1. Introduction [1]

1Afin d’indiquer la richesse du fonds manuscrit de Leibniz, nous présentons ci-dessous quatre courtes pièces inédites avec leurs transcriptions et leurs traductions.

2Le premier texte fournit un exemple typique et remarquable de dialogue entre philosophie et mathématiques. Il s’agit d’étudier une apparente objection au principe selon lequel on ne doit pas accepter de « Transition par saut » [Regula de Transitu per saltum non admittendo] – une des formulations de la célèbre « loi de continuité » que la tradition a préservée sous la forme natura non facit saltus [2]. L’exception provient ici de la question des puissances de zéro, qui nous confronte à un étrange paradoxe. En faisant varier continûment le paramètre de 0^x pour x allant des positifs aux négatifs, nous passons brusquement de zéro à un (selon la règle a⁰ = 1) puis à l’infini (puisque \(0^{-x}= \frac{1}{0^x}=\frac{1}{0}=\ \text{infini}\)). Il s’agit, pourrait-on dire, de concilier un principe de continuité et un principe d’harmonie des formules, qui veut qu’un symbolisme bien construit puisse énoncer la généralité sans exception. La réponse évoquée par Leibniz dès le début du texte est que l’exception n’est qu’apparente parce qu’elle provient du fait qu’ont été introduites des entités « fictives », à savoir le 0 par lequel on divise lorsque l’on explicite l’expression \(0^{-x}= \frac{1}{0^x}=\frac{1}{0}=\ \text{infini}\), qui ne saurait être le zéro « absolu » des algébristes (par lequel on ne peut jamais diviser). Ce texte rassemble donc deux des thèmes qui ont été évoqués dans les articles qui précèdent : le problème que pose l’usage du zéro en contexte infinitésimal dès lors qu’il semble violer les règles de l’usage algébrique de ce même symbole [3] ; la grande loi caractéristique selon laquelle un symbolisme bien construit doit être à même d’exprimer la généralité qui le sous-tend [4].

3Le diagramme proposé par Leibniz pour « faire voir » cette discontinuité est intéressant. Il figure en effet la ligne des « puissances de zéro » en pointillés, comme courant le long de l’axe des abscisses à une distance qu’il faut donc imaginer comme infiniment petite, puis sautant à 1 en 0⁰ et s’échappant ensuite à l’infini (à une distance qu’on imagine infiniment proche du segment unité cette fois). Cette représentation motive le parallèle avec la question des asymptotes à l’hyperbole, qu’il évoque à la fin du texte et dont on pourrait penser qu’elle pose des difficultés comparables (du fait qu’il faudrait imaginer un « saut » pour « atteindre » le point à l’infini [5]). Leibniz répond qu’il n’en est rien dans la mesure où la fiction du point à l’infini figure alors pour une courbe qui doit d’abord passer par tous les segments finis et ne procède donc pas par saut [6].

4La seconde pièce relève également de l’usage des « fictions » et de l’équilibre subtil qui doit s’établir pour Leibniz entre « pensée aveugle » et attestation de possibilité. À partir du moment où nous introduisons des expressions comme « log » ou « \(\sqrt[2]{-1}\) », se pose la question de leur éventuelle combinaison. Puis-je élever un nombre à la puissance \(\sqrt[2]{-1}\)? Si oui, que vaudrait son logarithme ? Le billet explore ces lois de combinaisons symboliques en partant de l’égalité :

5On notera au passage la remarquable modernité de ces formules où Leibniz montre, d’une part, qu’il est capable d’écrire l’expression générale de ce que nous appellerions un nombre complexe (tandis que la plupart de ses contemporains voient encore les nombres « imaginaires » comme des solutions particulières, « impossibles », de certaines équations algébriques) et, d’autre part, le rôle que l’on peut faire jouer à la conjugaison (le produit de deux complexes conjugués étant le nombre réel aa+bb). Il opère ensuite un certain nombre de manipulations formelles pour parvenir à une formule permettant d’exprimer la « quadrature du cercle » à partir du logarithme. On reste ébloui de tant de prescience, sans équivalent à cette époque, sur la possibilité d’établir des liens entre logarithmes des nombres complexes et fonctions trigonométriques, mais le verso du billet indique les bornes étroites dans lesquelles ces calculs aveugles doivent être tenus : l’expression \(x^{\sqrt[2]{-1}}\) reste pour Leibniz une quantité mystérieuse puisque son logarithme \(\sqrt[2]{-1}log(x)\) est une quantité « impossible ». Il ajoute alors que le logarithme des nombres négatifs est également une quantité impossible. De fait, on a, selon une ligne d’arguments qu’il mobilise également dans sa querelle avec Jean Bernoulli sur la question, \(log(-x) = 2 log (\sqrt[2]{-x})\). Il qualifie même ce cas de « plus qu’impossible » – ce qui n’est pas sans évoquer un échange avec Wallis où ce dernier qualifie les nombres imaginaires de « doublement impossibles [7] ».

6De manière très intéressante, le texte qu’il publie sur ces questions en 1712 dans les Acta eruditorum mobilise également la référence à Jungius sur les énoncés vrais « par tolérance [8] » et déploie une théorie générale des fictions permettant l’élaboration d’énoncés universels (s’appliquant aussi bien au fait que l’angle de contact est dit par Euclide « plus petit » que tout angle donné, aux grandeurs infiniment grandes et infiniment petites, qu’au rapport de −1 à 1). On y retrouve d’ailleurs les problèmes de continuité de la fonction puissance (le « saut » opérant dans la quadrature des hyperboloïdes entre les puissances positives et négatives, en passant par l’hyperbole ordinaire, ayant conduit Wallis à déclarer les négatifs « plus qu’infinis »).

7La troisième pièce appartient à un ensemble de textes que Leibniz rédige dans les années 1700 autour de ce qu’il appelle les « fondements du calcul ». Il s’agit d’une liste d’axiomes pour le « calcul des grandeurs ». Dans certains de ces textes, Leibniz donne ensuite des démonstrations purement formelles de certaines égalités algébriques [9]. Mais on sera surtout sensible au fait qu’il est donc parvenu à dégager une liste d’axiomes qui évoque celle de ce que nous appelons aujourd’hui un « corps ». Cela dit, il convient de ne pas sortir ces textes de leur contexte : cette liste d’axiomes est prise dans un projet plus général dans lequel la structure algébrique n’est pas encore complètement isolée du reste des autres entités mathématiques, y compris celles qui ressortissent du calcul différentiel. Leibniz y revient notamment sur la tension entre manipulation du zéro en contexte algébrique et en contexte infinitésimal. Ainsi un des brouillons préparatoires propose d’établir que « ᵃ⁄₀ est une absurdité à moins que a ne soit zéro » [LH XXXV IV 12, 7r]. Il ajoute alors une scholie précisant que cet interdit ne s’applique pas au calcul infinitésimal où 0 ne signifie pas un rien pris absolument « mais un nombre qui exprime une grandeur évanouissante ou qui est sur le point de devenir rien, et, qui par conséquent garde encor la nature de la grandeur qu’on suppose décroître continuellement jusqu’à l’évanouissement [10] ».

8La quatrième pièce est un des textes sur la dyadique, Periodus numerorum, étudié par Mattia Brancato dans son article [11]. Ce manuscrit est remarquable pour se faire une idée de l’approche « combinatoire » et « caractéristique » de Leibniz, qui dispose sur ces manuscrits de grandes tables où il passe d’un symbolisme à l’autre. Ainsi notre texte introduit-il une nouvelle notation de la forme \(0_{2^j}1_{2^j}\) pour désigner le nombre « fictif » ij [12]. Le nombre 0₄1₄ correspond ainsi au nombre fictif 12 – qui, lui-même, désigne la période de la troisième colonne en partant de la droite d’une liste de nombres (en l’occurrence ici, celle de nombres écrits en notation positionnelle binaire et qu’on commence à numéroter à 0). Comme nous ne spécifions par s’il s’agit d’un 0 ou d’un 1, le chiffre 12 correspond ainsi à la troisième colonne d’une expression binaire choisie parmi les 8 combinaisons possibles suivantes, 4 combinaisons commençant par 0 et 4 commençant par 1 :

9Lorsqu’on écrit la suite des nombres binaires en partant de 0, ce tableau correspond aux sept premiers nombres (0 à 7 en décimal) et se reproduit ensuite dans les trois derniers chiffres de tous les nombres qui suivent – d’où l’intérêt de Leibniz pour ces « périodes ». De même, on voit dans cette table que le dernier chiffre d’un nombre binaire est toujours un 0 ou un 1 (période 1, notée 0₁1₁), tandis que l’avant dernier a, pour sa part, une période de 2 (0₂1₂), etc. Sur la base de la transposition entre ces deux symbolismes, dont il est le créateur, Leibniz entreprend alors de donner des « lois du calcul ». On retrouve là à la fois son exceptionnelle inventivité en matière de symbolisme et sa conviction que la recherche des lois structurelles des symbolismes permet, selon un principe d’harmonie, de pénétrer jusqu’au plus profond des choses elles-mêmes [13].

2. Transcriptions et traductions

[LH XXXV, 5, 14, fol. 14r et 14v]. Traduction

26Fol. 14r

27Si l’on pouvait exprimer le log des impossibles, au moins de manière imaginaire, ce serait par ce calcul :

28Ce qui est concordant.

29Et c’est ainsi qu’on donnera la quadrature du cercle par les logarithmes, en effet si on a a=y indéterminée et b constante, alors on obtient :

\[\begin{equation} \log (b^2 + y^2) = 2 \int \frac{ydy}{b^2+ y^2} \end{equation}\]

30Il faut tester cela avec minutie.

31Fol. 14v

32Soit \(x^{\underline{\sqrt[2]{-1}}}\), dont le logarithme est \(\sqrt[2]{^{}}-1 .\log .x\) qui est impossible, on cherche donc de quelle sorte de quantité il s’agit.

33Le logarithme d’une quantité impossible est impossible ; le double d’une quantité impossible est impossible, on en conclut donc que le logarithme d’une quantité négative est impossible. Puisque c’est le double du logarithme d’un impossible. Et il s’agit bien d’un impossible, à savoir la racine carrée d’une quantité négative. On en conclut à présent que le logarithme d’une quantité impossible est plus qu’impossible.

[LH XXXV, 12, 1, fol. 191] (Periodus numerorum [21]). Traduction

LOIS du calcul [22]

1. Ici, on ne multiplie pas les marques simples
   par toutes les marques commultiplicantes [23] comme on fait ailleurs
   Mais seulement les marques simples par les simples correspondantes
   En effet, on ne calcule pas horizontalement nombre à nombre
   mais en descendant de période à période [24].
2. Si la période correspondante ne remplit pas la totalité du lieu de la suivante
   qu’elle soit répétée autant de fois [qu’il faut] pour la remplir
   Car une même période répétée, elle reste cependant
   une certaine période de la même colonne [25].
3. Multiplier par 0 retourne 0 lui-même, par 1 retourne le commultipliant
   Ajouter 0 retourne le cofacteur, 1 retourne l’anticofacteur
   ainsi (1+1) fait \(\dot{0}\) avec retenue
   \(\dot{0}\), avec retenue auquel on ajoute 1 fait 1 avec retenue et si on ajoute 1 à ce dernier on obtient \(\ddot{\mathrm{O}}\) , etc. [26]
4. Toute retenue ajoute une unité à la plus proche colonne supérieure
   Une double retenue ajoute une unité à la colonne supérieure décalée d’un rang
   Une triple retenue ajoute une unité à la même place et ainsi
   Une unité à la prochaine place semblable de la colonne supérieure
   Une retenue quadruple ajoute une unité à la colonne supérieure déplacée de deux rangs, etc.

39 [27]

3. Reproduction des manuscrits

[LH XXXV, 4, 12, fol. 4r et 4v [28]] (Regula de transitu per saltum non admittendo)

40

41

[LH XXXV, 5, 14, fol. 14r et 14v [29]] (Logarithmus impossibilium)

42

[LH XXXV, 4, 12, fol. 2r et 2v [30]] (Elemens du calcul)

43

44

[LH XXXV, 12, 1, fol. 191 [31]] (Periodus numerorum)

45