 et I₂ =0,2166.

Un cas d’école : le passage de dix districts de magnitude 1 à cinq districts de magnitude 2

117Dans la section précédente, nous avons montré comment calculer I₁ et I₂ dans le cas d’un découpage fixe du département en K cantons de magnitude 1 et de la formule électorale la plus simple : dans chaque canton, le siège à pourvoir va au vainqueur majoritaire. L’objectif était d’étudier la sensibilité de ces deux indices aux différents paramètres du modèle de Merrill dont l’interprétation avait été donnée avant : nombre de cantons pivots, paramétrage marginal en IC (σ petit) ou IAC* (σ intermédiaire) ou extrémiste (σ grand) et covariances globales et locales petites ou pas. Nous avons conduit l’exercice pour K = 3 mais il peut être répété pour n’importe quelle valeur de K.

118Dans ce paragraphe nous souhaitons faire la même chose avec une difficulté supplémentaire. Pour chaque jeu de paramètres, nous souhaitons déterminer la loi conjointe voix-sièges pour quatre formules électorales : dix cantons de magnitude 1 et formule électorale classique (M⁰), cinq districts de magnitude 2 avec les deux sièges alloués au parti majoritaire (M¹, chaque parti présentant un ticket HF), cinq districts de magnitude 2 avec les deux sièges alloués à la proportionnelle au plus fort reste (M²) et enfin cinq districts de magnitude 2 avec les deux sièges alloués à la proportionnelle à la plus forte moyenne (M³). Le calcul approximatif de cette loi est réalisé à l’aide d’une fonctionnalité plus sophistiquée du simulateur qui implique de coder le redécoupage électoral : par défaut, le premier canton fusionne avec le deuxième, le troisième avec le quatrième, etc. Ayant calculé la loi conjointe pour les quatre configurations considérées, il devient ensuite facile d’en déduire les valeurs de I₁ et I₂.

119Nous pourrons ainsi évaluer les conséquences sur I₁ et I₂ de la réforme électorale, et les conséquences sur I₁ et I₂ des deux réformes électorales alternatives qui auraient pu être envisagées en lieu et place du scrutin binominal finalement retenu. Nous conduisons l’analyse dans le cas du passage de 10 à 5 mais la même méthode pourrait être retenue pour n’importe quelle autre valeur de K. Par ailleurs, nous allons nous limiter, pour coller au plus près à IAC*, à une situation très symétrique : tous les cantons sont pivots, pas de malapportionment, pas de covariance et une variance un peu plus élevée que IAC*.

120La situation avant réforme (formule M⁰) est présentée dans le tableau 15. Si on laisse de côté le cas de l’égalité des sièges, on obtient que Ĩ₁ vaut 0,0283 + 0,0016 + 0,0015 + 0,0276 = 0,0590. Le calcul de I₂ donne une estimation égale à 0,0827. La probabilité d’une égalité en sièges vaut 0,0025 + 0,1193 + 0,1200 + 0,0024 = 0,2442.

Tableau 15

La loi conjointe voix-sièges pour dix cantons, σ = 6

[0, 10] [10, 20] [20, 30] [30, 40] [40, 50] [50, 60] [60, 70] [70, 80] [80, 90] [90, 100] 0 0,0000 0,0001 0,0006 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,0000 0,0001 0,0038 0,0058 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,0000 0,0000 0,0035 0,0334 0,0081 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 3 0,0000 0,0000 0,0007 0,0506 0,0633 0,0016 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 4 0,0000 0,0000 0,0000 0,0228 0,1558 0,0283 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0025 0,1193 0,1200 0,0024 0,0000 0,0000 0,0000 6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0276 0,1554 0,0226 0,0000 0,0000 0,0000 7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0015 0,0646 0,0509 0,0007 0,0000 0,0000 8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0076 0,0318 0,0037 0,0000 0,0000 9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0055 0,0039 0,0000 0,0000 10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0006 0,0001 0,0000

La loi conjointe voix-sièges pour dix cantons, σ = 6

121Avec le passage à cinq districts, en regroupant les cantons deux par deux (formule M¹), on obtient la loi conjointe présentée dans le tableau 16. La probabilité d’ex aequo est désormais égale à 0. L’indice Ĩ₁ vaut 0,0816 + 0,0036 + 0,0010 + 0,0813 + 0,0036 + 0,0006 = 0,1717. Il a presque triplé (on ignore dans cette comparaison les possibilités d’égalité en sièges qui peuvent se produire dans la situation initiale). La proportionnalité se détériore elle aussi puisque l’on obtient I₂ = 0,1338.

Tableau 16

La loi conjointe voix-sièges pour cinq cantons après fusion, σ = 6

[0, 10] [10, 20] [20, 30] [30, 40] [40, 50] [50, 60] [60, 70] [70, 80] [80, 90] [90, 100] 0 0,0000 0,0001 0,0057 0,0211 0,0040 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1 0.0000 0,0000 0.0030 0,0673 0,0841 0,0036 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,0000 0,0000 0,0000 0,0267 0,2035 0,0816 0,0010 0,0000 0.0000 0.0000 3 0.0000 0,0000 0,0000 0,0006 0,0813 0,2020 0,0272 0,0000 0,0000 0,0000 4 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0036 0,0842 0,0661 0,0029 0,0000 0,0000 5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0038 0,0208 0,0058 0,0001 0,0000

La loi conjointe voix-sièges pour cinq cantons après fusion, σ = 6

122Dans le cas de la proportionnelle au plus fort reste (formule M²), on obtient le tableau 17. La probabilité d’ex aequo est très élevée puisqu’elle vaut maintenant 0,0149 + 0,1912 + 0,1905 + 0,0137 = 0,4103. Il ne faut cependant pas trop s’attarder sur ce point. Comme nous l’avons déjà souligné, il s’agit d’un artefact de la magnitude de 2 qui donne un intervalle de représentation très élevé. S’agissant de Ĩ₁, on obtient 0,0254 + 0,0001 + 0,0251 + 0,0001 = 0,0507. La valeur de I₂ est quant à elle de 0,0623.

Tableau 17

La loi conjointe pour cinq cantons après fusion, plus fort reste, σ = 6

[0, 10] [10, 20] [20, 30] [30, 40] [40, 50] [50, 60] [60, 70] [70, 80] [80, 90] [90, 100] 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,0000 0,0000 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,0000 0,0000 0,0035 0,0046 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 3 0.0000 0,0000 0,0039 0,0400 0,0153 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 4 0,0000 0,0000 0,0008 0,0561 0,1448 0,0254 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0149 0,1912 0,1905 0,0137 0,0000 0,0000 0,0000 6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0251 0,1433 0,0572 0,0007 0,0000 0,0000 7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0158 0,0394 0,0040 0,0000 0,0000 8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0047 0,0036 0,0001 0,0000 9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0001 0,0000 10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

La loi conjointe pour cinq cantons après fusion, plus fort reste, σ = 6

123Dans le cas où l’allocation s’effectue à la proportionnelle à la plus forte moyenne (formule M³), on obtient la loi conjointe du tableau 18. La probabilité de l’égalité des sièges est de 0,0010 + 0,1364 + 0,1357 + 0,0009 = 0,2740. La valeur de Ĩ₁ après exclusion des situations d’ex aequo vaut alors 0,0165 + 0,0001 + 0,0170 + 0,0001 = 0,0337. Celle de I₂ vaut 0,0704.

Tableau 18

La loi conjointe pour cinq cantons après fusion, plus forte moyenne, σ = 6

[0, 10] [10, 20] [20, 30] [30, 40] [40, 50] [50, 60] [60, 70] [70, 80] [80, 90] [90, 100] 0 0,0000 0,0001 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,0000 0,0000 0,0033 0,0018 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,0000 0,0000 0,0046 0,0279 0,0015 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 3 0,0000 0,0000 0,0006 0.0615 0,0463 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 4 0,0000 0,0000 0,0000 0,0234 0,1752 0,0165 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0010 0,1364 0,1357 0,0009 0,0000 0,0000 0,0000 6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0170 0,1752 0,0241 0,0000 0,0000 0,0000 7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0463 0,0617 0,0005 0,0000 0,0000 8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0014 0,0265 0,0042 0,0000 0,0000 9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0037 0,0014 0,0001 0,0000 10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0000 0,0000

La loi conjointe pour cinq cantons après fusion, plus forte moyenne, σ = 6

124Le tableau 19 résume les valeurs des indices obtenues pour les différentes règles de vote.

Tableau 19

Valeurs des indices : passage de K = 10 à K = 5

M0 M1 M2 M3 I1 0,1811 0,1717 0,2558 0,1707 Ĩ1 0,0590 0,1717 0,0507 0,0337 I2 0,0827 0,1338 0,0623 0,0704

Valeurs des indices : passage de K = 10 à K = 5

125Une fois encore, le scrutin proportionnel à la plus forte moyenne, M³, apparaît offrir un meilleur compromis. Si la méthode du plus fort reste M² domine marginalement la méthode de la plus forte moyenne du point de vue de la disproportionnalité, elle est très nettement dominée par cette dernière s’agissant du risque d’instabilité.

Le cas de l’Ariège

126Nous terminons ces premiers calculs des indices I₁ et I₂ par l’étude liminaire d’un cas concret, celui du département de l’Ariège. Ce département est peu peuplé et principalement rural : les deux principales villes (Foix et Pamiers) ne dépassent pas respectivement 10 000 et 15 000 habitants. Avant la réforme du mode de scrutin et le redécoupage qui l’accompagne, l’Ariège comptait vingt-deux cantons. Le tableau 20 résume les dernières données démographiques disponibles (2013).

Tableau 20

Démographie cantonale de l’Ariège avant redécoupage

Anciens cantons Population (2013) Anciens Cantons Population (2013) 1. Ax-Les-Thermes 3 014 12. Pamiers-ouest 11 035 2. La Bastide-de-Sérou 2 147 13. Querigut 528 3. Les Cabannes 2 593 14. Sainte-Croix-Volvestre 2 092 4. Castillon 2 969 15. Saint-Girons 10 437 5. Foix-Ville 9 885 16. Saint-Lizier 7 389 6. Le Fossat 6 530 17. Saverdunt 11 412 7. Lavelanet 12 854 18. Tarascon 8 912 8. Le Mas d’Azil 4 204 19. Varilhes 10 285 9. Massat 1 891 20. Vicdessos 1 419 10. Mirepoix 13 285 21. Foix-rural 11 068 11. Oust 3 056 22. Pamiers-est 15 032

Démographie cantonale de l’Ariège avant redécoupage

127On voit que le problème du malapportionment était bien présent dans ce département. Le ratio des populations des plus grand et plus petit cantons vaut 28,47. Le nouveau découpage prévoit treize cantons, dont les données démographiques sont présentées dans le tableau 21. L’écart du plus gros au plus petit vaut désormais 2,06 [31]. Le problème de malapportionment n’a pas complètement disparu mais a été sérieusement amoindri…

Tableau 21

La nouvelle démographie cantonale de l’Ariège

Nouveaux cantons Population (2013) 1. Haute-Ariège 6 717 2. Arize-Lèze 10 734 3. Couserans est 9 618 4. Couserans ouest 10 882 5. Foix 13 838 6. Mirepoix 13 285 7. Pamiers 1 12 465 8. Pamiers 2 13 641 9. Pays d’Olmes 13 155 10. Portes d’Ariège 12 803 11. Portes du Couserans 9 481 12. Sabarthès 11 846 13. Val d’Ariège 13 573

La nouvelle démographie cantonale de l’Ariège

128Outre la faible valeur de K, notre choix de l’Ariège trouve sa motivation dans une préoccupation pratique que nous décrivons maintenant. Dans la double opération consistant d’une part à résoudre le problème de malapportionment et d’autre part à diviser approximativement par deux le nombre de cantons, il se peut que des communes qui étaient ensemble avant ne le soient plus ensuite. S’agissant des cantons urbains, le phénomène n’est pas à écarter non plus, même si les zones urbaines sont relativement stables entre elles, car l’équilibre démographique urbain-périurbain peut lui avoir connu des modifications importantes.

129Ce point d’apparence mineure pose un problème pratique ici car les unités de base dans notre simulateur sont les cantons de départ et la commande suppose que les cantons se regroupent par deux, trois ou plus pour former des supercantons. Cela suppose implicitement que les communes restent appariées. Si ce n’est pas le cas (ce n’est jamais le cas), il y a deux réactions possibles. Prendre comme unité de base la commune au lieu du canton. Cela pose un gros problème calculatoire, car pour l’Ariège K passerait de la valeur 22 à la valeur 332 ! L’autre réaction, suivie ici, consiste à rechercher une partition plus fine que celle des cantons et qui permette, après regroupement intelligent, de retrouver la nouvelle structure cantonale en appliquant deux fois de suite le simulateur (une première fois sur l’attribution des nouvelles unités aux cantons et une seconde fois aux supercantons). Nous avons choisi d’appeler « terroirs » ces nouvelles unités parfois un peu plus petites que les cantons. Dans le cas de l’Ariège, la plus grosse partition qui remplit les conditions requises correspond à une valeur de K égale à 29. En effet, l’ancien canton 15 (Saint-Girons) a été affecté en partie au nouveau canton 3 et au nouveau canton 4, l’ancien canton 18 aux nouveaux cantons 1 et 12, l’ancien canton 19 aux nouveaux cantons 7 et 13, l’ancien canton 21 aux nouveaux cantons 5, 9, 12 et 13, et l’ancien canton 22 aux nouveaux cantons 8 et 10. La partition à considérer ne dépasse donc que de 7 unités le nombre d’anciens cantons.

130Le tableau 22 liste les vingt-neuf terroirs, leur population, et précise leur rattachement aux supercantons (nouveaux cantons). La deuxième colonne fait référence aux anciens cantons et la dernière aux nouveaux cantons.

Tableau 22

Le découpage de l’Ariège en vingt-neuf « terroirs »

Numéro terroir Ancien canton Population Rattachement 1 canton 1 3 014 canton 1 2 canton 2 2 147 canton 3 3 canton 3 2 593 canton 1 4 canton 4 2 969 canton 4 5 canton 5 9 885 canton 5 6 canton 6 6 530 canton 2 7 canton 7 12 854 canton 9 8 canton 8 4 204 canton 2 9 canton 9 1 891 canton 3 10 canton 10 13 285 canton 6 11 canton 11 3 056 canton 3 12 canton 12 11 035 canton 7 13 canton 13 528 canton 1 14 canton 14 2 092 canton 11 15 partie du canton 15 2 524 canton 3 16 partie du canton 15 7 913 canton 4 17 canton 16 7 389 canton 11 18 canton 17 11 412 canton 10 19 partie du canton 18 582 canton 1 20 partie du canton 18 8 330 canton 12 21 partie du canton 19 1 430 canton 7 22 partie du canton 19 8 855 canton 13 23 canton 20 1 419 canton 12 24 partie du canton 21 3 952 canton 5 25 partie du canton 21 301 canton 9 26 partie du canton 21 2 097 canton 12 27 partie du canton 21 4 718 canton 13 28 partie du canton 22 13 641 canton 8 29 partie du canton 22 1 391 canton 10

Le découpage de l’Ariège en vingt-neuf « terroirs »

131En utilisant les poids (populations) indiqués pour chaque terroir, nous avons pu calculer nos indices I₁ et I₂ avec différents jeux de paramètres. À des fins d’illustration, nous nous sommes limités ici au cas où tous les terroirs sont politiquement équilibrés, avec absence de covariance et un écart type égal à 6. Les résultats sont consignés dans le tableau 23 [32]. Comme dans la sous-section précédente, M⁰ renvoie à l’ancien système électoral, M¹ au nouveau, M² et M³ aux alternatives proportionnelles que nous avons envisagées. Le nouveau système électoral induit une détérioration de l’indice de disproportionnalité mais d’une amplitude moindre que celle estimée dans le cas des situations artificielles sans problème de malapportionment examinées dans les sections « Le passage de six districts à trois districts de magnitude 2 » et « Un cas d’école : le passage de dix districts de magnitude 1 à cinq districts de magnitude 2 » [33].

Tableau 23

Estimation des indices pour l’Ariège (σ_k = 6, μ_k = 0)

M0 M1 M2 M3 I1 0,2454 0,1937 0,1882 0,1445 Ĩ1 0,1594 0,1937 0,0884 0,0696 I2 0,0629 0,0781 0,0405 0,0457

Estimation des indices pour l’Ariège (σ_k = 6, μ_k = 0)

132En cela, on retrouve les conclusions du cabinet Liegey Muller Pons évoquées dans Le Monde du 1^er mars 2015. L’indice de dismajorité du nouveau système électoral s’améliore de manière non négligeable, ainsi d’ailleurs que celui des deux formules électorales alternatives. La réduction du problème du malapportionment et l’élimination des possibilités d’ex aequo expliquent sans nul doute cette évolution. Comme dans les sections précédentes mais à un degré moindre, le mécanisme M³ semble dominer les trois autres du point de vue des trois indices : la légère perte par rapport à M² sur le dernier indice est compensée par le gain sur les deux autres. Bien entendu, si l’attention est portée prioritairement sur l’instabilité mesurée par la possibilité d’égalité parfaite dans le partage des sièges, alors la formule M¹ s’impose sans discussion.

133Il est cependant difficile d’isoler l’impact de la réforme proprement dite (division par deux du nombre de districts et adoption d’une district magnitude de 2) car les valeurs obtenues pour M¹ dans notre tableau intègrent à la fois les effets de la réforme et ceux de la correction du problème de malapportionment.

134Comme nous l’avons déjà indiqué, faute d’une estimation économétrique poussée, il est difficile de dire quelles sont les valeurs des paramètres de Merrill les plus adaptées à la situation de l’Ariège [34]. Le calibrage du simulateur sur les données électorales réelles reste assurément la prochaine étape de cette recherche.