Introduction

1Le 11 septembre 2006, s’est ouvert au tribunal correctionnel de Paris le procès dit des faux électeurs. En effet, lors des élections municipales de 1989, Jacques Dominati fut élu maire du 3^e arrondissement de Paris au premier tour avec seulement 20 voix d’avance. Il s’avère que 327 électeurs parisiens avaient été débauchés de leurs arrondissements de résidence pour s’incrire sur les listes du 3^e arrondissement. En « déplaçant » artificiellement des électeurs d’une juridiction vers une autre, Jacques Dominati a ainsi réussi à manipuler avec succès une règle de vote.

2Cet exemple illustre une faille des procédures de vote indirectes, qui supposent que la décision collective est prise par une assemblée de représentants élus dans différentes juridictions. Ainsi, deux répartitions différentes des mêmes électeurs entre les circonscriptions électorales peuvent donner deux résultats différents. Un autre exemple est celui des élections américaines en 2000 : George W. Bush fut élu avec une avance de seulement 537 voix dans l’État clef de Floride, alors qu’il avait recueilli moins de suffrages que son adversaire au niveau national. Il aurait suffi que 538 électeurs démocrates décident de s’inscrire sur les listes de Floride pour qu’Al Gore remporte cet État et devienne président des États-Unis. Il est certes peu probable que les électeurs se déplacent d’eux-mêmes d’une juridiction vers une autre pour peser sur le résultat final [1], mais il est courant que les hommes politiques manipulent les élections en modifiant les frontières des circonscriptions électorales. La classe politique américaine est ainsi passée maître dans l’art du découpage électoral, puisque sur 435 circonscriptions législatives, seule une trentaine est jugée compétitive. Nous renvoyons le lecteur au livre récent de Michel Balinski [2004] et au site www. nationalatlas. org pour découvrir les formes étranges des circonscriptions américaines (entre autres, Arizona 2, Georgie 13, etc.).

3Les avantages du vote indirect sont cependant connus : l’élu est plus proche de ses électeurs, et contrairement aux élections à la proportionnelle, il ne doit pas son statut à sa capacité à négocier une bonne place dans une liste. Une question légitime concerne alors l’existence de modes de scrutin indirects qui garderaient ces avantages sans pour autant être manipulables par le jeu des découpages. L’approche axiomatique de la théorie du choix social semble être le cadre désigné pour tenter d’y répondre et cet article va l’utiliser pour illustrer la difficulté de concilier le principe du vote indirect avec le principe de non-manipulation.

4Après l’ouvrage pionnier d’Arrow [1963], May [1952] a obtenu un premier résultat positif consistant en la caractérisation axiomatique de la règle de la majorité entre deux options. C’est la seule méthode qui soit à la fois neutre (aucune option n’est privilégiée), anonyme (aucun votant n’est privilégié) et monotone (une voix supplémentaire pour un candidat au dépend de l’autre lui permet de briser en sa faveur une égalité). En abandonnant l’hypothèse d’anonymat, Murakami [1966], Fine [1972] et Fishburn [1973] ont décrit avec précision les règles neutres et monotones comme un emboîtement de décisions prises à la majorité. On doit les premiers résultats sur la non-manipulabilité du vote indirect aux travaux de Laffond et Lainé [1999, 2000], Chambers [2003], Bervoets et Merlin [2006] [2] et Perote Peña [2005]. En particulier, ces trois dernières contributions s’attachent à cerner avec des hypothèses différentes le conflit qui existe entre vote indirect et non-manipulabilité. En reprenant le cadre d’analyse de Bervoets et Merlin [2006], nous allons présenter un résultat nouveau dans cette littérature : une règle de vote indirect qui est stable face aux déplacements des électeurs, et qui vérifie le principe selon lequel ne peuvent être élus que des candidats ayant reçu au moins une voix, doit traiter les candidats selon un ordre de priorité particulier. Autrement dit, la non-manipulation n’est obtenue qu’en abandonnant d’une manière radicale le traitement égal entre les candidats.

5Après avoir présenté les notations et les définitions du modèle, le cœur de l’article sera consacré à l’exposé de deux conditions normatives, la stabilité et la représentativité minimale, et à la caractérisation des règles de Priorité. Les preuves sont regroupées en annexe tandis que la section finale ouvre la discussion sur de possibles prolongements.

Notations et définitions

6L’ensemble fini des candidats est désigné par l’ensemble fini des électeurs est donné par avec et est l’ensemble fini des juridictions avec On supposera que

7On appelle ? une fonction de partition de N dans Formellement, avec et Dans ce qui suit, on considérera des fonctions de partition dans ?, défini comme l’ensemble de toutes les partitions telles que i.e. telles qu’aucune juridiction n’est vide. Puisque il y a au moins une juridiction qui contient deux électeurs.

8Les électeurs sont équipés d’une relation d’ordre linéaire R_i sur A, c’est-à-dire d’une relation binaire qui est transitive, complète et antisymétrique. Ils votent pour un candidat unique de A dans la juridiction dans laquelle ils résident et sont libres de choisir leur candidat favori ou non. En revanche, pour l’étude qui suit, on suppose que, lorsqu’ils changent de juridiction, les électeurs votent pour le même candidat. En effet, l’objectif de cet article n’est pas d’étudier la manipulation au sens de Gibbard [1973] et Satterthwaite [1975] (pour laquelle les électeurs changent de vote) mais bien les manipulations par mouvement des électeurs.

9L’expression désigne un profil de vote, qui est un vecteur de dimension n dont la i^eme coordonnée indique le vote de l’individu i, que l’on notera De même, pour tout sous-ensemble S de N, désigne la restriction de ? à S.

10Lors d’une élection, la j^eme juridiction J_j élit un vainqueur juridictionnel à travers la fonction de choix social f_j :

11

12On notera que f_j est définie pour des tailles de population quelconques mais réalisables (comprises entre 1 au minimum et au maximum). On impose la condition suivante sur les fonctions

13Définition 1. Souveraineté juridictionnelle. Si et alors

14Le résultat d’une élection dans la région J_j est ainsi indépendant de ce qui se passe dans les juridictions voisines. L’ensemble des fonctions de choix social satisfaisant la Souveraineté juridictionelle est noté

15Les m vainqueurs juridictionnels génèrent un profil de vote que l’on appelle un profil fédéral. La fédération élit ensuite son vainqueur final à l’aide de la fonction de choix social g définie comme suit :

16

17Une constitution fédérale est donnée par le -uplet avec Pour une constitution donnée, le vainqueur fédéral sera désigné par :

18

19Remarque 1. Bien que les fonctions f_j et g sont des fonctions de choix social, leur combinaison dans une procédure en deux étapes ne génère pas une fonction de choix social. En effet, une fonction de choix social a pour seul argument les choix des électeurs tandis que la recherche du vainqueur pour une constitution fédérale requiert de connaître la partition des électeurs en plus de leurs choix.

20L’exemple suivant illustre la sensibilité des règles de vote des constitutions fédérales au découpage électoral. Posons et et Supposons de plus que la règle de la majorité soit appliquée pour f₁, f₂, f₃ et g, et désigne toujours a comme vainqueur en cas d’égalité. Considérons le profil de vote où les individus 1 à 3 votent pour a, tandis que les individus 4 et 5 votent pour b. La partition ? est telle que et Ainsi, le vainqueur en J₁ est a, tandis que le vainqueur en J₂ et J₃ est b, donc Ainsi, Considérons maintenant telle que et Dans ce cas, le vainqueur en J₁ et J₂ est a, tandis que b gagne en J₃. Ainsi, et

Propriétés et résultats

21On définit ici quelques propriétés que l’on peut souhaiter imposer sur les différentes fonctions de choix social.

22Axiome 1. Représentativité minimale (rm). Pour tout ?, ? et tel que et tel que

23Autrement dit, pour chacune des règles de vote, il est impossible que le vainqueur n’ait reçu aucune voix. L’axiome rm implique l’axiome d’unanimité à la fois sur les fonctions f_j et sur g (l’axiome d’unanimité impose qu’un candidat recevant l’unanimité des voix soit élu).

24Définition 2. Manipulabilité individuelle. tels que et

25La Manipulabilité individuelle dit qu’il existe une situation électorale telle qu’un électeur isolé, en choisissant une juridiction plutôt qu’une autre, peut changer, en sa faveur et à lui seul, le résultat de l’élection. Cette propriété est évidemment extrêmement indésirable puisqu’elle permet de concentrer beaucoup de pouvoir entre les mains d’un électeur. On demandera donc par la suite à ce qu’une constitution fédérale soit non individuellement manipulable.

26Axiome 2. Stabilité.

27L’axiome de Stabilité traduit une idée très forte de la non-manipulabilité. En effet, celui-ci requiert non seulement qu’un individu isolé ne puisse pas changer le résultat de l’élection, il requiert également que ce soit vrai pour toute coalition d’électeurs qui souhaiteraient se déplacer. Enfin, la stabilité est une condition toujours plus forte puisqu’elle ne considère pas seulement des changements de vainqueurs qui seraient bénéficiaires aux électeurs de la coalition, mais tout changement quel qu’il soit. Par définition, cet axiome implique que le résultat de l’élection devrait être indépendant de la partition des individus. Ainsi la condition de Stabilité fait coïncider la composée de deux fonctions de choix social avec une fonction de choix social (cf. Rq. 1).

28Théorème 1. Pour tout ensemble de candidats A, une constitution C est instable si et seulement si elle est individuellement manipulable [3].

29Il peut sembler indésirable qu’une coalition d’électeurs qui ne changent pas leur vote, mais changent de juridiction, puisse inverser le résultat d’une élection. Cependant, si cette idée peut être acceptée dans certaines circonstances, il paraît en revanche plus difficile d’accepter l’idée que le résultat de cette élection ne dépende que de la localisation d’un seul individu. Le théorème 1 dit que ces deux implications sont en fait équivalentes. Pour cette raison, nous nous attarderons uniquement sur la condition de stabilité qui est plus simple à manier.

30Soit tels que l’ensemble des options présentes dans le profil ?. On définit de la même manière et

31Définition 3. On dit que a domine b, que l’on notera si pour tout profil de vote ? tel que

32Lorsque a domine b, b ne peut jamais remporter l’élection dès que a reçoit au moins une voix.

33Proposition 1. C satisfait Stabilité et Représentativité minimale (rm) si et seulement si pour toute paire d’options ou

34Proposition 2. Si C satisfait Stabilité et rm, alors ? est transitive, i.e. si et alors

35D’après les propositions 1 et 2 (voir les preuves en annexe), la relation ? est transitive et complète. Elle est par ailleurs antisymétrique. Par conséquent ? est un ordre linéaire, nous permettant de classer les différentes options par ordre de priorité, dès lors qu’une constitution fédérale satisfait à la fois Stabilité et rm. Ainsi par la suite nous supposerons que

36Définition 4. Pour tout .

37 est l’option de A qui possède la plus haute priorité d’après la relation ?.

38Définition 5. Une constitution fédérale C est une règle de Priorité si, et seulement si, il existe un ordre linéaire ? sur X et

39– 

40– .

41Une règle de Priorité est donc une règle qui détermine le vainqueur de l’élection uniquement en sélectionnant, parmi tous les candidats ayant reçu au moins une voix, celui qui a la plus haute priorité.

42Théorème 2. C’est une Constitution satisfaisant Stabilité et rm si et seulement si c’est une règle de Priorité, i.e. il existe un ordre ? sur X tel que

43Comme nous l’indique ce théorème (voir la preuve en annexe), dès lors que l’on souhaite associer des procédures de vote indirectes revêtant des caractéristiques démocratiques minimales à des propriétés de non-manipulation, on se trouve confronté à une impossibilité. En effet, pour assurer la non-manipulabilité des règles de vote, il est nécessaire de renoncer soit à la représentativité minimale, soit à la neutralité par rapport aux candidats.

Conclusion

44Dans cet article, nous avons montré qu’interdire les manipulations par mouvement des électeurs conduisait à une impasse. Les seules règles stables et représentatives sont les règles de Priorité, qui violent un certain nombre de principes démocratiques. Chambers [2003] a également proposé une caractérisation des règles de Priorité, avec cependant des hypothèses plus fortes que les nôtres. D’abord, il suppose que les règles f_j sont toutes identiques à g. Ensuite, il impose l’anonymat sur ces fonctions. Enfin, ses preuves utilisent abondamment le fait que le nombre de votants comme le nombre de circonscriptions sont variables, tandis qu’ils sont fixes ici.

45Nos analyses présentent cependant deux limites. Premièrement, l’expression des préférences se limite au vote pour une seule option. Que se passe-t-il lorsque les individus peuvent inscrire sur leur bulletin de vote l’ensemble de leurs préférences ? Perote-Peña [2006] montre alors que le conflit entre anonymat et neutralité persiste dans un cadre un peu différent. Deuxièmement, nous n’imposons aucune contrainte sur les tailles des différentes juridictions. L’intérêt des travaux de Laffond et Lainé [1999, 2000] est justement de contraindre la taille des juridictions en supposant que deux circonscriptions ont au plus deux votants d’écart. Leur résultat d’impossibilité s’applique alors aux règles de type Condorcet et aux classements par points. Là aussi, la difficulté de concilier non-manipulation et vote indirect s’impose.

46Une solution serait alors d’affaiblir les conditions de Représentativité minimale et de Stabilité. L’affaiblissement de l’axiome rm est abondamment discuté dans Bervoets et Merlin [2006]. Ne considérer le principe d’unanimité que sur les règles f_j, ou même ne l’appliquer que lorsqu’une juridiction ne comporte qu’un candidat, permet certes de décrire de nouvelles règles stables, mais aucune n’est satisfaisante. Reste alors la question de l’affaiblissement de la stabilité, qui est une condition forte dans la mesure où elle suppose que, pour tout profil de vote, toute répartition des votants doit être un équilibre de Nash dans un jeu pour lequel les stratégies consistent en un choix de juridiction où voter. On pourrait se contenter de chercher le nombre de profils et de partitions qui sont stables pour des constitutions données, de manière à les classer selon leur degré décroissant de stabilité ; c’est l’approche par la probabilité des paradoxes des votes (pour une présentation, voir le livre de Gehrlein [2006]). Une autre piste serait d’étudier des critères de stabilité moins contraignants. Si la stabilité requiert que toutes les partitions sont des équilibres de Nash pour tout profil, il suffirait qu’il existe au moins une partition stable pour chaque profil pour qu’un planificateur bienveillant puisse l’imposer et assurer ainsi une forme limitée de stabilité au système politique.

47Il semble que l’élection de Georges W. Bush, ainsi que les débats sur la constitution européenne aient créé une incitation à s’intéresser aux propriétés normatives des élections indirectes. Les premiers résultats, dans la tradition des recherches en théorie du choix social, sont des théorèmes d’impossibilité ou s’en approchent. Il reste cependant de nombreuses études à mener, pour mieux comprendre les différents modes de scrutin indirects qui sont utilisés de par le monde.