1.1. Une (brève) revue de la littérature

9 Cet article contribue à la littérature, initiée par Olson [1965], sur le problème de passager clandestin et l’action collective effective d’un groupe en fonction de sa taille. Un certain nombre d’auteurs (par exemple, Chamberlin [1974] ; McGuire [1974] ; Oliver et Marwell [1988]) ont souligné que la thèse d’Olson selon laquelle il existe une relation inverse entre la taille du groupe et son niveau d’action collective dépend fondamentalement du fait que le bien collectif soit un bien privé pur et divisible entre les membres du groupe. En effet, selon ces auteurs, si le bien collectif est un bien public pur alors le niveau d’action collective d’un groupe dépend positivement de sa taille. Plus récemment, Pecorino [2009, 2012] montre que la fourniture privée de bien public devient impossible à mesure que la taille de la collectivité augmente – en fait, tend vers l’infini – dès lors que le bien public présente le moindre degré de rivalité.

10 Plus étroitement liée à la présente analyse est celle d’Esteban et Ray [2001]. Ces auteurs montrent, dans un modèle statique de recherche de rentes entre groupes, que les grands groupes ont une probabilité de succès plus importante indépendamment du degré de rivalité de la rente dès lors que le coût d’investissement en activités de recherche de rentes est suffisamment convexe. En effet, dans ce cas, les membres d’un petit groupe contribuent plus que dans un grand groupe – en raison d’un problème de passager clandestin moins sévère – mais néanmoins pas assez – compte tenu de la convexité du coût d’effort de recherche de rentes – pour compenser le nombre plus faible de contributeurs. Dans cet article, nous nous intéressons également au problème d’action collective lorsque le bien collectif a une nature mixte public/privé mais dans un cadre dynamique. Et c’est précisément parce que les grands groupes sont intrinsèquement désavantagé dans la concurrence intergroupe à l’équilibre du jeu statique, qu’ils sont plus aptes à maintenir la coopération dans le jeu répété.

11 En ce qui concerne la littérature sur les accords tacites dans les jeux répétés de fourniture (privée) de biens publics, McMillan [1979] a été le premier à montrer en quoi des stratégies de représailles pouvaient permettre de rapprocher l’équilibre décentralisé de l’optimum social dans une économie avec bien(s) public(s). Plus récemment, Pecorino [1999] étudie l’impact d’une hausse de la taille de la collectivité sur l’aptitude de celle-ci à soutenir, dans un jeu répété, un comportement coopératif de fourniture privée de bien public. Il montre qu’un accroissement de la taille du groupe a un effet indéterminé sur le facteur d’escompte minimum nécessaire au maintien de la coopération. [1] Par rapport à ces analyses, notre contribution est d’étudier la dynamique de l’action collective d’un groupe non pas isolé du reste du monde, mais en concurrence avec un opposant. Dans ce contexte, les incitations à dévier ou à (continuer de) coopérer sont de nature totalement différente qu’en l’absence de menace extérieure. Nous montrons de plus qu’une hausse de la taille du groupe a un effet non ambigu (et positif) sur l’efficacité des stratégies de réciprocité pour soutenir la coopération au sein du groupe.

12 Enfin, cet article s’inscrit dans la continuité d’un travail précédent sur la coopération intra-groupe versus concurrence intergroupe dans un jeu répété de recherche de rentes entre groupes (Cheikbossian [2012]). Dans ce premier article, nous considérons deux groupes de tailles différentes (un petit et un grand groupe) qui se font concurrence de façon répétée pour une rente privée parfaitement divisible entre groupes d’une part et entre membres d’un même groupe d’autre part. Un des résultats principaux est de montrer que s’il existe un équilibre en sous-jeu parfait permettant de soutenir la coopération dans le petit groupe, alors il existe aussi un équilibre permettant de soutenir la coopération dans le grand groupe, tandis que la réciproque n’est pas vraie. L’analyse que nous proposons ici consiste en fait à considérer que l’un des deux groupes est composé d’un seul individu. Cette simplification nous permet d’étendre l’analyse au cas où il existe une asymétrie d’aptitude dans le conflit ainsi qu’au cas où la rente convoitée peut avoir aussi bien les caractéristiques d’un bien public que celles d’un bien privé. Enfin, nous concluons la présente analyse en montrant que dans un jeu (répété) de recherche de rentes entre individus et sans opposition extérieure, la coopération est plus difficile à soutenir à mesure que la taille de la collectivité augmente. Ceci suggère que c’est bien dans l’adversité que la taille du groupe est une force plutôt qu’une faiblesse pour renforcer la cohésion intra-groupe.

2.1. Le jeu statique

13 Nous commençons par spécifier le jeu d’étape (statique) noté G. Il y a n + 1 joueurs indicés par i = 0, 1,..., n qui s’engagent dans des activités de recherches de rente pour obtenir un prix (ou une rente). L’agent 0 – dénommé ci-après « l’institution en place » – a un avantage comparatif dans le jeu de recherche de rente. Les autres agents, i.e. i = 1, 2,..., n, sont regroupés dans un groupe – dénommé ci-après le « groupe challenger » – et mettent leurs efforts en commun dans le jeu de recherche de rente de façon à supplanter l’institution en place. On notele niveau d’effort (non observable) en activités de recherche de rente de l’individu i appartenant au groupe challenger, etla somme (observable) des efforts des membres de ce groupe. Le niveau d’effort (observable) de l’institution en place est noté Y ∈ R₊. A la suite de la littérature sur les activités de recherche de rente, initiée par Tullock [1980], nous considérons que la probabilité de succès du groupe challenger est donnée par une fonction de succès au concours, p : R₊₂ → [0, 1] , de type Logit, à savoir

{X
p (X, Y) = X + λY si (X, Y) ≠ 0, [1]
1/2 si (X, Y) = 0,

14 tandis que la probabilité de succès de l’institution est donnée par 1 − p (X, Y). [2]

15 λ ≥ 1 est un paramètre qui représente l’aptitude relative au conflit de l’institution en place. Par exemple, si X = Y, alors la probabilité de succès du groupe challenger est égale à p (X, Y) = 1/ (1 + λ) ≤ 1/2, tandis que celle de l’institution en place est égale à (1 − p (X, Y)) = λ/ (1 + λ) ≥ 1/2, reflétant ainsi sa position dominante dans le conflit.

16 Le montant de la rente contestée est égal à V. Cette rente peut avoir à la fois un caractère de bien public et un caractère de bien privé. Pour modéliser le degré de rivalité de la rente, nous supposons que le bénéfice individuel de cette rente pour chaque membre du groupe est donné par V/n^β. Lorsqueβ = 0, la rente est un bien public « pur » et le bénéfice individuel est indépendant de la taille du groupe. Lorsque β = 1, la rente correspond à un bien privé « pur » et est divisible en parts égales entre les membres du groupe. Enfin, lorsque 0 < β < 1, la rente est bien « mixte » qui se rapproche d’autant plus d’un bien public (privé) que β est faible (élevé).

17 Enfin, nous supposons que les préférences de chaque agent sont données par une fonction d’utilité linéaire et additivement séparable, ω_i : R₊ × [0, 1] → R₊. L’utilité espérée d’un individu i (pour i = 1,..., n) du groupe challenger est donnée par

ω_i (x_i, X, Y) = p (X, _βY) V − x_i, [2]
n

18 tandis que l’utilité espérée de l’institution en place est donnée par

ω₀ (X, Y) = (1 − p (X, Y)) V − Y [3]

19 Ce type de modèle structurel peut permettre de représenter un grand nombre de situations réelles d’opposition entre groupes pour une rente politique ou économique. Par exemple, dans le cas d’une rente privée, le modèle peut représenter une situation de marché en concurrence imparfaite où un monopole en place s’engage dans des activités de recherche et développement pour maintenir sa position dominante et ainsi contrer l’action des concurrents potentiels qui eux-mêmes cherchent à supplanter le monopole en place en proposant un nouveau produit. Le paramètre λ peut alors représenter la différence de coûts en activités de recherche et développement entre l’entreprise en place et les entrants potentiels. On pourrait aussi imaginer le cas d’un conflit pour l’accès à une ressource naturelle avec d’un côté l’exploitant historique de la ressource naturelle et de l’autre plusieurs agents qui contestent son exploitation. Dans le cas d’un bien public (pur ou mixte), le modèle peut par exemple représenter le cas où plusieurs juridictions locales font du lobbying auprès de la juridiction centrale pour contester la position de la principale localité bénéficiaire (par exemple) d’un programme de dépollution ou de rénovation (ou de construction) d’infrastructures publiques. Toujours dans le cas d’un bien public (pur), on peut aussi penser aux situations de conflits politiques et/ou idéologiques où par exemple plusieurs groupes investissent dans des activités d’influence pour asseoir leur indépendance (ou leur sentiment d’indépendance) vis-à-vis du groupe dominant (ou au pouvoir).

20 Nous déterminons dans un premier temps l’équilibre du jeu en une étape dans lequel les membres du groupe challenger décident de façon non coopérative de leurs contributions à l’effort collectif de leur groupe et indépendamment de l’action de l’institution en place. Notons X_−i ≡ ∑_κ≠i x_k la somme des efforts de tous les membres du groupe en excluant l’individu i. La meilleure réponse de ce dernier à X_{− i} et au niveau d’effort de l’institution en place, i.e. r_i (X_{− i}, Y), est donnée par la condition du premier ordre suivante [3]

λY V − 1 = 0 [4]
[x_i + X_{− i} + λY]² n^β

21 La meilleure réponse de l’institution en place au niveau d’effort collectif X du groupe challenger, i.e. r₀ (X), est donnée par la condition du premier ordre suivante

λX V − 1 = 0 [5]
[X + λY]²

22 Comme l’effort collectif du groupe challenger a un caractère de bien public pour ses membres, les conditions du premier ordre déterminent seulement le niveau d’effort agrégé mais pas les niveaux d’efforts individuels. Nous nous concentrons donc sur l’équilibre symétrique où tous les membres du groupe produisent le même niveau d’effort (ce qui est justifié dans la mesure où ils sont parfaitement identiques les uns aux autres).

23 L’équilibre symétrique non-coopératif intra (et inter) groupe est donné par un couple d’effort (x^N, Y^N) tel que r₀ (X^N) = Y^N etpour tout i = 1,..., n (et où). Les conditions de l’équilibre symétrique sont donc données par

λY^N V − 1 = 0, [6]
(nx^N + λY^N)² n^β

24 et

λnx^N V − 1 = 0 [7]
(nx^N + λY^N)²

25 En résolvant ce système, nous obtenons

x^N = λ V, [8]
[1 + λn^β]² n

26 tandis que Y^N = n^{1 + β} x^N.

27 On peut en déduire la probabilité de succès du groupe challenger à l’équilibre non-coopératif intra-groupe, i.e.

p (X^N, Y^N) = 1 , [9]
1 + λn^β

28 tandis que la probabilité de succès de l’institution en place est donnée par [1 − p (X^N, Y^N)] = λn^β / [1 + λn^β]. On observe que p (X^N, Y^N) est d’autant plus faible que λ, β ou n est important. En particulier, lorsque la taille de la collectivité augmente, l’impact négatif d’une baisse des contributions individuelles sur l’effort agrégé – en raison d’un problème de passager clandestin plus sévère – domine l’impact positif d’un nombre de contributeurs plus important. Il en résulte une baisse de la probabilité de succès sauf dans le cas extrême où la rente est un bien public pur (i.e. lorsque β = 0), auquel cas la probabilité de succès est indépendante de la taille du groupe. Dans ce cas, la baisse des contributions individuelles est exactement compensée par les efforts des membres additionnels. [4]

29 Soit ω^N ≡ ω_i (x^N, X^N, Y^N), pour i = 1, 2,..., n, le gain espéré pour chaque membre du groupe à l’équilibre non-coopératif (intra)-groupe. En substituant (8) et (9) dans (2), on obtient

β
ω^N = n + λn
(n − 1) V [10]
[1 + λn^β]² n^{1 + β}

30 Le gain espéré de l’institution en place, noté, est donné par

[β]2
ω ₀^N = λn
V [11]
β
1 + λn

2.2. La coopération intra-groupe

31 Nous considérons maintenant une situation dans laquelle les membres du groupe coopèrent dans leurs activités de recherche de rentes. En d’autres termes, ils choisissent conjointement leur niveau d’effort collectif de façon à maximiser la somme de leurs gains espérés, à niveau d’effort donné du concurrent. Plus spécifiquement, le groupe challenger maximise par rapport à X, à Y donné. La meilleure réponse du groupe challenger au niveau d’effort Y de l’institution en place, i.e. R (Y), est donnée par la condition du premier ordre suivante

nλY V − 1 = 0 [12]
[X + λY]² n^β

32 La meilleure réponse de l’institution en place, i.e. r₀ (X), est donnée par la condition du premier ordre suivante

λX V − 1 = 0 [13]
[X + λY]²

33 L’équilibre du jeu de recherche de rente entre le groupe challenger – dont les membres coopèrent entre eux – et l’institution en place est donné par un couple (X^C, Y^C) tel que R (Y^C) = X^C et r₀ (X^C) = Y^C. En supposant que les membres du groupe challenger se partagent de façon égale l’effort collectif, et en notant x^C = X^C /n ce niveau d’effort individuel avec coopération intragroupe, nous obtenons

x^C = λn V, [14]
[n + λn^β]²

34 tandis que Y^C = n^β x^C.

35 La probabilité de succès du groupe challenger avec coopération intragroupe est donc donnée par

p (X^C, Y^C) = n
, [15]
n + λn^β

36 tandis que la probabilité de succès de l’institution est donnée par [1 − p (X^C, Y^C)] = λn^β / [n + λn^β]. p (X^C, Y^C) est (de nouveau) une fonction décroissante de λ et β. En revanche, cette probabilité de succès est une fonction croissante de n. En effet, plus la taille du groupe est importante plus le bénéfice agrégé de la rente est élevé ce qui se traduit par un niveau d’effort collectif plus élevé et donc par une probabilité de succès plus importante. Cependant, si la rente est un bien privé parfaitement divisible (i.e. β = 1), alors la probabilité de succès est indépendante de la taille. Dans ce cas, l’impact de l’intégration de nouveaux membres sur le bien-être agrégé est exactement compensé par une baisse des niveaux d’utilité individuels en raison d’une baisse proportionnelle (à la taille) du bénéfice par tête de la rente.

37 Soit ω^C ≡ ω_i (x^C, X^C, Y^C), pour i = 1, 2,..., n, le gain espéré de chaque membre du groupe à l’équilibre coopératif intra-groupe. En substituant (14) et (15) dans (2), nous obtenons

2
ω^C = n V [16]
[n + λn^β]² n^β

38 Le gain espéré de l’institution en place, noté, est donné par

[β]2
ω ₀^C = λn
V [17]
β
n + λn

39 Bien sûr, lorsque les membres du groupe challenger coopèrent, ils investissent plus en activités de recherche de rentes et ont un gain espéré plus élevé que lorsqu’ils ne coopèrent pas, i.e. ω^C > ω^N. En revanche, l’institution en place a un gain espéré plus faible lorsque les membres du groupe coopèrent entre eux, i.e..

3.1. Préliminaires

40 Nous supposons maintenant que le jeu d’étape (statique) présenté dans la section 2.1 est répété indéfiniment. Ce jeu répété est noté G^∞ (δ), où δ ∈ (0, 1) est le taux d’actualisation par période commun aux membres du groupes. [5] Alors que les efforts individuels ne sont pas observables, le niveau d’effort collectif du groupe challenger et celui de l’institution en place sont parfaitement observables à chaque période. Notons X_t ∈ R₊ le niveau d’effort collectif du groupe challenger et Y_t ∈ R₊ le niveau d’effort de l’institution en place en période t. L’histoire publique (i.e. observable) du jeu en période t ≥ 1 est donc h_t = ((X₀, Y₀), (X₁, Y₁), ..., (X_{t − 1}, Y_{t − 1})), ou . En fait, chaque membre du groupe observe aussi ses propres actions passées. Cependant, dans cette section nous étudions des stratégies de représailles où toute déviation du niveau d’effort collectif optimal du groupe challenger entraîne un chemin de punition parfaitement symétrique pour tous les membres du groupe indépendamment de l’identité du (ou des) tire-au-flanc(s). En conséquence, nous avons uniquement besoin de spécifier l’histoire publique du jeu pour définir les stratégies des différents protagonistes.

41 Soit H_t l’ensemble des histoires publiques en période t. L’histoire initiale est l’ensemble nul, i.e. H₀ ≡ {∅}, et H et l’ensemble de toutes les histoires publiques possibles, i.e.. Une stratégie (pure) dans G^∞ (δ) pour le membre i du groupe challenger, pour tout i = 1, 2,..., n est une fonction de l’ensemble des histoires (publiques) possibles vers l’ensemble des réels, σ_i : H → R₊. De la même façon, une stratégie dans G^∞ (δ) pour l’institution en place est une fonction définie sur les mêmes ensembles, σ₀ : H → R₊.

42 Notons σ_− 0 ≡ (σ₁, σ₂,..., σ_n) le profil de stratégies des membres du groupe challenger, et σ ≡ (σ₀, σ_− 0) le profil de stratégies incluant celle de l’institution en place. Tout profil de stratégies génère un chemin de contributions agrégéesdéfini de façon inductive à savoir : (X₀ (σ), Y₀ (σ)) ≡ σ (∅) et (X_t (σ), Y_t (σ)) ≡ σ ((X₀ (σ), Y₀ (σ)), ..., (X_{t − 1} (σ), Y_{t − 1} (σ))) pour tout t ≥ 1. En période t, (X_t (σ), Y_t (σ)) génère un gain ω_i (X_t (σ), Y_t (σ)) pour tout i = 0, 1,..., n. Un chemin de contributions dans G^∞ (δ) génère donc une suite (infinie) de gains statiques, i.e.. La somme des gains actualisés obtenue avec le profil de stratégie σ dans le jeu indéfiniment répété est donc donnée par (pour i = 0, 1,..., n),

∞
W_i (σ) = ∑δ^tω_i (X_t (σ), Y_t (σ)) [18]
t=0

43 Un profil de stratégie σ est un équilibre de Nash de G^∞ (δ) si, pour tout i = 1,..., n, σ_i est une meilleure réponse à σ_{− i} ≡ (σ₁,..., σ_{i − 1}, σ_{i − 1}..., σ_n) et à σ₀, et si σ₀ est une meilleure réponse à σ_− 0. Et c’est un Equilibre (de Nash) en Sous-jeu Parfait (ESP) de G^∞ (δ) si quel que soit l’histoire publique du jeu (i.e. la continuation de σ après h_t) est un équilibre de Nash du sous-jeu correspondant. Enfin, dans la suite de l’analyse, nous nous intéressons à des équilibres en sous-jeu parfait stationnaires et symétriques à l’intérieur du groupe challenger, vérifiant les deux propriétés suivantes : (i) un profil d’action stationnaire est joué après toutes histoires possibles ; (ii) tous les membres du groupe challenger produisent le même niveau d’effort à une période donnée quel que soit l’histoire de la période en question.

3.2. Stratégies de déclic de retour à l’équilibre de Nash (statique)

44 Nous supposons que les membres du groupe challenger utilisent des stratégies de déclic de retour indéfini à l’équilibre de Nash statique avec non-coopération au sein du groupe afin de soutenir la coopération intragroupe (voir Friedman [1971]). [6] Ces stratégies prescrivent donc que toute déviation du comportement coopératif est punie par un retour permanent à la non-coopération au sein du groupe, indépendamment du comportement de l’institution en place. Néanmoins, les actions des membres du groupe challenger sont à chaque période des fonctions de meilleures réponses individuelles – en cas de non-coopération – ou une fonction de meilleure réponse collective – en cas de coopération – à l’action de l’institution en place. Par ailleurs, cette dernière joue à chaque période sa meilleure réponse à l’action collective du groupe (que ses membres coopèrent ou non) indépendamment de l’histoire du jeu (i.e. σ₀ (h_t) = r₀ (X_t) quel que soit h_t). En d’autre termes, comme dans la section précédente, nous supposons que les stratégies des membres du groupe challenger et de l’institution en place sont telles que nous avons une solution non-coopérative entre les deux entités à chaque période.

45 En général dans les jeux répétés indéfiniment, il existe une infinité d’ESP. En effet, selon le théorème du folklore, les stratégies de déclic de retour permanent à l’équilibre non-coopératif permettent de soutenir n’importe quel niveau d’effort agrégé du groupe challenger plus élevé que celui correspondant à celui du jeu en une étape, dès lors que les membres du groupe sont suffisamment patients. Comme nous l’avons étudié dans la Section 2.2, nous envisageons le cas où les membres du groupe coopèrent « complètement » dans leurs activités de recherche de rente. Autrement dit, nous nous intéressons au « meilleur » ESP du point de vue des membres du groupe challenger, c’est-à-dire celui permettant de soutenir le niveau d’effort collectif qui maximise la somme des utilités des membres du groupe challenger à chaque période.

46 Pour résumer, le profil de stratégies que nous étudions est donc caractérisé par σ_i (h_t) = x^C pour i = 1,..., n et σ₀ (h_t) = r₀ (X^C) = Y^C si t = 0, ou si pour t≥1 ; σ_i (h_t) =x^N pour i=1,..., n et σ₀ (h_t) = r₀ (X^N) = Y^N sinon. Ce profil de stratégies est noté σ^C.

47 Dans un premier temps, nous établissons le lemme suivant. [7]

48 Lemme 1 : A chaque période au cours de laquelle tous les membres du groupe challenger contribuent le niveau d’effort x^C maximisant le bien-être collectif du groupe, la meilleure déviation possible de σ^C pour chaque membre du groupe est de couper sa contribution à 0.

49 Notonsle gain de déviation optimal pour l’individu i, et où. Nous avons

C
ω^D = (n − 1) x
V [19]
(n − 1) x^C + λY^C n^β

50 En substituant (14) dans (19) et en utilisant Y^C = n^β x^C, nous avons

ω^D = (n − 1) V [20]
(n − 1) + λn^β n^β

51 Le profil de stratégie σ^C prescrit que suite à une déviation (ou plusieurs) à l’intérieur du groupe challenger, les membres de ce groupe retournent de façon permanente au niveau d’effort non-coopératif intra-groupe x^N (donné par (8)), tandis que l’institution investit pour un montant Y^N = n^{1 + β} x^N (au lieu de Y^C = n^β x^C). Par conséquent, aucun membre du groupe challenger n’a intérêt à dévier de σ^C si le surplus de gain en déviant de la coopération aujourd’hui – donné par ω^D − ω^C – est plus faible que la somme actualisée des gains relatifs futurs de la continuation de la coopération (par rapport à la non-coopération) – donnée par [δ/ (1 − δ)] (ω^C − ω^N). La contrainte incitative est donc donnée par

ω^D − ω^C ≤ δ [ω^C − ω^N] [21]
1−δ

52 Le facteur d’escompte minimum au-dessus duquel la coopération intragroupe peut être soutenue comme un équilibre en sous-jeu parfait est donc δ̂ ≡ [ω^D − ω^C] / [ω^D − ω^N] . En substituant (10), (16) et (20) dans cette expression, nous obtenons

n [n (n − 2) + λn^β (n − 1)] [1 + λn^β]²
δ̂ = [22]
[n + λn^β]² [n² − n − 1 + λn^β (n − 1)²]

53 On a donc la proposition suivante

54 Proposition 1 : Le profil de stratégies σ^C constitue un ESP de G^∞ (δ) avec coopération permanente au sein du groupe challenger, si et seulement si δ ≥ δ̂.

55 En effet, pour tout δ ≥ δ̂, il n’existe aucune déviation profitable pour les membres du groupe challenger à la fois en phase de coopération (puisque la contrainte incitative (21) est satisfaite), et en phase de punition puisque celle-ci consiste pour chaque membre du groupe à jouer sa meilleure réponse aux actions des autres membres du groupe et de l’institution en place à chaque période. Par ailleurs, comme l’institution joue sa meilleure réponse à l’effort collectif du groupe à chaque période également – que les membres du groupe challenger coopèrent ou non – σ^C est bien un ESP du jeu répété.

3.3. Efficacité du concurrent, degré de rivalité et coopération intra-groupe

56 Dans cette section, nous étudions l’impact d’une variation des différents paramètres du modèle sur le facteur d’escompte minimum au-dessus duquel la coopération intra-groupe peut être soutenue comme un ESP à l’aide des stratégies de déclic simples que nous avons étudiées dans la section précédente. Nous avons un premier résultat qui est le suivant.

57 Proposition 2 : Le facteur d’escompte minimum δ̂ tel que le profil de stratégies σ^C constitue un ESP (avec coopération permanente au sein du groupe challenger) est d’autant plus élevé que λ, représentant l’efficacité relative de l’institution en place dans le conflit, et/ou β, représentant le degré de rivalité de la rente, sont élevés.

58 L’impact de λ et β sur la facilité de la soutenabilité de la coopération au sein du groupe challenger (mesurée par δ̂) dépend de l’impact de ces mêmes paramètres sur les gains espérés de coopération, non-coopération et défection. En fait, à partir de (10) et (16) et (20), on peut observer que l’utilité espérée est toujours décroissante avec λ et β. En effet, une hausse de λ ou β conduit à un affaiblissement de la position du groupe challenger et inversement à un renforcement de l’institution en place dans le conflit qui oppose ces deux entités pour l’attribution de la rente. Dans le cas d’une hausse de l’aptitude au conflit de l’institution en place, la raison en est simplement que le rendement marginal de l’effort d’investissement de chaque membre du groupe challenger devient relativement plus faible, ce qui conduit à une baisse des investissements et donc des gains espérés, que les membres du groupe coopèrent ou non. Il en résulte également une baisse de l’utilité espérée de l’individu qui dévie de la coopération intra-groupe. Dans le cas d’une hausse du degré de rivalité de la rente, le bénéfice par tête de la rente diminue au sein du groupe challenger (alors que le bénéfice de cette rente pour l’institution en place reste inchangé). La valeur individuelle de la rente devenant plus faible, les membres du groupe challenger investissent moins et ont un gain espéré plus faible, qu’il y ait coopération ou non à l’intérieur du groupe. A nouveau, dans ce cas, il en résulte une baisse de l’utilité espérée pour l’individu qui dévie de la coopération.

59 Ainsi, lorsque λ ou β augmente, le gain de déviation diminue alors que la sévérité de la punition – i.e. le retour permanent à la solution non-coopérative au sein du groupe – augmente puisque le gain de non-coopération diminue également. Ces deux effets contribuent à baisser le facteur d’escompte minimum au-dessus duquel les stratégies de déclic permettent de soutenir la coopération intra-groupe comme un équilibre en sous-jeu parfait. Cependant, la solution coopérative est aussi moins attrayante à mesure que λ ou β augmente, ce qui contribue à augmenter ce même facteur d’escompte minimum. Le résultat de la Proposition 1 montre donc qu’une hausse de λ et β a un impact (négatif) plus important sur le gain espéré de la coopération que sur ceux de la non-coopération et de la déviation réunis.

60 L’intuition de ce résultat est que l’institution en place devient relativement plus agressive dans le conflit à mesure que λ ou β augmente lorsque les membres du groupe challenger coopèrent par rapport au cas où ils ne coopèrent pas. En effet, le ratio des niveaux d’investissements de l’institution avec et sans coopération au sein du groupe challenger est donné par Y^C /Y^N = x^C /nx^N. En utilisant (8) et (14), nous avons Y^C /Y^N = n [(1 + λn^β)/ (n + λn^β)]² qui est une fonction croissante de λ et β. La réaction plus forte de l’institution en place lorsque λ ou β augmente limite les gains potentiels de la coopération et rend ainsi plus difficile la soutenabilité de la coopération au sein du groupe challenger.

61 Enfin, notons que la Proposition 2 implique l’énoncé suivant.

62 Corollaire 1 : La coopération intra-groupe est plus facile à soutenir lorsque la rente est un bien public pur (i.e. β = 0) que lorsqu’elle est un bien privé parfaitement divisible entre les membres du groupe challenger (i.e. β = 1).

63 Ceci suggère que les groupes d’intérêts poursuivant un objectif politique ou idéologique sont plus à même de maintenir la cohésion intra-groupe que des groupes poursuivant un objectif purement économique. Dans le premier cas, on peut par exemple penser aux lobbies anti-nucléaire qui en France sont regroupés dans le réseau « Sortir du nucléaire » – lequel rassemble près d’un millier d’associations antinucléaires – pour coordonner leurs actions, et notamment pour exiger la suspension du projet EPR ou organiser des opérations médiatiques comme le blocage des convois ferroviaires de déchets nucléaires. Dans le cas d’une rente correspondant à un bien privé, on peut penser au cas où des associations de défense des consommateurs de téléphonie mobile se coordonnent pour dénoncer les pratiques anticoncurrentielles d’entente entre les opérateurs (historiques). [8] L’analyse suggère que la coopération est plus difficile à soutenir dans ce second type de cas que lorsque le conflit est de nature plus politique, mais qu’elle reste néanmoins faisable dès lors que les acteurs sont suffisamment patients.

3.4. Taille du groupe et coopération intragroupe

64 Nous étudions maintenant l’impact de la taille du groupe sur la facilité de la soutenabilité de la coopération intra-groupe mesurée par δ̂. Pour simplifier, et sans perte de généralité, nous posons désormais λ = 1 dans la mesure où λ et β ont le même impact et interviennent de façon symétrique sur δ̂. [9] Dans ce cas, le facteur d’escompte minimum est donné par

β2 β
δ̂ = n [1 + n
] [n (n−2) +n
(n − 1)] [23]
[n + n^β]² [n² − n − 1 + n^β (n − 1)²]

65 Nous pouvons alors montrer le résultat suivant.

66 Proposition 3 : Pour tout n ≥ 4, le facteur d’escompte minimum δ̂ tel que le profil de stratégies σ^C constitue un ESP (avec coopération permanente au sein du groupe challenger) est d’autant plus faible que la taille du groupe est importante, indépendamment du degré de rivalité de la rente donné par β.

67 Ce résultat contraste avec la thèse communément admise des politistes selon lesquels la coopération est plus difficile à maintenir dans les grands groupes que dans les petits groupes (voir, par exemple, Hardin [1982] ; Olson [1982] ; Sandler [1992] ; Taylor [1982]). En effet nous obtenons exactement la proposition inverse, laquelle est d’autant plus remarquable qu’elle est valable quelle que soit la nature la rente. Notre résultat est aussi plus conforme – comme nous l’avons déjà mentionné en introduction – à un grand nombre d’observations informelles selon lesquelles les groupes d’intérêt ou d’influence cherchent généralement à accroître le nombre de leurs membres et à créer une plateforme de coopération la plus large possible plutôt que l’inverse. On peut penser à nouveau aux différents groupes d’influence poursuivant un objectif politique ou idéologique – groupes anti-nucléaire, anti-avortement, etc... – ou aux différentes organisations professionnelles (patronales et syndicales). Notons également qu’un grand nombre d’études empiriques montrent précisément que les montants des transferts publics reçus par des groupes d’intérêts spécifiques dépendent positivement de leurs tailles (voir Potters et Sloof [1996], pour une revue de la littérature).

68 La présomption communément admise selon laquelle la coopération est plus difficile à soutenir dans les grands groupes que dans les petits groupes s’appuie sur l’idée que l’impact d’une déviation individuelle sur l’action collective du groupe est perçue comme plus faible dans les grands groupes, ce qui doit impliquer que la tentation de dévier du comportement coopératif est plus forte. Dans notre analyse, la tentation de dévier ou le gain net de déviation (par rapport à la coopération) – soit la différence ω^D − ω^C – est toujours décroissante avec la taille du groupe. [10] En effet, le gain net de déviation est (essentiellement) imputable, pour celui qui dévie du comportement coopératif, à l’économie de la contribution à l’effort collectif du groupe. [11] Or la contribution individuelle elle-même diminue avec la taille du groupe et ceci d’autant plus que la rente est divisible (comme on peut le voir à partir de (14) en posant λ = 1). Cela vient du fait que la probabilité de succès du groupe challenger est une fonction concave des investissements individuels (et de l’investissement collectif en recherche de rentes). Par ailleurs, l’effort agrégé du groupe est borné par la valeur de la rente d’un montant fixe et par la présence de l’institution en place qui agit pour contrecarrer l’action collective du groupe challenger. Par conséquent, lorsque n augmente, l’effort agrégé augmente également mais dans une proportion moindre que l’augmentation de n, ce qui implique une baisse des efforts individuels à l’équilibre coopératif intra-groupe. Comme la contribution individuelle à l’équilibre coopératif diminue avec la taille, le gain net de dévier – qui est donc donné essentiellement par le montant économisé en ne contribuant pas – diminue également. Ceci contribue à une baisse du facteur d’escompte minimum permettant de soutenir la coopération intra-groupe, comme on peut le voir à partir de (21).

69 Le résultat final de l’impact d’une hausse de n sur le facteur d’escompte minimum dépend également de l’impact de n sur le gain net de la coopération (par rapport à la non-coopération) – soit la différence ω^C − ω^N. Or ce gain net peut augmenter ou diminuer avec la taille de la collectivité selon que la rente est un bien dont les caractéristiques sont plus ou moins proches d’un bien public (ou privé). Pour le voir, nous pouvons considérer les deux cas polaires. Nous avons,

∂ (ω_C − ω_N) ∣ = (n − 1) (7n² + 4n + 1), [24]
∂n^{β = 0} 4n² (n + 1)³

70 lorsque la rente est un bien public et

∂ (ω_C − ω_N) ∣ = − (n − 1) (n² − 4n − 1), [25]
∂n^{β = 1} 4n² (n + 1)³

71 lorsque la rente est un bien privé.

72 Lorsque la rente est un bien public pur (i.e. β = 0), le gain net (individuel) de la coopération augmente avec la taille du groupe (voir (24)). En fait, les gains de coopération ω_C et de non-coopération ω_N augmentent tous les deux avec n (comme on peut le constater à partir de (10) et (16) en posant λ = 1 et β = 0). Cependant ω_C augmente plus vite que ω_N avec la taille du groupe. L’intuition a l’origine de ce résultat est que, lorsque la rente est un bien public pur, la taille du groupe n’a aucun impact sur le bénéfice individuel de la rente – donné par V – alors que cela renforce les bénéfices nets de la coopération intra-groupe – notamment en termes de probabilités de succès – puisque le problème de passager clandestin est d’autant plus fort que la taille du groupe est importante à l’équilibre non-coopératif intra-groupe. En résumé, lorsque β = 0, le gain net de la coopération ω_C − ω_N augmente avec n, tandis que le gain net de déviation ω_D − ω_C diminue avec n. Les deux effets vont dans le même sens d’une diminution du facteur d’escompte minimum au-dessus duquel la coopération intra-groupe peut être soutenue comme un ESP.

73 Lorsque la rente est un bien privé (i.e. β = 1), le gain net (individuel) de la coopération est en général décroissant – i.e. pour n ≥ 5 – avec la taille du groupe (voir (25)). Dans ce cas, les gains de coopération ω_C et de non-coopération ω_N diminuent avec n (comme on peut le constater à partir de (10) et (16) en posant λ = 1 et β = 1). Cependant ω_C diminue plus vite que ω_N avec la taille du groupe. L’intuition de ce résultat est, que lorsque la rente est un bien privé parfaitement divisible, le bénéfice individuel de la rente – donné par V/n – diminue proportionnellement avec la taille du groupe. Cet effet direct (négatif) sur le bénéfice par tête de la rente domine l’effet indirect (positif) – qui joue notamment à travers les probabilités de succès – d’une hausse de la taille sur les gains relatifs à coopérer en raison de l’élimination du problème de passager clandestin. Il en résulte que l’écart des niveaux de bien-être individuel avec et sans coopération est décroissant avec la taille de la collectivité [12], ce qui va dans le sens d’une hausse du taux d’escompte minimum (comme on peut le voir à partir de (21)). Le résultat de la Proposition 3 – selon lequel le taux d’escompte minimum est toujours décroissant avec n – montre donc que le gain net à dévier diminue encore plus rapidement avec la taille du groupe que les bénéfices nets de la coopération intra-groupe lorsque la rente est un bien privé. L’intuition est la suivante. Le gain net à dévier – donné par l’économie de la contribution individuelle – diminue proportionnellement avec la taille du groupe puisque l’effort agrégé ainsi que la probabilité de succès sont invariants avec cette taille à l’équilibre coopératif (comme on peut l’observer à partir de (14) et (15) en posant λ = β = 1). En revanche, le gain net à coopérer diminue moins que proportionnellement par rapport à la taille en raison de l’élimination du problème de passager clandestin qui permet de compenser en partie la baisse (proportionnelle) du bénéfice par tête de la rente.

74 L’explication de la Proposition 3 s’appuie sur les deux cas polaires d’une rente correspondant à bien public pur et de celle correspondant à un bien privé parfaitement divisible. Cependant, il important d’insister sur le fait que le résultat de la décroissance du facteur d’escompte avec la taille du groupe reste valable pour tous les cas intermédiaires d’une rente correspondant à un bien mixte plus ou moins divisible entre les membres du groupe challenger. On peut aussi en déduire que ce qui facilite au maximum la soutenabilité de la coopération intra-groupe – dans le sens d’une minimisation du facteur d’escompte au-dessus duquel σ^C est un ESP – correspond à une situation où la taille de la collectivité devient infinie. Pour l’illustrer, considérons les deux cas extrêmes d’une rente ayant les caractéristiques d’un bien public pur et d’une rente parfaitement divisible. A partir de (23), nous avons

lim δ̂∣ = 0 et lim δ̂∣ = 1
[26]
n→∞ β=0 n→∞ β=1 2

75 En d’autres termes, lorsque la taille du groupe devient très grande, il suffit que ses membres accordent un poids aussi petit que possible à leurs gains futurs pour que la coopération intra-groupe soit un équilibre du jeu répété lorsque la rente est un bien public pur. Si la rente est un bien privé parfaitement divisible entre les membres du groupe, alors la coopération est plus difficile à soutenir mais reste néanmoins possible pour un large ensemble de valeurs du taux d’escompte effectif des membres du groupe (à savoir pour toute valeur de δ ∈ [0.5, 1]).

3.5. Absence d’un opposant

76 Dans cette section, nous étudions un jeu répété de recherche de rentes entre n joueurs mais sans opposant extérieur pour tenter d’isoler l’impact du rôle de ce dernier dans le jeu de concurrence entre groupes analysé jusqu’à présent.

77 Supposons que l’institution en place « sorte du marché » et que les n membres du groupe soient en concurrence les uns contre autres pour une rente d’un montant V. On note à nouveau x_i ∈ R₊ le niveau d’effort ou de dépenses en activités de recherche de rente de l’individu i, et la somme des investissements de tous les individus. En l’absence de l’institution en place, la probabilité de succès de chaque individu est donnée parp_i (x_i, X) = x_i /X si X ≠ 0, et p_i (x_i, X) = 1/n si X = 0 (avec). La fonction d’utilité espérée de l’individu i est donnée par ν_i (x_i, X) = p_i (x_i, X) V − x_i.

78 Supposons également que les n individus utilisent des stratégies de déclic simples de retour permanent à l’équilibre non-coopératif suite à une déviation de la solution coopérative. Nous nous intéressons (à nouveau) au « meilleur » équilibre en sous-jeu parfait, c’est-à-dire celui permettant de soutenir la coopération « complète » entre tous les individus. Celui-ci correspond en fait à la situation où aucun des joueurs ne s’engage dans des activités de recherche de rentes, i.e. x = X = 0, ce qui implique que chaque individu a une probabilité 1/n de se voir octroyer la rente à chaque période. L’utilité espérée de la coopération est donc pour chaque individu (et à chaque période) donné par ν^C = V/n.

79 A l’équilibre non-coopératif, chaque individu décide indépendamment des autres du montant de son investissement en activités de recherche de rentes. La meilleure réponse de l’individu i au niveau d’investissement agrégé X_{− i} de tous les autres individus, i.e. r_i (X_{− i}), est donnée par la condition du premier ordre suivante (X_{− i} /X²) V − 1 = 0. L’équilibre symétrique est tel que pour tout i = 1,..., n (et où). Nous avons donc (n − 1) x^N / [nx^N]² = 1, ce qui implique x^N = [(n − 1)/n²] V. La probabilité de succès de chaque individu est, comme à l’équilibre coopératif, égale à 1/n. Cependant, l’utilité espérée est plus faible (en raison des ressources dissipées dans le conflit) et est donnée par ν^N = V/n².

80 Nous devons enfin déterminer le gain de celui qui dévie de la coopération. Compte tenu de la fonction de succès au concours, dévier de X = 0 consiste à investir un montant ε en activités de recherche de rentes qui peut être aussi petit que possible dans la mesure où tout investissement positif permet de garantir de façon certaine l’attribution de la rente. En considérant que ε → 0, le gain (certain) de déviation est donné par ν^D = V.

81 La contrainte incitative selon laquelle chaque individu préfère à chaque période continuer à coopérer plutôt que de dévier s’écrit de la même façon que dans l’analyse du jeu de concurrence entre le groupe challenger et l’institution en place. En remplaçant les niveaux d’utilité ω^D, ω^C et ω^N par (respectivement) ν^D, ν^C et ν^N dans (21), le facteur d’escompte minimum au-dessus duquel la coopération peut être soutenue comme ESP avec des stratégies de retour indéfini à l’équilibre non-coopératif est donné par δ̃ = (ν^D − ν^C)/ (ν^D − ν^N). On obtient

δ̃ = n [27]
n+1

82 Nous avons alors le résultat suivant.

83 Proposition 4 : En l’absence d’opposant extérieur, le facteur d’escompte minimum δ̃ permettant de soutenir la coopération intragroupe (à l’aide de stratégies de déclic d’un retour permanent à l’équilibre non-coopératif intragroupe) est d’autant plus élevé que la taille du groupe est importante.

84 On en conclut que dans le cas où les n membres du groupe sont en concurrence les uns contre les autres sans opposant extérieur, la coopération est d’autant plus difficile à soutenir que le nombre de prétendants est important. L’intuition de ce résultat est la suivante. Le surplus de gain en déviant de l’équilibre coopératif, i.e. ν^D − ν^C = [(n − 1)/n]V, augmente avec le nombre de prétendants car la déviation permet de se garantir de façon certaine l’attribution de la rente, alors que la probabilité d’obtenir cette rente à l’équilibre coopératif diminue avec n. En revanche, le bénéfice net de la coopération, i.e. ν^C − ν^N = [(n − 1)/n²] V diminue avec le nombre de compétiteurs (et converge vers 0 lorsque n tend vers l’infini) car le gain espéré de coopération diminue plus vite que celui de non-coopération. La baisse du bénéfice net de la coopération joue dans le même sens qu’une hausse du gain net de déviation pour augmenter le facteur d’escompte minimum au-dessus duquel la coopération peut être maintenue.

85 Bien sûr, la structure de ce jeu est différente de celle que nous avons étudiée tout au long de cet article. Dans le cas de la concurrence entre le groupe challenger et l’institution en place la « coopération » consiste en la production d’un bien public à savoir un effort collectif qui détermine la probabilité de succès pour l’obtention d’une rente qui ensuite bénéficie à tous les membres du groupe. Dans le cas présent, la « coopération » consiste à s’abstenir d’investir dans des activités de recherche de rente puisque cela ne change pas la probabilité pour chaque individu de se voir attribuer la rente. Bref, dans un cas nous avons un jeu de recherche de rentes entre groupes (associé à un problème de passager clandestin intragroupe), et dans le second cas un jeu de recherche de rentes entre individus. Il est donc difficile de comparer les deux types d’analyse. Néanmoins, l’analyse du jeu répété entre individus suggère que c’est bien la présence d’un concurrent extérieur qui est à l’origine du résultat selon lequel la coopération intra-groupe est d’autant plus facile à soutenir que la taille du groupe est importante, que la rente soit un bien public, un bien privé ou un bien mixte.