Synthèse et analyse conceptuelles

14 Afin de saisir le rôle des constantes physiques universelles, considérons le cas particulier de la constante de Planck ?. Elle fut d’abord introduite en physique à travers la relation de Planck-Einstein, E = ??. Cette relation est habituellement interprétée comme associant une énergie E à la pulsation ? d’un phénomène physique. La connexion ainsi établie entre un concept de la mécanique des particules, l’énergie d’une entité discrète, et un concept de la théorie ondulatoire, la pulsation, conduit à l’idée de dualité onde-particule en physique quantique et, ultérieurement, à la philosophie de la complémentarité. Une pareille interprétation était tout à fait naturelle dans les premiers temps de la théorie quantique, lorsqu’il s’agissait de construire une nouvelle théorie, encore inconnue, à partir des anciennes théories classiques. Dualité et complémentarité remplissaient la fonction fort utile d’autoriser les physiciens à utiliser autant que possible les concepts classiques dans le domaine quantique, tout en tenant compte de leurs limites de validité, telles que ces principes généraux les imposaient. De cette manière, maints résultats quantiques ont été obtenus, ou du moins compris qualitativement, sans qu’on ait à utiliser une théorie quantique pleinement constituée, qui restait encore à développer. La majorité des travaux théoriques de Bohr constitue une magnifique illustration de cette façon de voir. Cependant, il faut aujourd’hui reconnaître que la théorie quantique existe bel et bien et que, après cinquante ans de pratique collective, ses concepts se trouvent profondément enracinés dans le sens commun professionnel des physiciens. Ces concepts n’ont plus besoin d’être approchés à partir des notions classiques, mais peuvent et doivent être pris pour ce qu’ils sont [11]. Cette compréhension d’emblée quantique amène à reconnaître que les objets de la physique quantique ne sont pas ou bien des ondes ou bien des particules, comme la notion de « dualité onde-corpuscule » voudrait le faire croire. Ce ne sont ni des ondes ni des particules, même s’ils exhibent, dans certaines circonstances très particulières, deux types de comportement limites comme ondes (classiques) ou particules (classiques). On a proposé de souligner ce point ontologique en les appelant « quantons » ou « partiqules ». Il est peut-être trop tard pour changer la terminologie, mais il conviendrait au moins qu’elle soit explicitement reconnue comme un de ces abus de langage nécessaires si fréquents dans le discours de la physique (comme dans toute science). Pour en revenir à la constante de Planck, d’après cette dernière approche, il ne faut pas interpréter la relation E = ?? comme reliant deux concepts classiques, mais plutôt comme les transcendant dans une synthèse qui introduit un nouveau concept unique et pourvu d’une portée plus large. Il associe en effet à n’importe quel état physique tout un spectre de valeurs numériques, et la grandeur correspondante doit être mathématiquement représentée par un opérateur hermitien, contrairement à la fonction numérique qui représente l’énergie en mécanique classique. Ici encore un nouveau nom aurait dû être utilisé afin de souligner l’originalité du concept qui était introduit. L’énergie et la pulsation apparaissent alors comme deux faces d’une notion plus générale, l’une ou l’autre étant seule visible à partir de l’un ou l’autre de deux points de vue classiques particuliers. Le rôle rempli ici par la constante de Planck pour lier ces deux faces est caractéristique des constantes universelles. Une constante universelle peut être décrite comme un « synthétiseur de concepts » exprimant l’unification de deux concepts physiques préalablement indépendants en un unique concept de validité plus large. On montrera plus bas que les constantes classiques, comme k ou J, jouent exactement le même rôle.

15 […]

16 Les constantes universelles sont en réalité l’expression d’un dépassement synthétique non pas de couples conceptuels isolés, mais de toute une aire conceptuelle. Dans ce sens, une constante universelle est un « synthétiseur de théories », plutôt qu’un simple « synthétiseur de concepts ». De ce point de vue abstrait, les diverses synthèses spécifiques exprimées au moyen d’une constante universelle reliant plusieurs paires de concepts appartenant à deux cadres théoriques (par exemple, les trois formules E = ??, p = ?k, L = ?m) ne sont que des conséquences équivalentes de l’unification théorique générale de ces cadres. Cependant, en raison de considérations historiques et de motivations épistémologiques, on ne leur accorde pas de fait un statut égal, notamment dans l’enseignement. Certaines sont prises comme point de départ ou comme hypothèses fondamentales, ainsi E = ??, ou ds² = dt² - c^-2dx², tandis que d’autres sont considérées comme des relations dérivées ou des conséquences, comme p = ?k, ou ?E = c²?m. Puisqu’il faut bien commencer quelque part, il est sans doute vrai que, dans la mesure où elle reflète divers aspects d’un seul et même processus synthétique à partir d’une constante universelle donnée, l’équivalence de toutes ces expressions est condamnée à rester une affirmation plutôt abstraite. Son acceptation peut, néanmoins, montrer la voie d’une modification de la hiérarchie traditionnelle. Par exemple, on a récemment proposé de développer la théorie de la relativité d’Einstein en partant directement de la relation entre l’énergie et la masse ?E = c²?m, en construisant ensuite sur cette base les concepts « relativistes » d’énergie et de moment, pour en déduire ensuite la structure théorique de l’espace-temps [12]. Après tout, ceci correspond bien plus étroitement aux besoins réels de la physique où les formules de transformations de Lorentz ou les expressions d’invariants sont de fait beaucoup plus utilisées pour l’énergie et la quantité de mouvement que pour les quantités d’espace-temps. En outre, la façon dont c relie l’énergie et l’inertie (plutôt que la masse) se trouve profondément enracinée dans la préhistoire immédiate de la relativité einsteinienne, et « aurait pu » être à l’origine d’un autre chemin historique conduisant à cette théorie. Ces considérations possèdent de toute évidence une certaine importance épistémologique et pédagogique [13].

17 Nous sommes maintenant en mesure de répondre à la question de savoir pourquoi, à la différence des autres sciences, il existe en physique des constantes universelles. Ceci est dû simplement au fait que seule la physique possède des concepts ayant une expression intrinsèquement mathématique. Ici, les mathématiques ne sont pas seulement appliquées, elles remplissent un rôle constitutif beaucoup plus profond [14]. En physique, l’identification ou la synthèse de deux concepts requiert donc tout d’abord qu’ils soient de même nature mathématique (scalaire ou vectorielle, par exemple), puis implique l’existence d’un facteur de proportionnalité. Soulignons que les mesures numériques d’une quantité donnée, comme il en existe dans d’autres sciences (voire en sciences humaines), ne suffisent pas à leur conférer une constitutivité mathématique ; encore faut-il qu’il existe des relations mathématiques non triviales entre plusieurs de ces quantités, qui expriment les lois scientifiques du domaine.

18 Mais le rôle d’une constante universelle dans la synthèse et l’unification de concepts ou d’ensembles conceptuels auparavant sans rapport, s’il a été le premier dans l’ordre historique, a pour corollaire réciproque qu’il conduit à scinder et séparer des concepts qui étaient auparavant fusionnés, voire confondus. On peut donner ici deux exemples simples tirés de la théorie de la relativité. Le premier concerne l’inexistence, en relativité einsteinienne, d’un concept ayant les deux propriétés suivantes de la vitesse en relativité galiléenne : 1) être une quantité additive, constituant le paramètre canonique des transformations galiléennes, obéissant à la simple loi de composition v₁₂ = v₁ + v₂ ; et 2) exprimer le taux temporel de variation de la position spatiale, à savoir v = dx/dt, pour les mouvements non uniformes. Dans la relativité einsteinienne, si la seconde propriété est utilisée comme définition de ce que nous allons continuer à appeler « vitesse » v, la première vaudra pour une autre quantité, dite « rapidité » ?. On met ces deux quantités en relation par v = tanh ? , ou, avec les notations dimensionnelles, par v = c tanh (?/c), qui fait apparaître leur identification à la limite c ? ?. L’introduction du concept de rapidité est d’un très grand secours à des fins éducatives [15]. Non seulement la rapidité donne une expression plus compacte et plus parlante aux transformations de Lorentz par le biais de fonctions hyperboliques, mais elle élucide aussi les pseudoparadoxes associés à l’idée d’une vitesse limite ou d’une non-additivité des vitesses, comme étant simplement dus à un mauvais choix du paramètre, ainsi que cela arriverait si les rotations étaient caractérisées par la tangente de l’angle plutôt que par l’angle lui-même. Le concept de rapidité est maintenant utilisé avec profit dans la phénoménologie des hautes énergies. On peut obtenir une clarification du même ordre en dynamique relativiste, en introduisant, à côté des concepts d’énergie et de masse, celui d’inertie, défini comme le coefficient de la vitesse dans l’expression du moment [16]. On voit alors qu’il faut identifier l’inertie avec l’énergie, dans la relativité einsteinienne, mais avec la masse, dans la relativité galiléenne [17]. Ainsi, la constante universelle c sépare l’inertie de la masse tout en la fusionnant avec l’énergie. […] Il ne serait pas difficile de donner d’autres exemples. Pour utiliser la même métaphore matérielle que plus haut, on peut dire que la mise en correspondance de deux structures conceptuelles, en unissant des pièces naguère séparées, produit également des tensions qui amènent diverses scissions au sein du nouvel ensemble.

Unités de mesure et mesure unité

19 Il est élémentaire mais crucial de remarquer que le rôle d’une constante universelle, en tant qu’elle sous-tend la fondation de nouveaux concepts, décroît systématiquement en importance au fur et à mesure que le temps s’écoule et que la nouveauté des concepts s’estompe. En effet, quand on a fini par les assimiler suffisamment à force d’années d’expérimentation, de théorisation et d’enseignement, on n’a plus besoin d’accéder à ces concepts à travers leur relation à d’autres plus anciens qui ont été synthétisés par la constante universelle. On utilise directement les concepts dans leur acception désormais synthétique. Dès lors, la constante n’apparaît plus que comme un facteur de conversion numérique nous permettant d’exprimer une quantité physique donnée en termes de diverses unités de mesure. Le rôle conceptuel majeur de la constante devient invisible, puisque la synthèse qu’elle symbolise se trouve, pour ainsi dire, effectuée d’emblée. Autrement dit, le statut théorique d’une constante universelle diminue à mesure que son importance pratique augmente. Les constantes classiques de la thermodynamique J et k nous offrent une bonne illustration de cette situation. La première a servi à unifier la chaleur et le travail au moyen de la relation W = JQ, et la seconde a montré que la température n’était qu’un aspect statistique de l’énergie cinétique, comme l’exprime E = kT (à un facteur numérique près, qui dépend du nombre de degrés de liberté). Évidemment, comme on l’a déjà souligné, J et k n’ont pas seulement introduit de nouveaux concepts, mais de nouvelles théories entières : la thermodynamique pour la première, la mécanique statistique pour la seconde. Nous sommes aujourd’hui tellement habitués à ces idées qu’elles sont incorporées à l’arrière-plan implicite de la théorie physique. Les théoriciens choisissent presque automatiquement un système commode d’unités de mesure tel que k = 1, puisqu’ils savent que l’énergie et la température, ou bien le travail et la chaleur, en fait (aujourd’hui) ne sont qu’un seul et unique concept. De cette façon, ces constantes peu à peu disparaissent du champ de vision, dans un sens tout à fait littéral : on les fait de moins en moins figurer sur les expressions formelles. Dans cette perspective, on voit que J et k sont bien des constantes universelles, de la même façon fondamentale que ? ou c. Seule notre longue pratique collective des concepts qu’elles expriment nous permet d’oublier leur nature et de les considérer comme de simples facteurs de conversion. Un processus de ce type est effectivement en train de s’accomplir aujourd’hui pour ? et c. Alors que tous les manuels et les articles des années 1920 tenaient un compte détaillé de tous les ? et les k figurant dans leurs formules, l’usage de nos jours est de leur donner la valeur unité, ce qui signifie seulement qu’on a adopté un système d’unités de mesure plus approprié. Au cours des dernières décennies, cette convention est devenue presque tacite, si bien que, sauf peut-être dans l’enseignement, il deviendra bientôt évident qu’il n’existe aucune différence de nature entre ?, c, d’une part, et k, J, de l’autre.

20 Tel est donc le destin ordinaire des constantes universelles : voir leur nature de concepts synthétiseurs progressivement incorporée dans le fonds commun et implicite des idées physiques, puis jouer un rôle de simple facteur dans la conversion des unités de mesure et finir par être souvent complètement oubliée, une fois opérée une redéfinition convenable des unités physiques de mesure. Ceci admis, on peut se demander combien il existe de ces constantes universelles ayant glissé dans l’invisibilité. Rappelons ici la « Parabole des arpenteurs géomètres » que nous devons à Taylor et Wheeler :

21

Il était une fois un arpenteur de jour qui mesurait les terres d’un roi. Il détermina les directions du Nord et de l’Est à l’aide d’une boussole. Les directions x vers l’Est à partir du centre de la Grand-Place, il les mesurait en mètres. Les directions y vers le Nord étaient sacrées et on les mesurait avec une unité différente, le mille. Ses registres étaient complets et précis, et ceux qui vivaient le jour les consultaient souvent.
Ceux qui vivaient la nuit recouraient aux services d’un autre arpenteur. Il repérait le Nord et l’Est à l’aide de l’Étoile Polaire. Lui aussi mesurait les distances x’ vers son Est à partir du centre de la Grand-Place en mètres et les distances sacrées y’ vers son Nord en milles. Ses registres étaient complets et précis.
Survint un jour un étudiant en arpentage à l’esprit particulièrement ouvert. À l’encontre de toutes les traditions passées, il assista aux cours des deux écoles rivales dirigées par les deux meilleurs arpenteurs. À l’école du jour, il apprit d’un expert sa méthode pour relever l’emplacement des portes de la ville et des angles des parcelles de terrain. À l’école de nuit, il apprit l’autre méthode. Comme les jours et les nuits passaient, ses efforts pour trouver quelque rapport harmonieux entre ces deux manières rivales de relever une position laissaient l’étudiant de plus en plus perplexe. Il compara soigneusement les relevés des deux arpenteurs pour l’emplacement des portes de la ville par rapport au centre de la Grand-Place.
Défiant la tradition, l’étudiant prit la décision audacieuse et hérétique de convertir en mètres les mesures en direction du Nord, jusqu’alors toujours exprimées en milles, en les multipliant par un facteur de conversion constant, K. Il découvrit alors que la quantité [(x_A)² + (Ky_A)²]^½ qui résultait des mesures diurnes de la position de la porte A avait exactement la même valeur numérique que la quantité [(x’_A)² + (Ky’_A)²]^½ calculée à partir des relevés de l’arpenteur de nuit. Il employa la même comparaison pour les valeurs calculées à partir des positions relevées pour la porte B et trouva qu’ici encore les résultats concordaient. L’excitation de l’étudiant augmenta quand il testa son système de comparaison sur toutes les autres portes de la ville et trouva qu’il était partout vérifié. Il décida de donner un nom à sa découverte. Il appela la quantité [(x)² + (Ky)²]^½ la distance du point (x, y) au centre de la ville. Il affirma avoir découvert le principe d’invariance de la distance : on obtient exactement les mêmes distances avec les coordonnées diurnes et avec les coordonnées nocturnes, bien que les deux ensembles de nombres donnés par les arpenteurs soient très différents [18].

22 Nous pouvons maintenant comprendre qu’il existe au moins une constante universelle très importante dans la plus simple de toutes les théories physiques, à savoir la géométrie euclidienne plane. Cette constante exprime l’assertion théorique de l’isotropie de l’espace. Cette propriété physique est ce qui nous permet de synthétiser les concepts des distances sur l’axe Nord et sur l’axe Est en un unique concept général de distance, indépendant de celui d’orientation. Il va de soi que la valeur numérique de la constante K est dépourvue de signification physique et due uniquement à des contingences historiques. Son existence même est, cependant, un aspect essentiel de la géométrie euclidienne. Il est tout à fait clair qu’en temps utile, dans la ville de la parabole, les deux distances, vers l’Est et vers le Nord, ont fini par être mesurées, à l’aide de la même unité, de sorte que la constante K a disparu et que la découverte du brillant étudiant est tombée dans l’oubli : n’était-ce pas un résultat « évident » ? Le but de cette parabole était de souligner, à juste titre, le rôle analogue que joue de nos jours la constante c par rapport à l’espace-temps. Mais, inversement, la parabole de l’arpenteur géomètre nous incite à exhumer nombre de ces constantes universelles oubliées, incorporées qu’elles sont dans une vérité qui semble maintenant immédiate, mais qui a demandé autrefois une élaboration longue et pénible. Un autre exemple purement géométrique est donné par le calcul des aires. En effet, prenons pour une unité d’aire l’aire d’une figure plane quelconque, par exemple la paume moyenne de la main humaine. C’est alors une « loi de la physique » (ou un théorème de géométrie) que l’aire A du carré qui a un côté de longueur L, mesurée à l’aide d’une unité de mesure quelconque, par exemple le pied, est donnée par A = ?L², où ? est une constante universelle quelconque (avec nos unités de mesure, cette valeur est à peu près ? = 0,11 paume de main par pied carré). On redéfinit ensuite l’unité de mesure d’aire comme l’aire du carré dont le côté vaut l’unité de mesure des longueurs, de telle sorte que ? ne se donne plus à voir. Il ne faudrait cependant pas oublier que cette constante exprimait la synthèse, aujourd’hui évidente, entre les aires et les carrés des longueurs. On pourrait en dire autant des volumes, ce qui ne reste pas sans pertinence aujourd’hui. Après tout, les unités de mesure de volume traditionnelles dans le monde anglo-saxon, les galons ou les pintes, ne sont pas obtenues en cubant les unités de mesure de longueur, à savoir le pied et le pouce ; la constante universelle ? qui entre dans la relation V = ?L³ n’a pas été prise égale à l’unité. Nous verrons plus bas que, même dans le système métrique scientifique, on ne peut pas oublier complètement la constante ?. À présent, il devrait être clair que beaucoup de ces constantes universelles cachées se trouvent au cœur des principaux énoncés de la physique classique, notamment dans ses plus anciennes théories telles que la géométrie ou la mécanique newtonienne, où une longue pratique a fait que leur signification s’est trouvée complètement incorporée à un niveau totalement implicite. L’absence de constante universelle dans cette partie de la physique n’est qu’un privilège apparent du vieil âge. On pourrait alors classer les constantes universelles (appartenant au type C défini plus haut) en trois sous-classes selon leur statut historique :

23

1. les modernes, telles que ? et c, dont le rôle conceptuel est encore majeur ;
2. les classiques, telles que k ou J, qui aujourd’hui apparaissent essentiellement comme facteurs de conversion des unités de mesure, leur rôle conceptuel étant devenu presque implicite ;
3. les archaïques, qui ont été si bien assimilées et incorporées qu’elles en sont devenues totalement invisibles.

Le point de vue de la pratique

24 L’histoire néanmoins n’est pas si simple. C’est seulement du point de vue du théoricien que la vie d’une constante universelle atteint le happy end d’une telle ascension au Nirvana de l’unité et de l’oubli. Les expérimentateurs qui travaillent en laboratoire doivent employer les définitions concrètes de leurs unités de mesure et ne peuvent pas identifier, à volonté, deux normes opérationnellement indépendantes, comme le font les théoriciens sur le papier. Quel que soit le système fondamental d’unités de mesure adopté, c’est un fait qu’on ne peut pas éliminer totalement l’emploi d’unités de mesure issues de plusieurs autres systèmes adaptés à tel ou tel domaine de la physique. Deux raisons expliquent cette situation. La première est l’inertie historico-sociale, qui, par exemple, oblige les expérimentateurs de l’autre côté de l’Atlantique à concevoir et à commander les écrous, plaques, tiges, etc., de leurs appareils en donnant leurs dimensions en pieds et pouces plutôt qu’en mètres et centimètres. On peut en principe donner la valeur un à la constante universelle ? entrant dans la relation l_US = ?l_EU entre les mesures de la longueur d’un objet aux États-Unis et en Europe. Mais seulement en principe. Toutefois, il existe une seconde raison de cette persistance d’unités de mesure non orthodoxes. Elle est due à la nature propre de la physique expérimentale, où la métrologie joue un rôle fondamental. Dès lors qu’on choisit un système d’unités de mesure (tel que le système international d’unités), toute unité de mesure d’une grandeur physique qui n’appartient pas aux grandeurs fondamentales peut être dérivée des unités de mesure fondamentales. Cependant, ces unités dérivées sont souvent définies de telle sorte qu’elles sont d’un usage très peu commode, ou même qu’il leur manque la précision nécessaire dans un domaine donné de la physique. On peut souvent effectuer des mesures de manière plus facile et plus adéquate en recourant à un système d’unités de mesure local, défini de façon indépendante. À charge pour la métrologie expérimentale de mettre alors en relation ces unités locales avec le système fondamental à travers la détermination expérimentale de facteurs de conversion, qui, ainsi que nous l’avons montré plus haut, ne sont rien d’autre que d’authentiques constantes universelles. Donnons un exemple simple. Mettre en relation des mesures volumétriques prenant le litre comme unité primaire et des mesures linéaires en mètres (par exemple) requiert de déterminer expérimentalement la constante universelle entrant dans la relation V = ?L³ entre les volumes et les longueurs. Si, comme ce fut longtemps le cas, le litre est défini comme le volume d’un kilogramme d’eau (à une certaine température, etc.), alors l’évaluation métrologique de cette constante donne ? = 1,000028 ± 0,000004 litre.dm^-3, valeur qui peut bien sûr être prise comme égale à un par le théoricien. Encore une fois, il convient de souligner que c, cette « noble » constante universelle, ne diffère pas en principe de ce ?.

25 […]

26 Si les impératifs de la physique expérimentale empêchent qu’un changement dans les conventions métriques se traduise par le rejet naïf des constantes « classiques », des conditions sociales d’ordre plus général peuvent imposer le maintien de constantes archaïques « non naturelles ». Deux exemples historiques simples d’une telle situation viennent immédiatement à l’esprit. Le premier porte, à nouveau, sur la question de la volumétrie. À l’aspect scientifique, métrologique, évoqué ci-dessus, se rattache un fait bien plus général, qui se vérifie depuis la plus haute Antiquité, à savoir que les volumes ne sont pas d’ordinaire déterminés géométriquement à partir des mesures de longueur. En effet, dans la vie quotidienne, la plupart des déterminations volumétriques se rapportent à des matériaux fluides, liquides ou granulaires, comme les boissons et les céréales (les solides sont appréciés surtout selon leur poids). C’est la raison pour laquelle des unités de mesure de volume indépendantes, définies par la capacité d’un récipient type quelconque, ont été la règle jusqu’à l’avènement du système métrique international. Par exemple, dans le système anglo-saxon, comme on l’a déjà dit, les pintes ne sont pas reliées aux pouces. En conséquence, même si, pour autant que l’ordre de grandeur est concerné, l’unité de mesure des volumes était d’ordinaire comparable au cube de l’unité de mesure des longueurs, il n’y avait aucun besoin réel de redéfinir ces unités de façon à ce que la constante universelle prenne la valeur unité. Le second exemple est fourni par la constante exprimant l’homogénéité de l’espace, c’est-à-dire la possibilité d’appliquer la même unité de longueur en chaque lieu. En dehors du cas du système anglo-saxon, cette constante est aujourd’hui presque universellement prise avec la valeur un depuis l’adoption internationale du système métrique. Il s’agit cependant d’un phénomène historiquement récent et qui, sans aucun doute, survint longtemps après que la théorie nous en eut montré la possibilité. De fait, cette unification n’était pas nécessaire puisque l’espace était effectivement hétérogène du point de vue social, sinon du point de vue géométrique. Des entités sociales locales et largement autonomes, tribus ou cités, étaient la règle dans la société humaine jusqu’il y a quelques siècles à peine. L’unification progressive de l’espace social est liée à l’essor du capitalisme marchand et industriel. Ce sont les besoins de ce nouvel ordre qui ont conduit à redéfinir les unités locales de longueur, de telle sorte que la constante universelle correspondante acquière le statut de constante archaïque.

Comment faire varier une constante

27 Les constantes universelles ne jouent pas seulement un rôle d’étalon dans la définition et la mesure des quantités physiques. Elles sont en outre utilisées comme normes de validité pour les théories physiques. Cet aspect se résume souvent dans des assertions telles que : « la relativité galiléenne est obtenue à partir de la relativité einsteinienne quand la constante c tend vers l’infini », ou encore « la mécanique quantique se ramène à la mécanique classique lorsque la constante de Planck tend vers zéro ». Il s’agit ici clairement d’assertions assez vagues, qui possèdent tout au plus une signification formelle, puisqu’elles portent sur des processus purement mathématiques de passage à la limite imposés aux équations de la théorie. Il va de soi que, dans le monde réel, les constantes universelles prennent des valeurs définies et qu’on n’est pas libre de les modifier à volonté. Une meilleure façon d’exprimer ces idées consiste à affirmer la validité de la relativité galiléenne (ou de la mécanique classique), chaque fois que c (ou?) peut être tenue pour très grande (ou très petite). Il convient cependant de se montrer plus précis : grand ou petit par rapport à quoi ? Dans le cas de la relativité, la théorie galiléenne est valide si les vitesses sont petites par rapport à c (mais ce n’est qu’une condition nécessaire et on peut montrer qu’elle n’est pas suffisante).

28 […]

29 À cet égard, la situation en mécanique quantique a été plus claire. ? n’ayant jamais été confondue avec une constante de type A, son caractère universel (type C) a permis d’inférer que la mécanique classique est approximativement valable si cette constante est petite par rapport à toutes les quantités physiques pertinentes ayant la dimension d’une « action ». Il reste cependant un certain nombre de problèmes non résolus qui portent sur la relation entre la théorie quantique et sa (ses) limite (s) classique (s), dont il sera question plus bas. Une autre manière d’exprimer la petitesse (ou la grandeur) d’une constante universelle dans une situation physique donnée consiste à considérer les unités de mesure appropriées à la description de cette situation, c’est-à-dire, si tant est qu’elles existent, des unités telles que toutes les quantités prennent des valeurs « raisonnables », restant de l’ordre de l’unité. Si, exprimée à l’aide de ces unités de mesure, la constante universelle est très petite (ou très grande), alors est valide la théorie approchée qui correspond à la limite où la constante « tend vers zéro (ou vers l’infini) ». C’est clairement le cas des deux exemples mentionnés jusqu’à présent, où ? prend une valeur très petite et c une très grande, quand on les exprime dans tout système d’unités de mesure adapté à notre expérience quotidienne (que ce soit le système international, ou le système centimètre-gramme-seconde, ou le système non métrique en usage dans le monde anglo-saxon).

30 Cette dernière remarque peut sembler triviale quand on l’applique aux constantes universelles modernes ? et c, si familières et vénérables à nos yeux. Pourtant, elle peut nous aider à comprendre les raisons historiques de l’émergence, et plus tard de la disparition, de la plupart des constantes universelles, y compris des classiques et des archaïques. En effet, pour que c apparaisse comme une constante universelle, il était nécessaire que la recherche expérimentale s’intéresse à des phénomènes où une combinaison au moins de quantités physiques ayant les dimensions d’une vitesse soit comparable à c. Ceci exigeait un état de développement des techniques expérimentales qui n’a pas été atteint avant le XVII^e siècle, avec les premières tentatives pour mesurer la vitesse de la lumière [19]. Durant une longue période, les rapports spatio-temporels furent les seules grandeurs possédant les caractères dimensionnels requis pour être mesurées avec la précision nécessaire, de telle sorte que c ne pouvait apparaître que comme une constante de type A : la vitesse de la lumière et rien d’autre. Ce n’est qu’au XIX^e siècle que d’autres grandeurs physiques, à savoir les grandeurs électromagnétiques, ont pu faire l’objet de mesures suffisamment précises. Après l’électricité, le magnétisme donna lieu à des définitions et des mesures exactes. Riemann n’eut plus alors qu’à remarquer que la combinaison des constantes électriques et magnétiques – que, suivant la formulation moderne, nous noterions (?₀?₀)^-½ – était très proche de la valeur de c mesurée directement comme la vitesse de la lumière. Ce premier indice du fait que c pouvait bien être finalement une constante de type B, caractéristique de l’électrodynamique en général, fut confirmé lorsque Maxwell réussit à constituer une théorie cohérente. Au début du XX^e siècle, les progrès expérimentaux avaient été en mesure de produire un grand nombre de combinaisons ayant la dimension d’une vitesse, dont les valeurs n’étaient plus petites par rapport à c : il ne s’agissait pas seulement des rapports entre les intervalles d’espace et ceux de temps, mais aussi des relations entre les intensités des champs électriques et celles des champs magnétiques (à commencer par les expériences de Hertz sur le rayonnement électromagnétique), des produits de fréquences et de longueurs d’onde, des (racines carrées des) rapports des énergies aux masses (dans l’aspect énergétique des réactions nucléaires), des rapports des énergies aux moments (dynamique des particules chargées), etc.

31 Quant à ?, il n’était pas possible d’en inférer l’existence avant qu’on ait la possibilité d’étudier des phénomènes où les « actions » caractéristiques étaient assez petites et pouvaient être déterminées de manière assez précise. Le premier d’entre eux se présenta au cours d’études spectroscopiques, quand on examina le spectre du corps noir à des températures telles que le maximum du rayonnement émis se trouvait compris à l’intérieur d’une gamme de longueurs d’ondes accessible. Ensuite, quand on réussit à maîtriser l’émission de rayons ultraviolets, l’effet photoélectrique révéla aussi la présence de la constante de Planck ; le rapport entre la fréquence de ces derniers et l’énergie cinétique libérée par les électrons put être mesuré avec une précision qui rendait possible la comparaison avec ?. En ce qui concerne les constantes universelles classiques, on comprend maintenant pourquoi J ne pouvait pas apparaître avant le XIX^e siècle. La définition théorique et la mesure expérimentale de la chaleur devaient être poussées assez loin pour que les quantités de chaleur Q puissent être échangées et mesurées, de façon à ce que JQ ne soit plus négligeable par rapport aux quantités de travail W habituellement relevées [20]. Le développement des machines thermiques, en premier lieu de la machine à vapeur, les progrès de la physiologie et, au même moment, les avancées en thermométrie et calorimétrie ont alors conduit à reconnaître « l’équivalence » entre la chaleur et le travail – on devrait plutôt dire : leur synthèse dans le concept plus large d’énergie –, grâce à Joule, Mayer, Helmholtz et d’autres [21].

32 Du présent point de vue, le caractère caché de ce que nous avons appelé plus haut les constantes universelles archaïques devient aisément compréhensible. Des caractéristiques physiologiques et des pratiques sociales propres à l’humanité, il s’ensuit qu’on a probablement incorporé dès le début l’isotropie de l’espace à l’usage d’une seule et même unité de longueur pour mesurer les distances dans toutes les directions. En combinant la « Parabole des géomètres » de Taylor et Wheeler (cf. supra) avec le célèbre roman d’Abbott, Flatland [22], on pourrait imaginer cependant une histoire de science-fiction traitant d’êtres intelligents qui seraient presque plats. Leur expérience directe du monde leur permettrait de l’appréhender à une échelle, disons, du mètre sur le plan horizontal, mais seulement du micromètre sur l’axe vertical. Quand, dans la vie quotidienne, ils auraient besoin de mesurer des longueurs respectivement verticales et horizontales, ils se serviraient certainement d’unités de mesure différentes, ayant un rapport de l’ordre de 10⁶. L’équivalence des déplacements verticaux et horizontaux serait donnée par une constante universelle très petite ? = 10^-6 m/?m ne pourrait être découverte qu’en construisant des télescopes donnant accès à des distances verticales bien supérieures (dans le rapport 10⁶ = ?^-1) aux hauteurs habituelles dans ce monde ; cela pourrait également être mis en évidence en étudiant des déplacements horizontaux microscopiques. Il est clair ainsi que des théories physiques bidimensionnelles, qu’il s’agisse d’exercices purement conceptuels ou d’une description approximative de phénomènes physiques, ont, avec des théories pleinement tridimensionnelles, les mêmes relations que la relativité galiléenne avec la relativité einsteinienne, ou la physique classique avec la quantique. Pour qu’une telle théorie bidimensionnelle soit valide, toutes les quantités ayant les dimensions du rapport entre longueurs « verticales » et « horizontales » doivent être petites par rapport à la constante universelle ?. Dans nos systèmes conventionnels d’unités de mesure, ? est bien entendu égal à l’unité et nous retrouvons par ce biais une formulation plus habituelle de la validité de ces théories approchées.

Les délimitations des limites

33 À présent, revenons à nos constantes universelles modernes et conventionnelles, afin d’examiner de plus près la signification des passages à la limite tels ? ? 0 ou c ? ?. Nous avons déjà souligné que les constantes sont constantes et que, physiquement parlant, ces limites décrivent en fait les situations où les rapports dimensionnels des quantités physiques concernées, disons a/b, sont petits (ou grands) en comparaison de la constante universelle K qui lie les deux quantités a et b. Il est vrai que dans les expressions formelles de la théorie ceci revient à considérer que le rapport a-dimensionnel Kb/a est grand (ou petit), situation qui peut aussi se produire quand on attribue une valeur grande (ou petite) à la « constante » K. Quelques commentaires s’imposent ici pour mettre l’accent sur les limitations de ces processus de passage à la limite, qui doivent être manipulés et interprétés avec précaution si l’on veut éviter, ou corriger, malentendus et illusions.

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35 Kuhn a soutenu que l’histoire des sciences procède par « révolutions scientifiques », entre lesquelles l’activité scientifique prendrait la forme de la « science normale [23] ». Ces révolutions provoqueraient le remplacement d’anciens paradigmes par de nouveaux, de sorte que les idées et les concepts subiraient d’un coup des changements radicaux. Par exemple, la mécanique est supposée être tellement touchée par la révolution scientifique einsteinienne que nos idées sur la cinématique et la dynamique de l’espace-temps n’ont plus rien en commun avec celles de la physique newtonienne. Des affirmations aussi fortes sont de toute évidence contraires à l’ensemble de notre expérience de physiciens praticiens et d’enseignants. La difficulté réside dans le dilemme apparent entre une vision continuiste de l’histoire des sciences qui rejetterait tout changement qualitatif et une vision discontinuiste qui ne peut rendre compte des processus de transformation radicaux. Ce n’est pas ici le lieu pour tenter une évaluation globale de l’histoire sociologique des sciences selon Kuhn. Un aspect limité de ses idées se trouve cependant en rapport étroit avec la présente étude, à savoir la nature de la relation entre deux « paradigmes successifs » à l’intérieur d’un domaine scientifique donné. Reprenons l’exemple utilisé par Kuhn, l’opposition entre mécanique einsteinienne et newtonienne, et tâchons de le mettre en perspective. Cette perspective historique, il convient d’abord de le souligner, exige un regard rétrospectif. Il va de soi que la relation entre une théorie physique et une autre plus générale qui lui succède ne peut pas être étudiée avant la réussite de cette généralisation. C’est nécessairement du point de vue du nouveau paradigme, plus global, que l’ancien doit être jugé. Il n’existe pas de point de vue privilégié, extérieur à ces deux-là, à partir duquel on pourrait voir leur zone frontière et analyser la transition. Nous devons donc évaluer la mécanique newtonienne à partir de la mécanique einsteinienne. Autrement dit, l’approche épistémologique est nécessairement opposée à l’approche chronologique. On peut ainsi suggérer que la transition met en évidence une limite singulière, au sens mathématique. Cette affirmation est d’abord valide à un niveau factuel. En effet, les théories restreintes, comme la relativité galiléenne ou, plus globalement, la mécanique newtonienne, sont obtenues à partir de la théorie « relativiste » moderne, plus générale, par un passage à la limite qui est nécessairement singulier. Si ce n’était pas le cas, la modification se réduirait à un simple changement d’échelle, sans aucun effet conceptuel. C’est seulement à la limite, quand c devient infini, et non lorsqu’elle est arbitrairement grande mais finie, que l’on retrouve l’ancienne théorie. Dans le cas de la théorie de la relativité, il existe un cadre mathématique bien défini, la théorie de la contraction des groupes [24], qui permet de formaliser cette idée. Cette théorie montre comment une famille continue d’isomorphismes de groupe qui dépend d’un paramètre quelconque peut tendre vers une limite singulière, d’où résulte un groupe nouveau, non isomorphe. Cependant, l’idée que l’ancien paradigme serait une limite singulière du nouveau est également proposée ici dans un sens plus large, métaphorique. Ceci peut aider à comprendre comment la transition de l’un vers l’autre, en tant qu’elle est exprimée quand on donne à certaines constantes universelles une valeur nulle (ou infinie), provoque des changements qualitatifs dans les outils conceptuels dudit paradigme. En effet, si l’introduction d’une constante universelle entraîne la synthèse et l’unification de deux concepts préalablement sans rapport, il faut montrer que sa disparition donne lieu à une disjonction inverse, ce qui est manifestement un phénomène tout à fait singulier. C’est la seule manière de comprendre, par exemple, comment l’énergie-pulsation quantique se dédouble en énergie (pour les particules classiques) et pulsation (pour les ondes classiques).

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37 Pour autant, il est étonnant de remarquer, après près d’un siècle de théorie quantique, le peu que nous savons sur ses limites classiques. Même au niveau formel, les choses sont loin d’être claires. La théorie quantique est le résultat d’un dépassement synthétique de la théorie ondulatoire et de la mécanique des particules, toutes deux classiques. On devrait alors être capable de retrouver ces deux théories en tant que limites de la théorie quantique prise maintenant comme telle. La limite classique de la mécanique des particules a retenu quelque attention et on peut donner plusieurs exemples de la transition, depuis le théorème d’Ehrenfest jusqu’à l’approximation JWKB ou la relation avec le formalisme hamiltonien. En revanche, du côté de la théorie ondulatoire classique, la situation est beaucoup moins claire. De fait, puisque la disparition de la même constante universelle ? est impliquée dans les deux limites, il est nécessaire d’introduire des hypothèses supplémentaires. D’un point de vue empirique, il faut noter que, dans des circonstances spécifiques, toutes les particules quantiques peuvent présenter un comportement proche de celui d’une particule classique : la chambre à bulles fait apparaître des « trajectoires » et des « collisions » pour des électrons ainsi que pour des photons et pour des particules encore plus étranges. En revanche, seules les assemblées de bosons montrent un comportement proche des ondes classiques, l’exemple important étant ici celui du champ électromagnétique. Il est donc clair que la limite ondulatoire classique nécessite de considérer un nombre indéfiniment croissant de particules en même temps que l’on fait tendre la constante de Planck vers zéro [25].

38 Enfin, il faut souligner que l’existence de ces limites formelles ne garantit en aucune façon l’applicabilité de la théorie ou des théories approchée (s) ainsi obtenue (s). Il faut faire des hypothèses beaucoup plus détaillées si l’on veut comprendre et contrôler au niveau théorique la validité approchée d’une telle théorie limite, et cela même si on peut la tester empiriquement. Dans le cas de la théorie quantique, par exemple, nous savons maintenant qu’il ne suffit pas de considérer un système macroscopique pour qu’il se comporte de façon classique, comme le montre l’existence d’effets quantiques macroscopiques (par exemple la superfluidité). Il n’est donc pas surprenant que l’existence même de la matière ordinaire, dure et stable, telle qu’elle est décrite de manière approximative par la mécanique classique des corps solides, exige de très profondes analyses au niveau quantique, si l’on veut la comprendre à partir des premiers principes [26].

39 Il peut être utile de rappeler en conclusion que la compréhension du rôle des constantes physiques n’est que le point de départ d’une analyse physique concrète, et aide seulement à poser les bonnes questions, auxquelles il reste ensuite à répondre.