Présentation générale des modèles espace-état

4 Les modèles espace-état intègrent la distinction entre les variables observées (le signal) et les variables cachées (l’état interne). Ils sont constitués :

• d’une ou plusieurs équation(s) de mesure (équation (1) dans l’encadré) décrivant la manière dont les variables observées sont générées par les variables cachées et les résidus.
• d’une ou plusieurs équation(s) d’état (équation (2) dans l’encadré) décrivant la manière dont les variables cachées sont générées à partir de leur retard et d’innovations.

5 Dans leur version élémentaire, les modèles espace-état reposent sur un certain nombre d’hypothèses principales : les équations de mesure et d’état sont linéaires ; les bruits d’observation et d’innovation sont des bruits blancs [3] ; les variables cachées suivent à un instant initial donné une loi gaussienne. À ces dernières, se sont ajoutées des hypothèses secondaires permettant de déterminer la forme canonique (cf la définition 2 dans l’encadré) : l’indépendance entre les bruits d’observation et d’innovation (condition d’inversibilité [4]) et l’indépendance entre la variable cachée initiale et ces bruits (condition de causalité). Toutes ces hypothèses sont destinées à simplifier les procédures d’estimation.

6 Pour autant, on ne peut pas associer à un processus donné Y_t une unique représentation espace-état. En effet, s’il existe une représentation de vecteur d’état Z_t , on peut formuler facilement une autre représentation Z_t* = E_tZ_t , E_t étant une matrice inversible quelconque. De même, au lieu de modéliser Z_{t+ 1} dans l’équation d’état, on pourrait sans difficulté adapter l’estimation à un modèle d’état de Z_t . Enfin, diverses dimensions du vecteur d’état sont possibles et il convient de rechercher un modèle de dimension minimale (encadré), de manière à ne pas alourdir la procédure d’estimation.

7

Estimation des variables d’état par le filtre de Kalman

8 Afin de simplifier l’analyse, les paramètres [5] définissant le modèle espace-état sont supposés connus et le modèle est supposé dépourvu de variables exogènes. La question consiste alors à estimer à chaque instant t les variables cachées (le vecteur d’état) conditionnellement aux variables observées jusqu’à la date t (le vecteur de mesure).

Présentation de l’algorithme

9 Pour calculer des estimations filtrées du vecteur d’état, l’algorithme optimal [6], appelé filtre de Kalman, est utilisé. L’algorithme est structuré en deux étapes reprises d’itération en itération. Les deux premières équations (1 et 2) sont des équations de « mises à jour des mesures » (actualisation) et les deux suivantes (3 et 4) de « mise à jour du temps » (prévision). La première étape concerne les lois de probabilité a posteriori qui tiennent compte de l’information à la date t. La seconde étape, à la différence de la première, ne dépend pas des observations à la date t : le calcul peut être fait « hors-ligne », c’est-à-dire sans utiliser les signaux Y_t . Enfin, la dernière équation (5) actualise la matrice de gain [7] K_t qui intervient dans les équations précédentes. Chaque itération se résume par les cinq équations suivantes :

10

et par l’initialisation : Z* _–1,0 = m,? _–1,0 = P
où

• Z*_t,t est l’estimation courante du vecteur d’état ;
• ?_t,t = V(Z_t,t –Z*_t,t ) est l’erreur quadratique moyenne sur Z_t  ;
• Z*_{t- 1,t} est la prévision du vecteur d’état faite à la date t–1 ;
• ?_{t- 1,t} =V(Z_{t- 1,t} -Z*_{t- 1,t} ) est l’erreur quadratique moyenne de prévision correspondante ;
• K_t est la matrice de gain de Kalman qui sera définie dans l’algorithme qui suit.

L’équation (1) calcule l’estimation courante du vecteur d’état Z*_t,t comme la somme pondérée de la prévision à la date t–1 du vecteur d’état Z_t et de l’erreur de prévision calculée à partir de la dernière valeur observée Y_t . La pondération K_t , appelée matrice de gain, est actualisée à chaque itération par l’équation (5). L’équation (3) permet de calculer la prévision de Z_t à la date t+1, Z*_{t,t+ 1}, comme la projection de Z_{t,t+ 1} sur son passé (passé synthétisé par Z_t,t ).
Les équations (2) et (4) sur les matrices de covariance sont appelées « équations de Riccati ». Ces équations permettent de calculer la suite des gains de Kalman K_t et ce calcul peut être fait « hors-ligne ». La matrice de covariance a posteriori ?_t,t connaît généralement un gain en précision par rapport à la matrice de covariance a priori ?_{t- 1,t} grâce au terme K_tC_t?_{t- 1,t} (équation 2). La matrice de covariance a priori en t+1, ?_{t,t+ 1}, prend en compte les erreurs liées aux innovations de l’état avec la matrice Q_t , mais est aussi augmentée d’un terme A_t ?_t,t A’_t associé aux erreurs sur l’état à la date t (équation 4). Lorsque les variables d’état sont stationnaires, la covariance prévue ?_{t,t+ 1} qui part d’une incertitude a priori P, tend vers une constante ?_? (voir Harvey, 1989). Après une période transitoire, les intervalles de confiance entourant des variables cachées stationnaires ont donc une largeur à peu près constante.

Interprétations graphiques du filtre de Kalman

12 Si le filtre de Kalman vise d’abord à estimer la variable cachée Z_t, il permet également de réaliser une prévision de Y_t, connaissant son passé. Il suffit pour cela de calculer Y*_{t- 1,t} = C_tZ*_{t- 1,t} . En raisonnant sur la variable d’observation, le filtre calcule en fait une prévision Y*_{t- 1,t} qui est ensuite corrigée par comparaison avec la mesure réelle Y_t . Le filtre fait donc dévier progressivement la trajectoire théorique Y*_{t- 1,t} (engendrée par les conditions initiales et l’équation d’état) vers la trajectoire réelle Y_t , comme le montre le schéma 1. En raisonnant sur l’état Z_t , son estimation actualisée Z*_t,t est décomposable entre la prévision Z*_{t- 1,t} et un terme correctif proportionnel à l’erreur relative aux dernières observations Y_t .

Schéma 1

Trajectoire théorique et trajectoire réelle

Trajectoire théorique et trajectoire réelle

13 Une seconde représentation du filtre de Kalman consiste à utiliser des propriétés élémentaires de l’algèbre linéaire. Rechercher Z*_t,t = E(Z_t|Y_1,t ) revient en effet à projeter Z_t sur l’espace engendré par Y ₁, …, Y_t . Or cet espace peut se décomposer en l’espace des valeurs observées par le passé (engendré par Y ₁, …, Y_{t- 1}) et celui de l’innovation v_t (égale à Y_t-C_tZ*_{t- 1,t} ). En projetant Z_t sur ces deux sous-espaces, on obtient par définition Z*_{t- 1,t} et E(Z_t|v_t ). On peut alors montrer que E(Z_t|v_t ) peut se réécrire K_tv_t avec la matrice de gain calculée dans l’équation (5). L’équation (1) exprime alors la projection recherchée comme la somme des projections sur chaque sous-espace (schéma 2).

Schéma 2

Projection du vecteur Z*_t,t

Projection du vecteur Z*_t,t

Estimation des paramètres par le maximum de vraisemblance

Algorithme EM

14 Dans la partie précédente, les matrices A_t , C_t , Q_t , R_t , P ainsi que le vecteur m étaient supposés connus. En pratique, ces matrices sont inconnues et doivent être estimées. L’algorithme EM est couramment utilisé pour déterminer les Estimateurs du Maximum de Vraisemblance (EMV) des paramètres d’un modèle espace-état. Cet algorithme itératif a le mérite d’être simple, même s’il est relativement lent à converger par rapport à des algorithmes plus sophistiqués. Il a été introduit par Dempster et al. (1977) pour estimer le maximum de vraisemblance de modèles stochastiques à variables cachées.

15 Pour procéder à une estimation par maximum de vraisemblance des paramètres d’un modèle espace-état, il est nécessaire d’avoir l’expression de la fonction de vraisemblance. Pour chaque jeu de paramètres ?, la log-vraisemblance associée à un échantillon Y ₁,…,Y_T d’un modèle espace-état s’exprime à partir des valeurs prévues de l’état Z*_{t- 1,t} et des matrices de covariance associées ?_{t- 1,t}  :

16

L’algorithme EM est alors un algorithme itératif qui génère une séquence d’estimations (?_i)_{i= 1,2,…} à partir d’une condition initiale ? ₀. Chaque itération se décompose en deux étapes qui s’écrivent :

• Étape E : ln l(Y_0:T ;?) se déduit de Z*_{t- 1,t} (?_i) et de ?_{t- 1,t} (?_i), calculés par un filtre de Kalman.
• Étape M : la maximisation de ln l(Y_0:T ; ?) par rapport à ? conduit à ?_{i+ 1}.

La première étape E (« Expectation », c’est-à-dire « Espérance ») calcule une vraisemblance à partir de la formule précédente sur la vraisemblance d’un modèle espace-état. Ces formules mobilisent en particulier l’application d’un filtre de Kalman pour connaître l’espérance conditionnelle de l’état Z*_{t- 1,t} et de sa covariance ?_{t- 1,t} à paramètres ?_i et observations Y_0:T fixés. La seconde étape M (« Maximisation »), consiste à rechercher un jeu de paramètres maximisant la vraisemblance estimée dans l’étape E. Cette maximisation peut-être analytique ou numérique selon la complexité du problème. Après un cycle « Étape E / Étape M », on obtient ?_{i+ 1} et on peut montrer que L(Y_t|?_{i+ 1} )>L(Y_t|?_i). En itérant ces étapes E et M, les paramètres estimés par l’algorithme convergent généralement vers le maximum de vraisemblance.

Décomposition tendance/cycle [8]

23 Un premier exemple d’application des techniques d’estimation précédentes concerne les décompositions tendance/cycle qui visent à donner une idée du niveau de la croissance potentielle et des phases du cycle d’affaire. Parmi la diversité des méthodes existantes, les modèles à composantes inobservables développés par Harvey (1989) ont été retenus, car ils se mettent facilement sous forme espace-état. Ces modèles de décomposition sont considérés ici à un niveau univarié, ce qui en restreint le contenu économique, mais a l’avantage de présenter une plus grande lisibilité. Leurs résultats ont de ce fait essentiellement un intérêt descriptif sur le passé [9]. Les résultats présentés proviennent d’une application au cas américain sur des données trimestrielles de PIB (en logarithmes) provenant des comptes nationaux sur la période 1960-2002. Tous les résultats sont obtenus à partir du logiciel STAMP développé par Koopman et al. (2000).

24 Dans le modèle proposé par Harvey (1989), une série Y_t est décomposée, de manière additive [10], en une tendance T_t , un cycle C_t et une composante irrégulière ?_t . Chacune de ces composantes est stochastique et elles sont supposées mutuellement non corrélées entres elles. La tendance suit un modèle « localement linéaire » [11], un modèle de tendance assez général permettant de prendre en compte divers types de chocs permanents. La composante cyclique est un processus linéaire stationnaire susceptible de faire apparaître une alternance relativement régulière de pics et de creux, tout en admettant une certaine persistance des phases du cycle et d’éventuelles dissymétries entre elles. Sa modélisation requiert l’introduction d’une variable C*_t qui n’a pas d’interprétation particulière. La composante irrégulière ?_t est un bruit blanc.

25

1

Paramètres de la décomposition du PIB américain

?? ?? ?? ?ê ? ? Valeur estimée 0 0 0,04 0,75 0,20 0,95 (écart-type) (-) (-) (0,01) (0,08) (0,02) (0,00) Note :les paramètres ?? ?? ???? et leur écart-type sont multipliés par 100. Sources :Bureau of Economic Analysis,calculs des auteurs.

Paramètres de la décomposition du PIB américain

26 Comme le montre le tableau 1, le modèle univarié adéquat est spontanément un modèle du type « tendance douce » [12], c’est-à-dire que les innovations sur le niveau de la tendance ont une variance ?_? estimée à 0. Le modèle comporte également un cycle stochastique de paramètres ? = 0,95 et l = 0,2, soit une durée moyenne d’environ 8 ans [13]. La période estimée du cycle américain est raisonnable, mais apparaît plus longue que la durée de 6 ans qui lui est souvent attribuée. Quant au paramètre ?, sa valeur élevée indique que le cycle est relativement lisse, ce qui est conforté par la nullité de la composante irrégulière (?_? = 0) : comme l’ont montré Bentoglio et al. (2001) en comparaison avec l’Europe, ceci indique que les États-Unis connaissent des périodes d’expansion et de ralentissement régulières, relativement au caractère heurté de la conjoncture européenne. Pour apprécier l’ordre de grandeur des écarts-types des innovations affectant la tendance et le cycle, ainsi que celui de l’erreur de prévision, on peut considérer qu’ils sont exprimés en proportion du niveau moyen de la série. On notera que la variance des innovations affectant la pente de la tendance est bien inférieure à celle des innovations du cycle, ce qui traduit la progressivité des inflexions de la pente de la tendance. Concernant les erreurs de prévision, les statistiques des tests de normalité et de Box-Ljung ne permettent pas de rejeter l’hypothèse nulle selon laquelle il s’agit d’un bruit blanc (tableau 2).

2

Statistiques des erreurs de prévision

Statistiques ? N Q(13,10) Résidus 8,5.10-3 5,2 14,0 Note : Pour tester la normalité des résidus, est calculée la statistique de Bowman-Shenton N qui suit un ?² à 2 degrés de liberté et admet donc pour valeur critique 6,0 au seuil de 5%. Pour tester la nullité de l’auto-corrélation des p=13 premiers résidus d’un modèle à n=4 paramètres, est calculée la statistique de Box-Ljung Q(p,p-n+1) qui suit un ?² à p-n+1=10 degrés de liberté et admet donc ici la valeur critique 18,3 au seuil de 5%. Sources : Bureau of Economic Analysis, calculs des auteurs.

Statistiques des erreurs de prévision

27 En ce qui concerne la croissance de la tendance, dont l’estimation lissée est présentée sur le graphique 1, elle s’interprète comme un taux de croissance équilibré de long terme qui baisserait de 4,5 % dans les années 1960 à moins de 3 % dans les années 1980 pour revenir à environ 3,5 % à la fin des années 1980, sans compter la part cyclique de l’envolée de la croissance américaine sur cette même période. Le graphique 2 représente l’estimation du cycle américain. On repère alors sur le cycle cinq pics entre 1960 et 2002 : un léger ralentissement initié en 1966 en période de croissance forte, les deux chocs pétroliers en 1973 et en 1979, le pic de 1989 associé à l’éclatement de la bulle immobilière américaine et celui de 2000 à la suite de l’effondrement des valeurs technologiques. Les États-Unis ont donc connu quatre cycles entiers sur la période et on retrouve bien une durée moyenne d’environ 8 ans et non de 6 ans. À l’aide du graphique 2, on voit que cela s’explique par la période retenue : les deux derniers cycles d’une durée très longue (10 ans) prennent une forte importance relative, alors que les cycles étaient plus courts (6 ans) durant les années 1950, 1960 et 1970.

1

Taux de croissance de la tendance du PIB américain

Taux de croissance de la tendance du PIB américain

2

Cycle du PIB américain

Cycle du PIB américain

Note : les barres verticales indiquent les 5 pics cycliques repérés dans la période d’estimation. Sont également ajoutées sur le graphique les durées de ces 5 cycles.

28 Si ce modèle conduit à d’intéressants résultats sur les évolutions du cycle et de la tendance, sa principale limite concerne l’hypothèse d’indépendance entre la tendance et le cycle. Cette hypothèse exclut tout effet d’hystérèse, notamment l’idée qu’une récession puisse engendrer un ralentissement durable de la tendance. La spécification retenue ici pour le cycle ne permet en fait pas d’identifier la corrélation entre la tendance et le cycle. Comme l’ont montré Morley, Nelson et Zivot (2002), l’identification de cette corrélation requière de modéliser le cycle comme un processus auto-régressif d’ordre 2. Le modèle de Morley et al. (2002) n’a pas été retenu ici car, à la différence de ? et ?, les paramètres du cycle ne sont pas interprétables et surtout, comme l’a montré Proietti (2002), parce que le cycle issu de ce modèle est sujet à de très importantes révisions avec l’arrivée de nouvelles données.

Indice coïncident [13]

29 Nombre de variables macroéconomiques présentent des co-mouvements avec le cycle des affaires. Dans cette perspective, il est utile de construire un indice coïncident à partir de ces variables. Il s’agit alors d’exprimer chaque variable en fonction d’une composante inobservable commune, l’indice coïncident « résumant » les informations de chaque variable économique. Avec cet objectif, le Departement of Commerce (DOC) des États-Unis a construit avec une procédure ad hoc un indicateur de base 100 en 1995, dénommé DOC. Cet indicateur combine quatre variables macro-économique (Y_i) : l’indice de la production industrielle (Y ₁ ), le revenu nominal avant transferts (Y ₂ ), les ventes industrielles et commerciales (Y ₃ ) et l’emploi salarié non agricole (Y ₄ ). Pour trouver une solution optimale en terme de vraisemblance à ce problème d’estimation d’un résumé de quatre séries temporelles, Stock et Watson (1991) ont proposé de formuler et d’estimer un modèle espace-état avec des variables cachées appropriées. Nous reprenons ici l’approche de Stock et Watson (1991) et la nouvelle formulation proposée par Kim et Nelson (1999).

30 Dans un cadre espace-état, les équations de mesure décomposent chaque variation [14] des variables économiques en fonction d’une composante commune [15] d’une part (qui servira à construire l’indice coïncident) et des composantes idiosyncratiques d’autre part. Les équations d’état servent ensuite à modéliser les dynamiques auto-régressives de la composante commune [16] et des composantes idiosyncratiques.

31

Première étape : Estimation du modèle en écart à la moyenne

32 Le terme constant ? dans l’équation de mesure n’étant pas directement identifiable, le modèle est estimé, dans un premier temps, avec un vecteur de mesure (y_it) contenant les variables différenciées à l’ordre 1 en écart à leur moyenne respective. Quant au vecteur d’état, il contient la composante commune c_t , les composantes idiosyncratiques (e_it ) et leurs retards respectifs. Le modèle espace-état précédent se reformule alors par le modèle centré suivant :

33

avec	et ?ct = ?Ct – ?.
Vecteur d’état :	Zt = (?Ct, ?Ct- 1, ?eit, ?eit- 1)’i= 1…4
Vecteur de mesure :	?yt = (?Yit )’i= 1…4

34 Ce modèle est alors estimé et ses paramètres sont reportés dans le tableau 3.

3

Estimation des paramètres

?ct ?y1,t ?y2,t ?y3,t ?y4,t ?1 0,5657 - - - - (0,0808) ?2 0,0353 - - - - (0,0855) ?i,1 - – 0,0018 (0,0029) – 0,0371 (0,0094) 0,0896 (0,0065) – 0,0021 (0,0119) ?i,2 - – 0,0338 (0,0472) – 0,0044 (0,0641) 0,6811 (0,0469) 0,0101 (0,0108) ?²i - 0,1439 (0,0080) 0,3571 (0,0693) 0,0152 (0,0016) 0,1383 (0,0101) ?i,0 - 0,0647 0,2854 0,2490 0,5762 (0,0384) (0,0487) (0,0253) (0,0334) ?i,1 - - - - 0,2143 (0,0149) ?i,2 - - - - 0,4512 (0,0341) ?i,3 - - - - 0,1383 (0,0101) Note : les écart-types des paramètres estimés sont indiqués entre parenthèses. Sources : Bureau of Economic Analysis, Bureau of Labor Statistics, calculs des auteurs.

Estimation des paramètres

Deuxième étape : Estimation de l’indicateur coïncident

35 Dans un second temps, on estime ? et on construit l’indicateur coïncident (C_t,t). La forme développée [17] du modèle (I) implique une relation entre C_t,t et ?Y_t de type :

36 C_t,t = W(L)?Y_t dont on déduit
Le problème se déplace donc à l’identification de W(1). L’astuce proposée par Stock et Watson (1991) consiste alors à identifier W(1) en repassant par le modèle en écart à la moyenne (II). Dans le modèle (II), l’estimateur c_t,t de la variable cachée se déduit en effet de la variable observée en utilisant la même forme développée et on obtient :
C_t,t = W(L)?Y_t
Sans rentrer dans les détails, indiquons juste que W(L) et a fortiori W(1) peuvent alors se déduire du filtre de Kalman estimé précédemment pour le modèle (II).
Une fois la constante estimée, tous les paramètres du modèle sont connus et l’indicateur coïncident se définit par la formule :
C_t,t = C_{t,t- 1} + c_t,t + ?
L’indicateur est donc identifié au choix arbitraire près d’une valeur initiale C _0,0. Finalement, on définit un indicateur normalisé (ayant la même valeur en 1970 que l’indice DOC) à partir de la formule suivante :

Le graphique 3 montre que les points de retournement du nouvel indicateur et de l’indice DOC sont synchronisés. En revanche, le nouvel indicateur présente une plus forte croissance dans les années 1960 et une croissance plus ralentie dans les années 1980 et 1990.

3

Indicateur coïncident et indice DOC

Indicateur coïncident et indice DOC

Note : DOC est un indice de base 100 en 1995. L’indice expérimental a un niveau arbitraire égal à l’indice DOC en janvier 1970. Les barres discontinues indiquent les points de retournement de l’indice DOC.

Détermination du taux de chômage d’équilibre [18]

37 Le Nairu est défini comme le taux de chômage stabilisant l’inflation en l’absence de chocs d’offre temporaires. Si le taux de chômage est inférieur au Nairu, l’inflation s’accroît jusqu’à ce que le taux de chômage atteigne le niveau du Nairu. L’inflation se stabilise alors à un niveau plus élevé. Les évaluations structurelles du Nairu sont réalisées à partir d’une équation de prix et d’une équation de salaires. Ce type d’évaluation pose deux problèmes : la diversité des chiffrages auxquels conduisent les études selon la spécification retenue ; la difficulté à expliquer, pour la fin des années 1990, la compatibilité entre une forte baisse du chômage américain et le maintien d’une inflation modérée.

38 C’est pourquoi d’autres méthodes d’estimation ont été proposées dans la littérature récente [19] : le filtre Hodrick-Prescott (HP), le filtre Hodrick-Prescott Multivarié (HPMV) [20] ou un filtre de Kalman [21]. Si le filtre HP est un simple lissage du taux de chômage, le filtre HPMV et le filtre de Kalman prennent en compte l’information apportée par l’inflation sur le niveau du Nairu, qui est mesuré comme une variable cachée dans un modèle réduit, le triangle model (Gordon, 1997) :

39 ??_t = ?(L)??_{t- 1} – ?(u_t – u*_{t- 1})– ?z_t + ? _1t

40 où u*_{t- 1} est le Nairu, u_t est le taux de chômage, ?_t est l’inflation, ??_t est le taux de croissance de l’inflation, ?(L) est un polynôme retard, ? est un vecteur de paramètres et z_t est un vecteur de chocs d’offre temporaires. Ce modèle est dit triangulaire car l’inflation y trouve trois déterminants : l’inflation passée (?(L) ??_{t- 1}), les tensions sur le marché du travail (u_t – u*_{t- 1}) et les chocs d’offre (z_t). Les trois filtres ont pour objectif de fournir un Nairu plus variable avec le temps, mais ne permettent généralement pas d’expliquer le sens économique des évolutions du Nairu.

41 À l’origine, le filtre HP et le filtre HPMV estiment le chômage d’équilibre comme solution des programmes de minimisation suivants :

42

4

Résumé des différents modèles

Modèles Equations de mesure Equations d’état ?2?1 ?2?2 ?2? HP ut?u*t+?2,t ? u*t??u*t-1+?t u - 1/16 1/400 HPMV ??t = ?(L)??t-1-?(ut-u*t-1)+?zt+?1,t ut = u*t+?2,t ?u*t=?u*t-1+?t 1 1/16 1/400 Kalman ??t = ?(L)??t-1-?(ut-u*t-1)+?zt+?1,t u*t=u*t-1+?t R - Q Note : Pour le filtre de Kalman, les variances des innovations de l’équation de mesure ((?²?1) et de l’équation d’état (?²?) sont estimées librement avec les paramètres R et Q (selon les notations de l’encadré 1).

Résumé des différents modèles

43 Pour le filtre HP, l’équation de mesure décrit le taux de chômage comme la somme d’une composante tendancielle (le taux de chômage d’équilibre) et d’un bruit, l’équation d’état définissant le taux de chômage d’équilibre comme une marche aléatoire en premières différences. Les variances des innovations et des erreurs de mesure sont fixées et égales à 1/400 et 1/16 respectivement, correspondant aux valeurs retenues pour une estimation avec des données semestrielles.

44 Pour le filtre HPMV, les résidus de la courbe de Phillips augmentée sont inclus dans le programme de minimisation. On utilise deux équations de mesure : la courbe de Phillips et le Nairu. L’équation d’état définit à nouveau la première différence du Nairu comme une marche aléatoire sans dérive. Les valeurs des variances de l’erreur de mesure, de l’innovation de la courbe de Phillips et des innovations du Nairu sont respectivement égales à 1, 1/16 et 1/400.

45 Pour le filtre de Kalman standard, la courbe de Phillips est directement utilisée comme équation de mesure. Il est à noter qu’aucune restriction n’est imposée sur la valeur des variances contrairement aux deux précédents modèles. Mais Stock et Watson (1996) ont montré que l’estimation par le filtre de Kalman pouvait biaiser vers 0 la variance des variables cachées d’une régression, soit ici la variance du Nairu U* qui apparaît dans la régression de l’inflation. Ce problème, dénommé le « pile-up problem », est illustré sur le graphique 4, le Nairu estimé par le filtre de Kalman ayant une variance excessivement faible.

4

Comparaison des filtres HP, HPMV et de Kalman

Comparaison des filtres HP, HPMV et de Kalman

46 Les modèles espace-état sont appliqués à l’estimation du Nairu aux États-Unis sur la période 1963:1-1999:2 (graphique 4). Les estimations du Nairu évolutif par les filtres HP et HPMV fournissent des résultats convergents avec une baisse du chômage d’équilibre de presque 4 points entre le milieu des années 1980 à la fin des années 1990 où il passe sous les 5 %. En revanche, l’estimation du modèle « filtre de Kalman » est beaucoup moins variable, passant d’environ 6 % dans les années 1980 à un peu plus de 5 % dans les années 1990. Avec un chômage à environ 4 % en fin de période, cela signifierait que le chômage serait en 1999 à plus de 1 % sous le Nairu et impliquerait une forte accélération de l’inflation qui n’a pas été observée. L’estimation libre par le filtre de Kalman ne semble donc pas satisfaisante relativement aux estimations HP et HPMV. Ces mauvais résultats du filtre de Kalman sont liés au « pile-up problem », qui explique qu’on ait ici à tort un Nairu presque constant.

47 En conclusion, cet exemple a illustré une utilisation intéressante du filtre de Kalman, l’estimation de filtres HP ou HPMV, mis sous forme de modèles espace-état, avec un ratio contraint sur les variances. Mais cet exemple a également montré qu’un modèle espace-état ne peut pas toujours être estimé tel quel : la variance de la variable d’état doit parfois être calibrée sous peine d’obtenir des résultats biaisés avec une variable d’état quasi-constante.

Contenu informatif de la courbe des taux sur l’inflation future [22]

48 Une dernière application concerne l’étude du contenu informatif de la structure par terme des taux d’intérêt pour l’inflation future. Ce type d’étude se justifie par l’intérêt des décideurs de la politique monétaire pour la courbe des taux comme une des variables financières permettant de prédire l’inflation. Mais la question n’est abordée ici qu’en tant qu’application possible des techniques espace-état. L’objectif est essentiellement de montrer, dans ce contexte, que le filtre de Kalman permet d’estimer un modèle linéaire à coefficients aléatoires.

49 Une méthode simple pour tester le contenu informatif (ou le pouvoir prédictif) de la courbe des taux pour l’inflation future est d’estimer l’équation suivante [23] par moindres carrés ordinaires (en utilisant éventuellement une correction de White ou de Newey et West) :

50

5

Estimation par MCO

Variables Coefficients Ecarts-types t-stat ? – 0,256 0,108 – 2,369 ? 1,260 0,255 4,941 Sources : Federal Reserve Bank, OECD, Analytical Data Base ; calculs des auteurs.

Estimation par MCO

51 Cependant, l’inconvénient de cette méthode est qu’elle prédit en moyenne sur l’ensemble de la période un contenu informatif de la courbe des taux pour l’inflation future. Or, les travaux empiriques montrent que le contenu informatif des écarts de taux varie selon la période d’estimation retenue, le pays retenu et le segment considère de la courbe des taux. En particulier, cette relation a notamment été étudiée avec des tests de stabilité. Même si la date de rupture peut être endogénéisée, il est difficile de mettre en évidence plusieurs dates de rupture compte tenu des propriétés à distance finie de ces statistiques. Une approche alternative consiste à estimer l’équation précédente en faisant varier ?. Par exemple, l’estimation de modèles à changements de régime permet d’envisager que ce coefficient prenne une valeur fixe sur certaines périodes et que cette valeur bascule avec les changements de régime (Chopin et Pelgrin, 2003). Il est alors possible de mettre en évidence plusieurs régimes. En d’autres termes, le contenu informatif pour l’inflation future varie dans le temps. Ces résultats sont confirmés par d’autres modèles non linéaires (modèles à seuils, non paramétriques). Finalement, les tests d’Andrews de fin d’échantillon montrent que le contenu informatif est faible pour les États-Unis lors de la dernière décennie.

52 Dans cette perspective, pour mettre en évidence la variabilité du contenu informatif de la courbe des taux pour l’inflation future, il convient d’utiliser une représentation espace-état simple où le coefficient représentant la pente de la relation (1) suit un processus stationnaire autour d’une moyenne [25]. Une autre alternative simple consisterait a implémenter la méthode des moindres carrés ordinaires récursive par une écriture espace-état.

53 À la suite de Garbade et Wachtel (1978), on envisage ici que ce coefficient puisse évoluer progressivement à l’aide d’un modèle linéaire à coefficient variable de la forme :

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Estimation du modèle espace-état

Variables Coefficients Ecarts-types ? – 0,14 0,03 ??² 0,29 0,06 0,09 0,07 ? 0,94 0,00 ??² 0,56 0,07 Sources : Federal Reserve Bank et OECD Analytical Data Base (ADBM) ; calculs des auteurs.

Estimation du modèle espace-état

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Évolution de ?_t sur la période 1980:1-1996:12

Évolution de ?_t sur la période 1980:1-1996:12

55 L’exercice simple précédent a montré comment le filtre de Kalman peut être utilisé pour estimer un modèle linéaire à coefficient aléatoire lorsque la relation étudiée peut être instable ou variable dans le temps. Il s’agirait sans doute d’approfondir la ou les sources d’instabilité (différentes représentations espace-état sont possibles avec des hypothèses différentes sur la constante ou la pente) et de tester par la suite le contenu informatif de la courbe des taux, ainsi que la relation de Fisher sur les sous-périodes considérées. Cependant, ce n’est pas l’objet de cet exemple.

Conclusion

56 Dans cet article ont été présentés les modèles espace-état et les techniques d’estimation associées, cadre de modélisation des séries temporelles issu des sciences de l’ingénieur. Ces modèles sont composés d’équations linéaires classiques (les équations de mesure) et supplémentaires servant à décrire la dynamique de variables cachées (les équations d’état). La procédure du maximum de vraisemblance consiste alors à estimer les variables cachées avec le filtre de Kalman et l’ensemble des paramètres du modèle avec l’algorithme EM.

57 Étant donné la généralité de la formalisation espace-état, de nombreux et divers modèles ou méthodes économétriques peuvent être reformulés et estimés par le maximum de vraisemblance dans ce cadre probabiliste : les modèles à composantes inobservables, les modèles à facteurs, les filtres HP ou HPMV et les modèles à coefficients aléatoires. Dans le cas des décompositions tendance-cycle, au lieu de recourir à une tendance coudée ou à un lissage par un filtre HP, le modèle à composante inobservable de Harvey (1989) détermine une tendance douce et un cycle, dont l’interprétation est facilitée par des paramètres de durée moyenne et de lissage. Pour estimer un indice coïncident d’activité, l’estimation d’un modèle à facteurs semble préférable à une moyenne pondérée arbitraire des composantes de l’activité. Pour éviter de recourir aux modèles structurels du Nairu dont les spécifications sont sujettes à de vifs débats, les techniques espace-état permettent également d’estimer le Nairu selon un filtre HPMV. Enfin, dans le cas d’équations instables au cours du temps, l’estimation d’un modèle à coefficients aléatoires permet de prendre en compte la variabilité des coefficients, par exemple du contenu informatif de la courbe des taux sur l’inflation future.

58 Mais ces applications ont également montré quelques difficultés qu’il convient de rappeler. Certains paramètres s’avèrent difficiles à identifier : la corrélation entre la tendance et le cycle a ici été supposée nulle, excluant tout effet d’hystérèse ; l’identification du taux de croissance moyen de l’indicateur coïncident a nécessité le développement d’une procédure spécifique. D’autre part, l’application au Nairu a montré la nécessité de calibrer la variance de la variable d’état qui risquerait d’être biaisée vers zéro. Enfin, si un modèle à coefficient aléatoire permet d’étudier le contenu informatif de la courbe des taux au cours du temps, il s’agirait de mieux prendre en compte l’incertitude qui entoure ces estimations.