2.1 – Les entreprises

14On considère un secteur concurrentiel caractérisé par une entreprise représentative qui produit l’unique bien suivant la technologie à rendement d’échelle constant :

15

16où K_t est le stock de capital physique, L_t le nombre de travailleurs et Z_t le niveau de capital humain de chacun des travailleurs.

17Soit

18

19le capital par unité de travail efficace, on obtient, sous l’hypothèse d’une dépréciation totale du capital, les conditions d’optimalité résultant de la maximisation du profit :

20

21

22où R_{t + 1} est le facteur d’intérêt, w_t est un indice de salaire par unité de travail efficace et W_t = Z_t w_t est le salaire réel par travailleur.

23Les relations (2) et (3) établissent l’égalité traditionnelle entre coûts marginaux et rendements marginaux du capital physique et du travail.

2.2 – Les individus

24Chaque individu, non altruiste, vit pendant deux périodes et ses préférences sont caractérisées par la fonction

25

26où c_t est la consommation de première période de vie d’un individu né en t, d_{t + 1} sa consommation de deuxième période de vie, et où ? est le facteur d’escompte.

27Nous allons supposé que les connaissances dans l’économie, qu’on assimilera au capital humain, sont cumulatives et se transmettent de générations en générations. Les individus d’une génération héritent donc du stock de capital humain de la génération précédente. Pendant la première période de vie, chaque individu va alors partager son unité de temps entre des études non rémunérées, pour accroître le niveau de capital humain dont il vient d’hériter, et une activité salariée. Le processus d’accumulation du capital humain est représenté par :

28

29où le capital humain moyen de la génération née en t – 1, et h_t l’investissement temporel en éducation. Cette modélisation de la technologie d’accumulation se démarque des formes traditionnellement retenues en autorisant un effet instantané de l’investissement en capital humain sur le niveau de ce capital, et non un effet différé d’une période. On peut en fait distinguer deux types d’éducation : les études de bases (primaires et secondaires) et les études supérieures. Les premières constituent bien un investissement durant la jeunesse qui se rentabilisera plus tard lors de la vie active. Par contre, les études supérieures résultent d’un arbitrage qui s’opère sur une même période : sacrifier une partie de son temps en période active afin de compléter les compétences de base acquises lors de la jeunesse, et ce pour une rentabilité quasi-immédiate. Notre spécification de la technologie d’accumulation vise donc plutôt à rendre compte des études du second type, les autres étant maintenues à un niveau implicite.

30Durant cette première période, les individus vont épargner et consommer leur revenu net des prélèvements proportionnels du système public de retraite et du fonds de pension.

31La contrainte budgétaire de première période de vie est donc :

32

33où s_t est l’épargne d’un individu né en t, et où ?^fp et ?^r sont respectivement les taux de cotisation du fonds de pension et du système public de retraite en répartition auxquels il est soumis. Comme légalement il est généralement interdit de s’endetter sur les futurs revenus octroyés par la sécurité sociale, on suppose qu’il n’existe pas dans l’économie de possibilité d’emprunt à long terme pour les individus, c’est-à-dire qu’on impose une contrainte de non endettement s_t ? 0, ?t.

34En seconde période de vie, les individus récupèrent avec intérêts leur épargne privée (si elle n’est pas nulle) ainsi que les montants prélevés par le fonds de pension (sommes qui ont été placées auprès des entreprises). Ils consomment afin d’épuiser leurs ressources. De plus, le système de retraite public leur assure une pension en proportion du salaire qu’ils touchaient pendant leur période d’activité [6]. La contrainte budgétaire de l’agent représentatif est alors :

35

36Dans le cadre des modèles traditionnels (sans capital humain ni contrainte institutionnelle de non endettement à long terme) on sait que le système de retraite par répartition s’apparente à un système de transferts intergénérationnels forfaitaires. Par contre, la prise en compte du capital humain permet de montrer que le système public en répartition, à la différence d’un système de transferts intergénérationnels forfaitaires, peut générer une incitation à s’éduquer davantage. Si on considère maintenant au côté du système public en répartition un fonds de pension (dont l’adhésion et les cotisations sont obligatoires), on sait que l’épargne privée se réduit d’un montant égal à celui des cotisations prélevées par le fonds de pension. Toutefois, il existe un niveau de cotisation où l’épargne privée devient nulle. Au delà de ce niveau, le consommateur souhaiterait emprunter en première période de vie. Or cette possibilité lui étant interdite, il n’a d’autres choix que de conserver une épargne privée nulle. On qualifiera alors ce régime de contraint, en opposition à un régime non contraint où les agents sont libres de leurs décisions d’épargne. Il convient alors d’étudier ce que devient l’incitation à s’éduquer davantage en présence d’un système mixte, ainsi que de comparer les niveaux d’investissement en capital humain atteints dans les deux régimes.

37Le régime non contraint, où l’individu est libre de choisir le niveau de son épargne privée, est caractérisé par la relation Dans ce régime, la résolution du problème du consommateur donne:

38

39et

40

41où est l’investissement en éducation en l’absence de système de retraite.

42A l’inverse, si on se trouve en régime contraint où l’ épargne privée des ménages est nulle (s_t = 0). Le niveau d’investissement en capital humain, qui résout le problème du consommateur, peut alors être donné par maximisation de ce qui aboutit à :

43

44On voit que le membre de gauche décroît de quand h_t croît de 0 à 1. En outre, il est positif en ?/ ( 1 + ?). Donc, il existe une unique solution en h_t, appartenant à l’intervalle

45On peut alors observer que, quelque soit le régime, le système de retraite par répartition génère une incitation à s’éduquer davantage [7] (h_t > h⁰). Le fait que le niveau des droits à pension soit lié au salaire d’activité et que la perception des cotisations se réalise uniquement durant la période salariale conduit l’individu à réaliser un arbitrage : au delà du seuil de référence h⁰, l’accroissement pour l’individu de son temps consacré aux études réduit dans un premier temps sa masse salariale (1 – h_t)Z_t w_t, mais accroît le niveau de la pension du système public perçue la période suivante. En outre, il réduit sa durée de cotisation [8] (ce qui diminue le montant total des prélèvements subis au cours de sa période active). Au total, les deux derniers effets dominent, de sorte que l’individu investit davantage dans le système public de retraite via un supplément d’éducation.

46Par contre, l’existence d’une contrainte de non endettement dans l’économie réduit l’incitation à investir en capital humain que procure le système de retraite par répartition [9]. En effet, en situation de régime contraint, une trop grande importance est donnée à la période de retraite. L’individu souhaiterait consommer plus en première période de vie, mais l’impossibilité pour lui de s’endetter l’en empêche. Dès lors il réduit l’investissement qu’il réalisait dans le système public de retraite, c’est-à-dire qu’il s’éduque moins, et d’autant moins que le taux de cotisation du fonds de pension est élevé.

47On observe également, dans les deux régimes, que l’incitation à s’éduquer davantage est d’autant plus faible que le taux d’intérêt est élevé. En effet, pour un taux d’intérêt élevé, le rendement actualisé de l’investissement dans le système de retraite est faible. De plus, on voit que l’épargne privée est réduite par l’existence du système de retraite, et ce quel que soit le calcul des droits à pension. Comme l’épargne est un déterminant essentiel du niveau du taux d’intérêt en équilibre général, on comprend bien l’importance qu’aura le bouclage du modèle sur l’étude de l’incitation à s’éduquer davantage procurée par le système de retraite par répartition.

2.3 – Équilibre de la caisse de retraite par répartition

48La gestion en répartition implique que l’organisme responsable du système de retraite redistribue les cotisations prélevées directement aux retraités sans que ces cotisations aient été au préalable investies. L’équilibre emplois-ressources qui en résulte s’écrit donc : correspond au salaire réel moyen à la date t, et h_{t +1} l’investissement moyen en capital humain réalisé par la génération née en t + 1.

49On déduit alors aisément, à l’aide de l’équation (5), le taux de remplacement proposé aux individus ex-ante et qui garantit ex-post l’équilibre de la caisse de retraite :

50

51Puisque n est grand, ce taux de réversion est considéré de façon paramétrique par les individus.

3.1 – L’équilibre concurrentiel symétrique

53Pour déterminer l’équilibre général dynamique, il suffit d’établir l’équilibre offre/demande uniquement sur deux des trois marchés de l’économie (capital, travail, bien), le troisième l’étant automatiquement par la loi de Walras.

54À l’équilibre symétrique, c’est-à-dire l’équilibre du marché du travail est donné par :

55

56et celui du marché des capitaux par : [10]

57

58où K^fp_t est le capital du fonds de pension en t. Il équivaut au montant des sommes prélevées par le système privé auprès des individus durant la période, soit

59A l’aide des équations (1), (2), (3) et (11), on obtient :

60

61Dans le cas non contraint, en tenant compte des relations (1), (3), (5), (8), (12) et (14), l’équilibre sur le marché du capital, établit par (13), implique :

62

63Avec les équations (14), (15) et la relation (9) définissant la demande d’éducation, on peut alors caractériser entièrement l’équilibre général dynamique :

64

65

66où

67

68Donc la demande d’éducation h_t est constante au cours du temps, et croissante avec le taux de cotisation au système de retraite par répartition ?^r [11]. En outre, puisque ? < 1, la suite des intensités capitalistiques {k_t} convergent vers un état stationnaire strictement positif qui est donné par :

69

70On peut également remarquer que C^nc est décroissante en ?^r.

71Enfin, la condition qui garantit la non négativité de l’épargne privée et donc qui caractérise le régime non contraint, peut se réécrire à l’aide des équations (15) et (16) :

72

73En conséquence, le fait d’être dans un régime ou l’autre ne dépend pas de la condition initiale, mais du couple de taux de cotisation.

74Dans le cas contraint, avec les relations (1), (3), (5) et (12), l’équilibre sur le marché du capital (13) peut se réécrire :

75

76Avec les équations (2) et (3), on déduit de (11) et (21) que :

77

78Par substitution de (22) dans la condition du premier ordre (10), on obtient :

79

80ce qui conduit à la même fonction de demande d’éducation que dans le cas non contraint, c’est-à-dire h_t = h (?^r), où h (?^r) est définit par l’équation (16). On observe donc que le niveau d’investissement en capital humain h_t ne dépend pas du régime, contraint ou non contraint, et ne dépend que du système par répartition, et pas du fonds de pension.

81La dynamique de l’intensité capitalistique est donnée par :

82

83où

84

85qui est une fonction croissante de ?^fp et décroissante de ?^r. Comme dans le cas non contraint, on converge vers un niveau stationnaire de l’intensité capitalistique qui est caractérisé par :

86

87Le modèle est donc caractérisé par de bonnes propriétés tant par l’existence et l’unicité de l’équilibre, que par sa dynamique convergente. On va alors s’intéresser à l’état de croissance régulière de l’économie et étudier dans les deux régimes existants l’impact du système public de retraite par répartition ainsi que celui des fonds de pension.

3.2 – Impact du système public en répartition

3.3 – Impact des fonds de pension

4.1 – Rendement des deux systèmes de retraite

99Il est plus difficile d’évaluer la rentabilité d’un système de retraite par répartition que celle d’un fonds de pension. En effet, dans ce dernier cas, les cotisations sont placées sur les marchés financiers, et au terme de la période active, les prestations correspondent au versement des cotisations augmentées des intérêts. La rentabilité d’un tel système est donc assimilable à l’efficacité des marchés financiers, et leur indicateur de rentabilité est leur rendement, c’est-à-dire le taux d’intérêt. Par contre, le système public de retraite en répartition est un système collectif où les cotisations sont directement redistribuées aux retraités. Ainsi il n’y a pas correspondance directe entre les cotisations et les prestations. Toutefois on peut procéder par analogie : le taux d’intérêt est tout simplement le rapport entre les prestations et les cotisations ; en procédant ainsi pour le système public, on observe que le rendement du système de retraite par répartition ?_t est égal au taux de croissance de l’économie:  [12]. Des propositions 1 et 2 on déduit immédiatement que ce rendement est une fonction croissante du taux de cotisation du système public de retraite et indépendante du taux de cotisation du fonds de pension. Toutefois, l’intérêt ne va pas résider dans l’étude du rendement absolu du système par répartition, mais de comparer ce rendement à celui du fonds de pension dans les deux régimes. Pour ce faire, on définit le rendement relatif d’un système de retraite par répartition p_t comme le taux qu’il faudrait appliquer aux placements dans le fonds de pension en plus du taux d’intérêt pour rendre ce placement actuariellement équivalent à celui de la caisse de retraite : Plus il est faible, plus l’efficacité en termes de rendement du système public est élevé par rapport au fonds de pension. S’il est nul, c’est qu’il y a neutralité actuarielle des deux systèmes de retraite, c’est-à-dire qu’ils ont le même rendement.

Preuve

101Les relations (2), (18) et (19) nous donnent pour le régime non contraint:

102

103où l’on obtient

104Les relations (2), (25) et (26) donnent pour le régime contraint :

105

106où l’on a

107Ce travail sur les taux de rendement permet déjà de rendre compte de l’interaction complexe entre les deux types de système de retraite : en régime non contraint, une baisse de la rentabilité du système public, suite par exemple à une baisse de la natalité, peut être compensée comme on l’a vu par une hausse du taux de cotisation de ce même système. Seulement cette hausse provoquerait une augmentation du taux d’intérêt suite à la raréfaction du capital dans l’économie. Augmentation d’ailleurs plus que proportionnelle à celle du taux de croissance qui tendrait à prescrire dans ce cas une préférence pour la capitalisation privée. Tout au contraire, en régime contraint, toute augmentation du taux de cotisation au fonds de pension accroît la rentabilité relative du système en répartition, alors que l’augmentation de ce dernier n’est en rien bénéfique au rendement relatif du fonds de pension.

108On peut également observer que ce critère est fortement défavorable au système par répartition. En effet, en régime non contraint, une condition suffisante pour que le rendement relatif du système par répartition soit négatif est Or, le paramètre ?, qui représente la part du capital dans la valeur ajoutée, est connu avec une assez grande précision, de l’ordre de 0,3, ce qui permet de redéfinir la condition précédente comme ? < 0,75. Si l’on retient une valeur standard du taux de préférence pour le présent de 3 % annuel, que l’on retrouve par exemple dans Christiano et Eichenbaum (1992), et si on considère l’horizon de la première période de vie à 40 ans, on a ? = 1,03^{- 40} = 0,3. Cette sous-optimalité du système par répartition est un argument régulièrement avancé en faveur de la privatisation des régimes de retraite. De la même manière, en régime contraint, pour ? ? 0,3, sans un taux de cotisation du fonds de pension au moins égal à 43 %, le rendement relatif du système par répartition est négatif.

109Toutefois, la simple étude des rendements peut paraître insuffisante pour trancher de la supériorité d’un système sur l’autre, ou bien encore de leur nécessaire coexistence. Pour ce faire, seule la prise en compte de l’utilité des agents peut nous permettre d’apporter des éléments de réponse.

4.2 – Système optimal : répartition ou fonds de pension ?

110Pour juger de l’intérêt à introduire un système de retraite par répartition ou un fonds de pension, nous allons prendre comme critère d’évaluation la somme intertemporelle des utilités indirectes des individus, V_t pour un individu né en t. En supposant que les générations successives sont pondérées par un facteur ? inférieur à l’unité, Le critère utilitariste est le suivant :

111

112Critère qui, en état de croissance équilibrée, est équivalent en régime non contraint à :

113

114sous la contrainte :

115Trois éléments, qui entrent de façon positive dans le critère social, sont identifiables : le rendement du système de retraite (c’est-à-dire la croissance), son rendement relatif, et enfin la durée de travail salarié. D’après les relations (16) et (27), ce critère est donc fonction uniquement du taux de cotisation du système public par répartition ?^r. Une augmentation du taux de cotisation du système de retraite par répartition va avoir pour effet de réduire son propre rendement relatif (proposition 3). Ce système va également avoir un effet incitatif sur la durée d’investissement en capital humain (proposition 1), et donc accroître la croissance économique, mais aussi réduire la durée d’activité salariale.

116En régime contraint, ce critère devient :

117

118sous la contrainte :

119Cette fonction en régime contraint présente de fortes similitudes avec le régime non contraint, seul le terme de distorsion fiscale change. Ici il se décompose en deux éléments : l’effet négatif des deux termes de cotisation de première période, et l’effet positif du niveau des deux pensions en seconde période de vie. Dans ce régime, le fonds de pension n’est plus neutre, et il a un effet positif sur le rendement relatif du système par répartition (proposition 3). L’effet du système par répartition transite quant à lui toujours par l’investissement en capital humain. Le critère S est donc une fonction des variables ?^r et ?^fp.

120Ce critère utilitariste va nous permettre d’évaluer les niveaux optimaux du système de retraite par répartition et du fonds de pension, et ensuite observer quel système domine l’autre. On va procéder en trois étapes : on étudie d’abord les deux systèmes un à un ; ensuite le système mixte, voir s’il domine les deux autres pris isolément ; enfin on évalue le système optimal si le décideur public impose un plafond de cotisation à ne pas dépasser.

Proposition 4 Existence d’un système de retraite par répartition optimal

121Soit ?^r = Arg max S, on a :

De plus,

Preuve

122La pondération accordée par le planificateur au rendement du système de retraite est croissante avec l’importance donnée aux générations futures :

123

124Le paramètre important pour ce qui concerne le système de retraite par répartition est donc ?. Quelle que soit la valeur des autres paramètres, on a toujours une valeur de ? qui permette l’existence optimale du système par répartition. Pour un étalonnage standard ? = 0,3; ? = 0,3; ? = 0,1; ? = 0,98, le taux de cotisation qui maximise le critère utilitariste (29) est égal à 15,1 %. De plus, on peut observer, sur la figure 1, l’influence sur ce taux optimal des quatre paramètres du modèle intervenants : ? représentant l’importance du capital physique dans le processus de production, ? le facteur d’actualisation du futur des individus, ? l’efficacité de l’éducation et ? l’importance donnée par le planificateur aux générations futures :

• plus ? est faible, plus l’importance du capital physique est faible dans le processus de production, et donc moins la baisse de l’épargne et du stock capital physique est néfaste ; comme le système de retraite par répartition nuit à l’accumulation de capital physique, plus ? est faible, plus le taux de cotisation optimal est élevé.
• plus ? est élevé, plus les individus sont patients, et plus une hausse du taux d’intérêt est valorisée par ces derniers ; comme le système de retraite accroît le taux d’intérêt, plus ? est élevé, plus le taux de cotisation optimal du système de retraite est élevé.
• plus ? est élevé, plus une augmentation de l’investissement en capital humain produit un effet favorable élevé ; comme le système de retraite proportionnel génère une incitation à accroître l’investissement en capital humain, plus ? est élevé, plus le taux de cotisation optimal du système de retraite proportionnel est élevé.
• plus ? est élevé, plus la croissance économique est valorisée par le planificateur ; comme le système de retraite par répartition accroît le taux de croissance économique, plus ? est élevé, plus le taux de cotisation optimal est élevé.

Proposition 5 existence d’un fonds de pension optimal

125Soit ?^fp = arg max S, on a :

126

Preuve

127

128Pour ce qui concerne le système de retraite en fonds de pension, le paramètre ? n’intervient plus. En effet, on a vu que ce système n’avait pas d’influence sur l’investissement en capital humain (proposition 2), et donc pas sur la croissance. D’ailleurs, le taux optimal est également indépendant du paramètre ?, qui est un des déterminants de l’investissement en capital humain. Ainsi, si l’on vérifie la condition c’est-à-dire, comme on l’a déjà vu, si dans l’économie sans système de retraite le taux d’intérêt est supérieur au taux de croissance, il existe un fonds de pension qui maximise le critère (29). Et plus est élevé, plus le besoin en capital est important, et plus le taux de cotisation du fonds de pension est élevé (Cf. figure 1). Pour notre étalonnage standard, ? = 0,3; ? = 0,3; ? = 0,1; ? = 0,98, le taux de cotisation qui maximise le critère utilitariste (29) est égal à 35,8 % [13].

Figure 1

Comparaison des deux systèmes pris isolément

Comparaison des deux systèmes pris isolément

129Pour comparer les deux systèmes, on compare alors les niveaux d’utilité sociale (évalué par le critère S) obtenus. On observe, sur la figure 1, que le système en répartition domine le système en fonds de pension, pour l’étalonnage standard, ainsi que pour différentes valeurs plausibles des paramètres ?, ? et ?. On est donc en contradiction avec le critère des rendements. Par contre, au delà de ? = 0,317 le critère S sélectionne le système en fonds de pension.

130On a donc mis en évidence l’existence d’un système de retraite optimal n’utilisant qu’un seul mode de gestion. Par contre, suivant la valeur des paramètres, le mode de gestion optimal est soit en répartition, soit en fonds de pension. Il reste alors à déterminer si un système utilisant les deux modes de gestion permet d’atteindre un niveau d’utilité sociale supérieur aux deux systèmes pris isolément.

131On observe, figure 2, qu’un système mixte permet d’atteindre un niveau d’utilité sociale supérieur à un unique système par répartition et à un fonds de pension. De plus, l’introduction du fonds de pension accroît le niveau de capital dans l’économie et diminue donc le taux d’intérêt. Dès lors le rendement relatif du système de retraite par répartition s’améliore ce qui conduit même à une augmentation de son taux de cotisation optimal. On peut donc véritablement parler de complémentarité entre les deux systèmes : un qui accroît la croissance économique mais qui réduit le niveau de capital physique de l’économie, et l’autre qui justement permet de compenser l’effet négatif du précédent en favorisant l’accumulation de capital physique tout en laissant inchangée la croissance. Insistons néanmoins sur le fait que le rendement de la répartition reste inférieur au taux d’intérêt.

Figure 2

Système de retraite mixte

Système de retraite mixte

132Le système de retraite optimal est donc bien un système mixte (au moins pour les valeurs des paramètres considérées). Le seul inconvénient de ce système est le niveau élevé des cotisations qui parfois peut être appréhendé par les ménages comme des quasi-taxes. Pour notre étalonnage standard, avec ? = 0,3, le total des taux de cotisation se monte à 49,3 %. Si ce montant est considéré trop élevé par les autorités, il est intéressant de savoir quel système est optimal en présence d’un plafond de cotisation à ne pas dépasser. On peut alors observer, sur la figure 3, que, pour que le système mixte domine un système exclusivement par répartition, il est nécessaire que le plafond des taux de cotisation admis atteigne au moins 28,1 %, ce qui laisse une large place au dernier système. A ce plafond, la place de la répartition est réduite, passant à l’optimum d’un taux de 21 % à un taux de 8,4%, accompagné d’un taux de 19,7 % pour la capitalisation privée. Un autre cas d’étude intéressant est de se placer au point ? = 0,33. En effet, on a vu que pour cette configuration, et contrairement au cas ? = 0,3, le système en fonds de pension domine le système par répartition. Néanmoins, on peut observer (Cf. figure 3) une configuration identique des taux de cotisation optimaux : en deçà d’un plafond de cotisation de 26,4 %, le système optimal est un système par répartition, et au delà de ce plafond, c’est un système mixte.

Figure 3

Système optimal soumis à des cotisations plafonnées

Système optimal soumis à des cotisations plafonnées

133Suivant le plafond accepté, le système par répartition ou le système mixte est optimal d’un point de vue social. Mais jamais le système purement en fonds de pension ne l’est.