1. Introduction

1Cochrane [1988] a montré que si le PIB incorpore une racine unitaire, les variations de sa composante permanente n’expliquent qu’une faible part de la variance de son taux de croissance. En raison de leurs faibles propriétés d’amplification [1], les modèles de cycles réels (RBC) avec des chocs technologiques permanents engendrent l’exact opposé de cette conclusion. En outre, Hansen [1997] et Ireland [2001] ont montré que de tels modèles ne parviennent pas à reproduire les faits stylisés de base du cycle économique de l’après-guerre aux Etats-Unis. En particulier, ils se révèlent incapables de reproduire la volatilité relative des heures et de l’investissement par rapport au produit. Au contraire, les versions de ces modèles avec chocs de productivité stationnaires semblent plus en accord avec les données. Est-ce à dire qu’avec un a priori en faveur de la présence d’une racine unitaire dans le produit, nous devons rejeter le programme de recherche du courant des cycles réels ? Si non, dans quelle mesure peut-on rendre compatibles ces deux éléments, apparemment inconciliables dans un cadre d’analyse unifié ?

2Dans ce papier, nous proposons de montrer que la prise en compte d’une forme particulière de croissance endogène dans un modèle RBC permet d’échapper au dilemme susmentionné. Plus précisément, nous montrons qu’elle permet d’obtenir une marche aléatoire réaliste dans le produit national, sans pour autant sacrifier à la reproduction des faits stylisés du cycle.

3Le modèle que nous considérons est une variation sur le modèle d’accumulation du capital humain proposé par Rebelo [1991]. Deux modifications y sont apportées. En premier lieu, le modèle incorpore deux chocs de productivité stationnaires, l’un affectant la production de biens et l’autre la production de capital humain. En second lieu, nous modifions la technologie d’accumulation du capital humain. Nous recourons à une technologie d’accumulation non linéaire reflétant la présence de coûts d’ajustement, empruntée à Lucas et Prescott [1971]. Des auteurs tels que Cassou et Lansing [1998], Collard [1999,1997], Hercowitz et Sampson [1991] et Kocherlakota et Yi [1997] ont utilisé des formes fonctionnelles similaires dans le cadre de modèles complètement log-linéaires afin d’obtenir des solutions analytiques. Au contraire de ces derniers, nous ne cherchons pas à obtenir de telles solutions. Nous utilisons cette forme fonctionnelle simplement parce qu’elle permet d’obtenir une intéressante décomposition spectrale de la contribution de chacun des deux chocs à la variance du taux de croissance des principaux agrégats macroéconomiques.

4Nous comparons alors les performances de ce modèle de croissance endogène avec celles d’un modèle RBC prenant en compte à la fois des chocs technologiques stationnaires et des chocs technologiques permanents. L’objectif est de voir si les chocs stationnaires engendrent une dynamique cyclique du produit plus volatile que celle de sa composante permanente, rendant ainsi le modèle conforme aux résultats de Cochrane [1988].

5Dans les deux cadres étudiés, les perturbations stochastiques sont étalonnées de façon à reproduire exactement, la variance du taux de croissance du produit ainsi que le V de Cochrane [1988] associé au produit. Cette statistique mesure l’importance relative des mouvements permanents du produit dans l’explication de la variance de son taux de croissance. On peut l’interpréter comme le rapport de la variance d’une innovation dans la composante permanente du produit à la variance du taux de croissance de ce dernier. Les deux modèles sont alors simulés et les résultats sont confrontés à notre échantillon trimestriel de données sur la période 1965(1)-1995(4). Nous recourons alors à l’approche traditionnelle dans la littérature. Les variables théoriques et leurs contre-parties empiriques sont passées au filtre de Hodrick-Prescott (HP), et nous comparons de façon informelle leurs moments d’ordre deux.

6L’idée d’utiliser des éléments relevant de la croissance endogène pour répondre à des questions soulevées par l’étude du cycle d’activité n’est pas nouvelle. A la suite des travaux pionniers de King et alii [1988], de nombreux auteurs ont incorporé avec succès des sources de croissance endogène dans des modèles stochastiques d’équilibre général dynamique et ont montré que cette voie de recherche peut conduire à de substantielles améliorations par rapport aux modèles RBC usuels. Deux approches assez différentes ont été suivies dans ce programme de recherche.

7La première se propose d’inclure une source de croissance endogène dans les modèles de cycle dans l’espoir d’affecter les règles de décision des agents. L’objectif est d’améliorer les performances du modèle initial en matière de reproduction de certains faits stylisés du cycle, ces derniers n’étant pas liés à la notion de croissance. Dans le cadre de ces travaux, la méthodologie de la théorie des cycles réels est appliquée sans être modifiée : les modèles sont étalonnés, simulés et les données artificielles ainsi engendrées sont passées au filtre de Hodrick-Prescott, exactement comme dans la majeure partie de la littérature sans croissance. A titre d’exemple, Einarson et Marquis [1997], Gomme [1993], Maffezzoli [2000] et Ozlu [1996] ont montré que l’introduction d’une source de croissance endogène dans les modèles RBC permet de reproduire certains comouvements dont les modèles usuels ne parviennent pas à rendre compte. Cependant, dans ces travaux, la croissance endogène ne fait pas l’objet d’une attention particulière en soi. Elle permet simplement de considérer de nouvelles possibilités de réaffecter les ressources, lesquelles engendrent une dynamique plus riche.

8Au contraire, la seconde approche propose que l’introduction de la croissance endogène ne soit pas seulement la source d’une amélioration mais permette aussi de poser des questions relatives à l’interaction entre les fluctuations économiques et la croissance. A titre d’exemple, des auteurs comme Bean [1990] et Collard [1997,1999] ont spécifiquement étudié la façon dont l’incorporation d’une source de croissance endogène dans un modèle RBC nous permet de comprendre les caractéristiques de la croissance cyclique. Ces auteurs analysent précisément les propriétés de cointégration des variables croissantes dans les modèles stochastiques de croissance endogène. Ils montrent par exemple que dans ce type d’environnement, tous les chocs peuvent engendrer des effets de long terme non nuls [2]. Enfin Fatas [2000] a montré que seuls les modèles stochastiques de croissance endogène peuvent fournir une explication intéressante de la relation entre cycle économique et persistence à long terme. En particulier, ces modèles peuvent fournir une explication endogène des différences de persistence des fluctuations du produit constatées dans les panels internationaux.

9L’objectif de notre travail se situe à la croisée de ces deux approches. Comme dans la première, nous nous intéressons à la possibilité d’améliorer les performances des modèles RBC en matière de reproduction des faits stylisés du cycle. Mais nous suivons aussi les enseignements de la seconde approche, en ce sens que la question que nous abordons relève intrinsèquement de l’interaction cycles-croissance. L’intérêt de notre modèle est alors de montrer que le dilemme de Hansen [1997] n’est pas une fatalité. La forme de croissance endogène que nous considérons permet d’obtenir une marche aléatoire dans le produit réaliste au regard des données, et, dans le même temps, ne dégrade pas la capacité de notre modèle à reproduire les grandes caractéristiques du cycle. Notre étude relève donc de l’analyse conjointe du cycle et de la croissance.

10Le plan du papier est le suivant. La section 2 présente les deux modèles. La section 3 propose d’étalonner les modèles et de les confronter aux données. La dernière section conclut.

2. Le modèle

11Nous considérons une économie peuplée par un grand nombre d’agents identiques, à horizon de vie infini. Il n’y a pas croissance de la population. A chaque période, les agents sont dotés d’une unité de temps normalisée à 1, qu’ils peuvent consacrer au loisir ou aux activités de production. Le temps, discret, est indicé par la variable t. La fonction intertemporelle d’utilité de l’agent représentatif est de la forme

12Les contraintes sous lesquelles l’agent représentatif cherche à maximiser (1) sont

13L’équation (2) décrit la contrainte de ressources. Le membre de droite décrit la technologie disponible pour produire l’unique bien final homogène de l’économie. Ce dernier est produit en combinant du capital physique v_t k_t et du travail effectif n_t h_t, où v_t désigne la part du capital physique allouée à la production, et où le travail effectif est défini comme le produit du travail brut, n_t, et du capital humain, h_t. A > 0 est une constante d’échelle, 0 < ? < 1 désigne la part du capital physique dans la production et z_1t est un choc de productivité stationnaire. Le membre de gauche dresse la liste des emplois possibles du bien final : consommation et investissement en capital physique. Le capital physique se déprécie au taux constant 0 < ? < 1.

14L’équation (3) décrit la technologie d’accumulation du capital humain. B > 0 est une constante d’échelle, et nous supposons ? > 0, ? > 0 et ? + ? < 1. Nous supposons que la production de capital humain est sujette à un choc de productivité stationnaire z_2t. Les agents combinent ( 1 ? v_t ) k_t unités de capital physique et 1 ? n_t ? l_t unités de travail pour produire les nouvelles unités de capital humain. La forme fonctionnelle non linéaire retenue pour décrire l’accumulation du capital humain peut être perçue comme incorporant une forme de coûts d’ajustement dans l’accumulation de capital humain [3]. L’intérêt de cette technologie d’accumulation vient de ce qu’elle permet au choc de productivité affectant la production des biens d’expliquer l’essentiel de la variance de ces agrégats aux fréquences du cycle d’affaire, tandis que le choc qui affecte la production de capital humain explique leur variance aux basses fréquences (nous revenons sur ce point dans les sections suivantes).

15Enfin, les équations (4) et (5) décrivent les loi d’évolution des chocs exogènes de productivité. Pour i = 1,2, le paramètre 0 < ?_i < 1 est le coefficient d’autocorrélation du choc et ?_it est un bruit blanc de variance ?_?i²

16Pour illustrer l’intérêt de la forme particulière de croissance endogène envisagée ici, nous proposons de comparer le modèle à un modèle néoclassique de croissance optimale prenant en compte à la fois des chocs de productivité permanents et des chocs de productivité stationnaires. Dans cet environnement, l’agent représentatif cherche à maximiser la somme intertemporelle de son utilité (1), sous les contraintes

3. Étalonnage et résultats

3.1. Étalonnage

17Avant d’étalonner nos deux modèles, nous devons exprimer les systèmes dynamiques résumant leur comportement sous forme stationnaire. Nous aboutissons à des représentations stationnaires de la dynamique en divisant les variables croissantes par h_t dans le modèle en croissance endogène et par z_2t dans le modèle RBC. Ces représentations sont loglinéarisées au voisinage du régime permanent déterministe, et nous résolvons les systèmes ainsi obtenus par la méthode des coefficients indéterminés.

18Nous étalonnons les deux modèles en suivant dans les grandes lignes Hansen [1997]. Nous retenons un taux de croissance moyen de 2 % par an. La part des salaires dans le produit est fixée à 64 %, comme c’est usuel dans la littérature. Le coefficient subjectif d’actualisation est sélectionné de façon à ce que le taux d’intérêt annuel en régime permanent soit de 6,9 %, conformément à la valeur calculée par Cooley et Prescott [1995]. Nous choisissons ? de façon à ce que les agents consacrent 30 % de leur temps à la production de bien final. Enfin, nous imposons un taux de dépréciation annuel du capital physique de 6 %. Cette valeur correspond aux recommandations de Barro et Sala-i-Martin [1995] et de Stokey et Rebelo [1995].

19Dans le modèle en croissance endogène, comme Jones et alii [1993], nous supposons que les agents consacrent 12 % de leur temps à l’éducation au sens large, ce qui implique ? = 0,005. Nous supposons également que la part du travail dans la production de connaissances est 5 fois plus importante que celle du capital, soit donc ? = 0,001. Cette hypothèse revient à imposer que la part du travail dans la production de capital humain est de l’ordre de 80 %. Cette valeur est un juste milieu entre les hypothèses courantes dans des modèles similaires considérés dans la littérature (Gomme [1993] l’impose à 64 %, Ozlu [1996] l’impose à 95 %). Pour finir, les paramètres A et B sont sélectionnés de façon à garantir que la valeur de régime permanent de y_t /h_t (ou y_t /z_2t ) soit égale à 1 et que celle du taux de croissance moyen soit bien de 1,005.

20Il nous reste à décrire l’étalonnage des chocs stochastiques frappant les modèles. Nous suivons les recommandations de Hansen [1997] et fixons ?₁ = 0,9 dans les deux modèles. A la suite de DeJong et alii [2000], nous imposons que les chocs frappant la production de nouvelles connaissances soient assez persistants, et fixons ?₂ = 0,9. Nous sélectionnons alors ?_?1 et ?_?2 de façon à ce que les deux modèles reproduisent à la fois la variance du taux de croissance du produit et le V de Cochrane associé au produit. Si l’on désigne par var ( a_t ) la variance d’un processus { a_t }, le V de Cochrane est défini par la relation

où yˆ_t désigne le logarithme du produit, et T est la taille de l’échantillon. Pour p suffisamment grand, cette statistique converge vers le rapport de la variance d’une innovation dans la composante permanente du produit à la variance du taux de croissance de ce dernier. Nous désignons ce rapport sous le terme de taille de la marche aléatoire dans le produit. Pour des valeurs de p proches de 80, nous obtenons un V stable. Sur notre échantillon [4], avec p = 80, la variance d’une innovation dans la composante permanente du produit représente environ 44 % de la variance du taux de croissance du produit. Autrement dit, les mouvements permanents du produit n’expliquent qu’une faible part de la volatilité du taux de croissance. Alternativement, nous avons travaillé avec des fenêtres de largeur 70 et 90. Aucun des résultats que nous reportons n’est qualitativement affecté [5].

21Notons que nous utilisons la forme espace-état du modèle log-linéarisé pour calculer le V théorique dans le modèle. L’étalonnage est résumé dans le tableau 1.

3.3. Discussion

3.3.1. Analyse des fonctions de réponse aux chocs

30Pour comprendre l’origine des bonnes performances du modèle de croissance endogène, il nous faut comprendre le rôle joué par z₂ dans la variance des principaux agrégats étudiés. Pour ce faire, commençons par étudier les fonctions de réponse aux chocs des principales variables des modèles. Ces dernières sont reportées sur la figure 1.

31Dans les deux modèles, les mouvements dynamiques des variables en réponse à un choc sur z₁ sont similaires. Ces derniers sont très comparables à ceux qu’engendre un simple modèle RBC avec chocs stationnaires. Notons que dans le modèle en croissance endogène, l’effet de long terme sur les variables non stationnaires d’un choc de ?_?1 % sur z₁, est très faible comparativement à l’effet de long terme d’un choc de ?_?2 % sur z₂. Il en découle que l’essentiel de la composante permanente de ces variables tire son origine des chocs sur z₂. Naturellement, dans le modèle RBC, cette propriété est vérifiée par construction (seuls les chocs sur z₂ ont des effets permanents).

32Puisque les deux modèles engendrent des réponses similaires aux chocs sur z₁, la différence entre leurs performances ne peut provenir que du choc z₂. Dans ce cas, les résultats de Hansen [1997] nous enseignent que plus z₂ contribue à la dynamique des variables d’intérêt dans le modèle RBC, et moins ce dernier sera à même de reproduire les faits stylisés du cycle économique. Par ailleurs, dans le modèle en croissance endogène, le choc z₂ engendre des mouvements dynamiques du produit et de l’investissement compatibles avec les résultats du panneau A du tableau 2. En particulier, la réponse de l’investissement est près de quatre fois plus ample que celle du produit et la corrélation entre ces variables est positive. Toutefois, le choc z₂ induit une covariation négative entre la consommation et ces mêmes variables. En outre, il rend les heures travaillées plus volatiles que le produit [7], ce qui n’apparaît pas dans l’échantillon. Il en découle qu’à lui seul, ce choc ne permettrait pas de reproduire les faits de base du cycle. Là encore, moins z₂ contribuera à la variance des variables d’intérêt, et plus le modèle en croissance endogène sera à même de reproduire les volatilités relatives et les corrélations définissant le cycle d’affaire dans la méthodologie RBC.

33Il est à noter qu’un choc sur z₂ engendre un effet instantané négatif sur le produit et les heures travaillées dans le modèle de croissance endogène, alors qu’un choc sur z₂ engendre une réponse positive de ces mêmes variables dans le modèle en croissance exogène. Apparemment, donc, le modèle en croissance endogène donne lieu à une dynamique contre-factuelle du produit et des heures. Toutefois, des travaux récents suggèrent qu’en réalité, c’est le modèle en croissance exogène qui est contre-factuel.

34En effet, les travaux empiriques récents de Gali [1999] et Basu et alii [1998] montrent qu’un choc technologique permanent dûment identifié engendre un effet récessionniste sur le produit et les heures. Gali [1999] obtient ce résultat à l’aide de différents modèles VAR structurels contenant la productivité moyenne du travail et les heures travaillées comme variables endogènes. Basu et alii [1998] procèdent pour leur part à l’identification du choc technologique permanent à l’aide d’une analyse détaillée d’une fonction de production macroéconomique. Leurs résultats suggèrent qu’un choc technologique réduit de façon significative l’emploi des facteurs de production (réduction des heures et du taux d’utilisation du capital) et conduit à une contraction modérée du produit.

35Si l’on accepte d’interpréter z₂ comme un choc technologique aux effets permanents, le modèle en croissance endogène engendre des résultats compatibles avec les conclusions de Basu et alii [1998] et de Gali [1999] [8]. En effet, par le jeu des mécanismes précédemment expliqués, les agents diminuent les parts du travail et du capital allouées aux activités de production pour les réaffecter à l’accumulation de connaissances. Il s’ensuit que la productivité moyenne du travail croît (sous l’effet combiné de la hausse de h_t et de la diminution de n_t plus importante que celle de y_t ) tandis que les heures travaillées se contractent.

36La figure 2 reporte la dynamique de v_t, ?_t ? 1 ? n_t ? l_t et de h_t en réponse à chacun des deux chocs. Tout comme cela apparaissait dans la figure 1, la partie supérieure montre qu’un choc sur z₁ explique une faible part de la dynamique du capital humain, et par prolongement, de la composante permanente des variables croissantes. L’essentiel de cette composante tire son origine de la réponse du capital humain à un choc sur z₂. Le taux de croissance du capital humain dépendant directement de z₂, le cumul du premier est proportionnel au cumul du second [9].

37La figure 2 illustre aussi le comportement assez différent de 1 ? v_t et de ?_t. En réponse à un choc sur z₁, v_t croît (et donc 1 ? v_t décroît) tandis que ?_t croît. Le capital physique étant en offre constante au moment du choc, les agents choisissent le plus rentable de ses deux emplois en concurrence. C’est un effet de substitution classique qui est connu dans la littérature [10] sous l’appellation « effet coût d’opportunité ». A l’inverse, l’offre totale de travail n’est pas à offre fixe au moment du choc ; les agents peuvent en effet diminuer le temps consacré au loisir. Ils peuvent donc simultanément accroître le temps consacré aux activités de production et le temps consacré à l’accumulation de connaissances. Dans ce cas, l’effet coût d’opportunité ne joue plus. En réponse à un choc sur z₂, en revanche, les agents diminuent simultanément v_t et n_t. C’est le résultat d’un effet intertemporel de substitution qui conduit les agents à exploiter au mieux les gains transitoires de productivité dans la production de nouvelles connaissances.

3.3.2. Décomposition spectrale de la contribution des chocs

38L’analyse préliminaire précédente a montré que dans les deux modèles, nous avons besoin de z₂ pour reproduire les caractéristiques de la composante permanente du produit, mais que dans le même temps, l’inclusion de ce choc risque de détériorer la capacité de ces derniers à rendre compte du cycle économique. Il faut donc que z₂ se manifeste aux très basses fréquences, expliquant ainsi la composante permanente des principales séries, sans pour autant contribuer de façon importante à la variance des séries aux fréquences plus élevées.

39Nous proposons à présent de confirmer cette analyse en évaluant l’importance de z₂ dans la variance des principaux agrégats macroéconomiques. Pour ce faire, nous calculons la contribution de z₂ à la densité spectrale des taux de croissance de y_t, c_t, x_t et n_t aux fréquences du cycle économique. Sachant que l’intégrale sur [ 0, ? ] de la densité spectrale d’une variable est égale à la moitié de la variance de cette dernière, cet exercice va nous permettre de comprendre quel choc dans les deux modèles contribue le plus à la variance des séries d’intérêt aux fréquences du cycle économique.

40Soit d_t = ( ?yˆ_t, ?cˆ_t, ?xˆ_t, ?nˆ_t ), où le signe « ˆ » désigne le logarithme de la variable considérée et ? est le filtre différence première. Notons F_j ( ? ) la densité spectrale de la j-ième composante de d_t en fréquence ?. De la même façon, notons F_jⁱ ( ? ) la densité spectrale de la composante j s’il n’y a que des chocs sur z_i. Nous calculons alors

pour les quatre composantes de d_t. Nous prenons ? dans [ 0, ?/3 ], de façon à mettre en évidence les mouvements des variables aux fréquences du cycle et de la croissance. Notons que les µ_jⁱ sont invariants par rapport au filtre choisi pour les définir (sauf en fréquence nulle). Ainsi, si d_t avait regroupé les composantes HP des agrégats macroéconomiques, nous aurions obtenu les mêmes µ_jⁱ. Dans le cas des heures travaillées, la fréquence nulle est exclue puisque F₄ ( 0 ) = 0. En effet, les heures travaillées étant stationnaires dans les deux modèles, leur taux de croissance admet une densité spectrale nulle en fréquence nulle.

41Les résultats sont reportés sur la figure 3 pour le modèle en croissance endogène et sur la figure 4 pour le modèle RBC. Puisqu’après filtrage HP, l’essentiel de la variance des variables d’intérêt est concentré entre ?/16 et ?/3, nous indiquons la fréquence ?/16 sur les graphiques afin de faciliter l’analyse des résultats.

42Les deux figures confirment l’interprétation que nous avons proposée. Dans le modèle en croissance endogène, z₂ explique les mouvements cycliques des principaux agrégats aux basses fréquences. En revanche, aux fréquences du cycle d’affaire, la contribution de z₂ à ces mouvements décroît pour être confinée entre environ 30 % et 20 % sur l’intervalle [ ?/16, ?/3 ], sauf pour la consommation. Nous obtenons à peu près le contraire dans le modèle RBC. Dans le cas du produit, la contribution du choc permanent est décroissante, mais reste toujours supérieure à 40 %. De la même façon, le poids de z₂ dans l’explication des mouvements cycliques des heures démarre à 30 %en ?/16, puis est croissant aux fréquences du cycle. A l’inverse, dans le modèle en croissance endogène, ce poids démarre 30 % en ?/16 et décroît par la suite. Il apparaît donc que le choc permanent de productivité joue dans ce modèle un rôle trop important [11].

4. Conclusion

43Nous avons proposé de montrer comment la prise en compte d’une forme particulière de croissance endogène dans un modèle RBC permet d’échapper au dilemme soulevé par les travaux de Hansen [1997] et Ireland [2001]. Le modèle de croissance endogène que nous avons considéré est une modification du modèle d’accumulation du capital humain proposé par Rebelo [1991]. Il incorpore deux chocs de productivité, l’un affectant la production de biens et l’autre la production de capital humain, dont la technologie d’accumulation est non linéaire, reflétant la présence de coûts d’ajustement. Ce modèle a été comparé à un environnement RBC avec des chocs de productivité stationnaires ainsi que des chocs permanents.

44Les simulations effectuées montrent que le modèle de croissance endogène reproduit relativement mieux les faits de base du cycle que l’environnement RBC lorsque nous étalonnons les chocs de façon à reproduire à la fois la variance du taux de croissance du produit et la variance d’une innovation dans la composante permanente du produit. En particulier, le modèle de croissance endogène parvient à répliquer la volatilité relative des heures travaillées et de l’investissement relativement mieux que le modèle en croissance exogène.

45Pour compléter cette analyse, nous avons étudié la contribution de chacun des deux chocs à la densité spectrale du taux de croissance des principaux agrégats. Cet exercice a permis de confirmer qu’aux fréquences du cycle, les variables d’intérêt tirent en grande partie leur volatilité des mouvements de z₂ dans le modèle RBC. Au contraire, dans le modèle de croissance endogène, la volatilité de ces variables provient principalement des mouvements de z₁. Du point de vue de la reproduction simultanée des faits de base du cycle et des caractéristiques de la marche aléatoire dans le produit, le modèle de croissance endogène que nous avons considéré est donc plus approprié qu’un modèle RBC intégrant à la fois des chocs de productivité stationnaires et des chocs de productivité permanents.