Équation d’Euler et anticipations non rationnelles

18À condition de raisonner dans un cadre d’équilibres temporaires, l’équation (1) peut conserver sa pertinence sans pour autant nécessiter l’hypothèse restrictive d’anticipations rationnelles, les agents pouvant alors prendre leurs décisions aujourd’hui sur la base de l’idée qu’ils se font de l’état de la nature demain, cette représentation du futur pouvant être affectée par des erreurs qui ne sont pas des bruits blancs [15]. Il importe de souligner ici que tant l’écriture du sacrifice (en termes de non-consommation) que celle de l’espérance d’utilité des recettes futures actualisées peuvent être effectuées directement et sans ambiguïté. La relation (1) peut ainsi être regardée comme traduisant une succession d’équilibres temporaires, les prix s’ajustant à chaque date pour équilibrer les offres et les demandes de titres qui dépendent de l’opinion en t qu’ont les agents sur l’état de la nature en t + 1. Toujours muni d’une rationalité de ses choix, le consommateur-investisseur est ici caractérisé par un comportement marginaliste simple sur des marchés concurrentiels. Par exemple, lorsque sa consommation, ses préférences, ses anticipations (déterminées d’une manière exogène par un modèle quelconque ou encore par une simple croyance) et le prix du portefeuille sur le marché sont tels que la désutilité (exprimée en termes de renoncement à une consommation immédiate), associée à la détention de la dernière unité de portefeuille, est supérieure à l’espérance d’utilité de la recette future actualisée procurée par la détention de cette unité, soit lorsque :

19

20les ventes induites de titres sur le marché conduisent à une baisse du prix P_t, cette désépargne conduisant simultanément à une hausse de la consommation et donc à une baisse de son utilité marginale U’(C_t). Si les ajustements sont instantanés, la relation (1) sera donc respectée à tout instant [16]. Grâce au marché financier, l’agent trouvera ainsi en permanence sa position optimale [17] : la relation (1) n’est donc plus nécessairement la solution de la maximisation sous contrainte de l’espé­rance d’utilité de la consommation sur un horizon infini. Il en résulte que la relation (1) devient indépendante de l’hypothèse faite sur la nature des anticipations : cette relation devient désormais compatible avec toute représentation des anticipations et autorise donc l’existence d’erreurs non purement stochastiques dans les prévisions.

21La fonction d’utilité séparable crra (Constant Relative Risk Aversion, telle que U’(C_t) = 1/C^?_t, ? > 0) sera utilisée dans cet article car cette spécification permet de tester facilement diverses hypothèses sur les anticipations. Ce choix semble d’autant plus raisonnable que l’hypothèse d’anticipations non rationnelles retenue par CLM permet, avec cette même fonction, de rendre compte des principaux faits stylisés concernant les rentabilités, et notamment les deux premiers moments. En reportant cette fonction dans la relation (1), on obtient l’équation suivante :

22

23où E_t{G_{t + 1}} représente l’espérance d’utilité en t de la recette de t + 1, grandeur que l’on nommera désormais pour simplifier « gain anticipé ». On en déduit immédiatement que le prix du portefeuille de titres est égal aux recettes espérées et actualisées de la période suivante [18], soit

24

25L’espérance d’un produit de deux variables étant égale au produit des espérances de ces deux variables augmenté de leur covariance, la relation (2) permet aussi de déduire que la rentabilité espérée du portefeuille entre t et t + 1 est égale à la somme du taux d’intérêt sans risque (taux d’actualisation commun à tous les titres) et de la prime de risque propre au portefeuille considéré, soit :

26

27avec .

Le pourquoi et le comment des représentations non rationnelles des anticipations

28Les relations ci-dessus déterminent le cours et la rentabilité des actions [19], la représentation des anticipations étant donnée. L’existence de coûts attachés à la collecte et au traitement des informations suffit pour d’expliquer pourquoi les agents peuvent se coordonner rationnellement sur le marché autour d’une représentation biaisée de l’état futur de la nature [20]. En effet, dans ce contexte, les agents n’utilisent une nouvelle information que si l’avantage qu’elle procure est plus grand que son coût d’acquisition et de traitement. Ce comportement économiquement rationnel (Feige et Pearce [1976]) peut être décrit par le modèle illustratif suivant [21].

29Soit I_it le montant d’information de type i (i = 1, 2, …, n) [22] que l’agent représentatif utilise pour former son anticipation en t et soit c_it le coût unitaire de collecte et de traitement de cette information supporté par l’agent. En supposant des rendements d’échelle constants, c_it représente le coût marginal. Soit f? une fonction doublement dérivable reliant l’erreur quadratique d’anticipation aux informations utilisées par l’agent. On suppose

30

31où R_t est la rentabilité des actions. Le signe négatif de la dérivée première de f? signifie que plus l’agent collecte de l’information, plus il espère diminuer l’erreur d’anticipation en utilisant un processus plus sophistiqué, tandis que le signe positif de la dérivée seconde signifie que l’efficacité marginale de l’information décroît lorsque I_it augmente. Pour déterminer le montant optimal de chaque type d’information, le prévisionniste minimise à tout moment le coût total

32

33où ?_t > 0 représente l’aversion de l’agent à commettre une erreur de prévision, tandis que ?_t f? représente sa fonction de perte (une erreur de prévision donnée sera d’autant plus coûteuse que cette aversion est grande). Les conditions du premier ordre conduisent à représenter l’équilibre du prévisionniste en t par la relation suivante :

34

35Cet équilibre détermine le montant optimal d’information de type i utilisé par l’agent, soit I^*_it. L’équation (6) signifie que ce montant est choisi de manière à ce que le gain marginal dû à la décroissance de l’erreur de prévision (i.e. la décroissance marginale de la fonction de perte) égalise le prix unitaire de l’information. Lorsque le coût est nul, les prévisionnistes augmentent la quantité d’information utilisée jusqu’au point satisfaisant la condition – ?_id f / dI_it = 0 ?i, ce point correspondant à une erreur quadratique f minimale. À ce point, atteint son maximum, ce qui signifie que toute l’information « techniquement » pertinente est utilisée : c’est le cas de la rationalité muthienne. Par contre, lorsque le coût est positif, l’agent subirait une perte s’il utilisait toute l’information pertinente pour satisfaire la condition – ?_id f / dI_it = 0 ; lorsque c_it > 0, il va donc limiter son information au sous-ensemble « économiquement » pertinent satisfaisant la condition (6), point où l’augmentation de l’utilité due à la diminution de l’erreur quadratique de prévision s’égalise au coût attaché à l’utilisation d’une unité supplémentaire d’information. Puisque les coûts d’information sont une réalité, le prévisionniste sera donc incité à utiliser un modèle fondé sur une information limitée : dans ce contexte, il devient donc économiquement rationnel… de ne pas anticiper rationnellement ! On voit donc finalement que si l’équation d’Euler repose sur une analyse avantage-coût quant à l’opportunité de détenir des titres ou de consommer, les anticipations économiquement rationnelles reposent sur une analyse avantage-coût quant à l’opportunité d’utiliser ou non une information. Le fait que ces deux hypothèses se réfèrent à un même type de rationalité instrumentale confère donc un comportement homogène à l’agent.

36Dès lors se pose la question cruciale de savoir comment représenter les anticipations. À ce propos, il importe de remarquer que si l’approche CLM sus-visée implique des anticipations non rationnelles, ces dernières ont à long terme une même moyenne que les anticipations qui auraient prévalues si elles avaient été rationnelles ; en fait, les biais supposés par CLM se traduisent par des anticipations « effectives » plus lisses que ne le seraient des anticipations rationnelles (i.e. sous-évaluation de l’ampleur tant des hausses que des baisses futures). Or, en se basant sur les enquêtes de Livingston révélant l’opinion d’experts sur les valeurs futures de l’indice boursier S&P, Park [2006] a montré que les investisseurs ont effectivement tendance à être relativement pessimistes pendant les phases d’expansion économique et relativement optimistes pendant les phases de récession, confirmant ainsi les biais anticipatifs exhibés par CLM. Ces résultats incitent à retenir deux hypothèses dans ce travail pour représenter les anticipations. La première est celle d’anticipations rationnelles ; il s’agit d’explorer économétriquement cette hypothèse afin de comparer les estimateurs des paramètres de préférences avec ceux issus de l’approche par le calibrage, les résultats obtenus constituant en outre un benchmark pour toute approche économétrique. La seconde approche consiste à exploiter les anticipations révélées par les enquêtes de Livingston auprès d’experts, ces données permettant de s’affranchir d’une hypothèse a priori sur le processus anticipatif, tout en prenant en compte des biais anticipatifs analogues à ceux trouvés par CLM.

Pourquoi estimer économétriquement l’équation d’Euler ?

37Pour évaluer les paramètres de préférence, les contributions de la littérature calibrent l’équation d’Euler, l’objectif étant notamment de représenter les deux premiers moments de la rentabilité des actions. L’avantage de cette approche est de ne pas nécessiter la connaissance des anticipations de rentabilité et de consommation à chaque instant, mais seulement les distributions statistiques de ces dernières [23]. L’inconvénient est qu’elle ne s’intéresse pas à la question de savoir si l’équation d’Euler est vérifiée par date. En fait, lorsque les anticipations sont « connues » par date (soit par une hypothèse sur le processus anticipatif soit directement en exploitant des enquêtes d’opinion), il est facile de voir que l’approche par le calibrage induit deux limitations majeures qui ne sont plus justifiées. La première limitation tient au fait que même si les moments inconditionnels sont représentés, par l’équation d’Euler, les valeurs observées des cours (ou de la rentabilité espérée) et les valeurs calculées à chaque date à partir des préférences estimées par le calibrage des moments peuvent rester parfaitement indépendantes au cours du temps (i.e. sans corrélation) : puisqu’il ne dit rien sur la capacité du modèle à expliquer la chronologie boursière, le calibrage n’autorise pas vraiment une conclusion sur la validité du modèle. La seconde limitation tient au fait que les estimateurs issus du calibrage différeront nécessairement de ceux issus de l’ajustement économétrique. En effet, tout ajustement économétrique « propre » impliquant un résidu indépendant des variables exogènes, il en résulte que la variance des valeurs observées de l’endogène est plus grande que celle des valeurs estimées, la différence traduisant la variance des résidus. Par conséquent, lorsque le calibrage permet une représentation de la variance inconditionnelle de la variable d’intérêt, les paramètres ainsi estimés sont nécessairement biaisés du point de vue d’une représentation économétrique de la chronologie de cette variable. Pour cette raison, il reste a priori possible que les valeurs exagérées du coefficient d’aversion au risque obtenues avec la méthode du calibrage sous l’hypothèse AR résultent de la méthode retenue pour estimer ces paramètres et non du modèle lui-même, ce qui justifie la vérification économétrique de ce dernier [24].

Équation d’Euler et anticipations rationnelles

39Deux approches ont été suivies. La première repose sur le concept de « gain anticipé », la seconde, plus classique, sur celui de rentabilité espérée. Afin de pouvoir comparer les résultats avec ceux obtenus avec les anticipations révélées par les enquêtes semestrielles de Livingston, les données utilisées sont de fréquence semestrielle (1 = juin et 2 = décembre) et couvrent la période 1957.1-1989.2. Les séries statistiques utilisées sont les suivantes [25] :

• P_t : valeur réelle de l’indice boursier = indice Standard and Poor’s 400 des actions industrielles cotées sur le marché américain (moyenne des cours quotidiens de juin ou de décembre) divisé par l’indice cpi des prix à la consommation (juin ou décembre).
• D_t : Dividendes réels par action = dividendes distribués au cours de la dernière année par les sociétés composant l’indice P_t, mis en base semestrielle et divisés par l’indice cpi des prix à la consommation (juin ou décembre).
• C_t : Consommation réelle par tête = consommation globale rapportée au nombre d’habitants, divisée par l’indice cpi des prix à la consommation (flux des second ou quatrième trimestres, mis en base semestrielle [26]).

Approche par le « gain anticipé »

40D’après la relation (2), les achats et ventes d’actions résultent de la confrontation entre, d’une part, la désutilité associée à la détention d’une unité additionnelle de portefeuille, soit P_t/C^?_t (partie gauche de (2)), et, d’autre part, le « gain anticipé » actualisé E_t{G_{t + 1}}/(1 + r) associé à cette unité (partie droite de (2)). L’anticipation rationnelle du « gain » peut s’écrire :

41

42où ?_{t + 1} est un bruit blanc représentant l’erreur relative d’anticipation (i.e. pourcentage de G_{t + 1} restant imprévu). En reportant l’équation (7) dans la relation (2), et moyennant des approximations acceptables [28], on obtient la relation suivante :

43

44L’avantage de la relation (8) tient à sa simplicité d’application : pour l’estimer, il n’est nécessaire ni de connaître la chronique du gain anticipé rationnellement, ni de calculer une covariance conditionnelle [29]. La question est de savoir si les valeurs estimées du taux d’impatience r et du coefficient d’aversion au risque ? sont significatives et économiquement « raisonnables » et si l’erreur ?_t est un bruit blanc. L’estimation [30] a été réalisée avec la méthode de Newey-West qui permet des tests sur les estimateurs restant robustes à la fois à l’hétéroscédasticité et à l’autocorrélation des résidus. Les résultats obtenus sont les suivants :

Anticipations rationnelles – Estimation de la relation [8]

Anticipations rationnelles – Estimation de la relation [8]

1957.1 – 1989.2 (N = 66)

45Il est intéressant de constater que la valeur estimée du coefficient d’aversion est économiquement raisonnable et est significative au seuil de 5 %. Cette valeur est sensiblement plus petite par rapport aux valeurs issues de l’approche par le calibrage, ce qui confirme l’intérêt de ne pas se limiter à cette dernière pour déterminer les valeurs des paramètres de préférences. Cependant, la valeur estimée du taux d’impatience r n’est pas significativement différente de zéro, ce qui contredit l’hypothèse d’une préférence pour le présent. En outre, la qualité de l’ajustement reste limitée [31] et les résidus estimés ne sont pas des bruits blancs (la valeur du DW indique qu’ils sont significativement négativement autocorrélés).

46Trois extensions ont été réalisées, suggérant une certaine robustesse de ces résultats. Tout d’abord, une définition plus restrictive de la consommation (excluant les biens durables) a également été retenue. Ensuite, on a autorisé qu’une part des bénéfices non distribués puisse s’ajouter aux dividendes dans la définition du cash flow. Enfin, des ajustements ont également été effectués sur la période 1889-1984 (données annuelles). Ces extensions ont montré que : (i) les résultats sont peu sensibles à la définition de la consommation, (ii) les bénéfices non distribués ne sont pas significatifs [32], (iii) les estimateurs conservent sur la période séculaire un même ordre de grandeur [33] que sur la période 1957-1989 [34].

Approche par la rentabilité espérée

47La relation structurelle (3) peut être confrontée aux données de l’observation par la relation suivante qui présente l’avantage de faire intervenir le taux de variation de la consommation réelle par habitant ?_t, la valeur attendue du coefficient ? étant 1 [35] :

48

49où, et où u_t est l’erreur du modèle. Contrairement à l’approche par le gain anticipé, la difficulté est ici de déterminer les espérances et covariance conditionnelles à l’hypothèse d’anticipations rationnelles. La rentabilité réelle anticipée E_t{R_{t + 1}} et le taux de variation anticipé de la consommation réelle par habitant E_t{?_{t + 1}} ont été prédéterminés suivant des processus arma appliqués respectivement aux chroniques R_{t + 1} et ?_{t + 1}, une propriété de ces processus étant – conformément à l’hypothèse d’anticipations rationnelles – de générer des résidus qui sont des bruits blancs. Pour une valeur fixée de ?, la grandeur Cov_t{.} est également issue d’un arma appliqué sur la covariance future Cov_{t + 1} = – (1/C^?_{t + 1} – moyc) × (R_{t + 1} – moyr) où moyc et moyr représentent respectivement les moyennes [36] de 1/C^?_t et de R_t, tandis que la grandeur non stationnaire E_t{1/C^?_{t + 1}} est issue de l’estimation d’un arma appliqué sur la variation (1/C^?_{t + 1} – 1/C^?_t). On a trouvé un arma (3,2) pour toutes les grandeurs sus-visées, sauf pour la variable E_t{?_{t + 1}} qui est représentée par un arma (2,2). À chaque valeur fixée arbitrairement du paramètre c correspond donc une chronique de la composante exogène Cov_t{.}/E_t{1/C^?_{t + 1}}, les valeurs des paramètres r et ? étant ensuite déterminés par l’estimation de (9) d’après les moindres carrés non linéaires, en imposant la valeur préalablement fixée de ?. Un large balayage a été opéré sur les valeurs de ?, allant de 10 à – 2 par pas de 0.05. Les estimateurs retenus de ?, r et ? correspondent bien sûr aux valeurs qui minimisent la variance des résidus u_t. Les résultats obtenus ont fortement invalidé l’équation structurelle (9) : le coefficient d’aversion au risque est non significatif et prend une valeur négative , tandis que le coefficient ? est non significativement différent de zéro . Seul le taux d’impatience est significatif avec le signe attendu . Enfin, en dépit du fait que les résidus ne sont pas significativement autocorrélés (DW = 1.86), le coefficient n’est pas significativement différent de zéro [37].

50Au regard des résultats économétriques obtenus avec les deux approches, on peut donc conclure que l’équation Euler ne s’accorde guère avec l’hypothèse d’anticipations rationnelles, ce qui rejoint les conclusions issues des approches de la littérature fondées sur le calibrage de cette équation.

Équation d’Euler et anticipations révélées par les enquêtes de Livingston

51Depuis 1946, les enquêtes de Joseph A. Livingston révèlent l’opinion sur l’évolution future d’un certain nombre de variables macroéconomiques émanant de 50 à 70 économistes ou financiers professionnellement rattachés à des universités, à des banques commerciales ou d’investissement, à des sociétés non financières et à diverses administrations, tous étant considérés comme des « spécialistes » [38]. Notamment, ces enquêtes donnent en juin et en décembre de chaque année les valeurs anticipées à six mois [39] de l’indice du cours des actions industrielles cotées sur le marché américain (Standard and Poor’s 400 industrial index). Sur le même horizon, les enquêtes révèlent également la valeur anticipée du gnp nominal ; la principale composante de cet agrégat étant la consommation totale (environ 80 % en moyenne), les valeurs anticipées du gnp seront utilisées (avec d’autres variables) pour estimer les anticipations de consommation. Enfin, les enquêtes donnent les valeurs anticipées de l’indice des prix à la consommation (cpi), permettant ainsi de calculer les rentabilités réelles anticipées et le taux de croissance anticipé de la consommation réelle. Les questionnaires sont envoyés début mai et début novembre ; bien que les réponses sont attendues pour la mi-juin et la mi-décembre respectivement, les retours s’étalent en réalité jusqu’à la fin du mois ; nous tiendrons compte de cette imprécision concernant les datations des réponses par un terme correcteur intervenant dans le calcul de la rentabilité espérée. Concernant l’indice boursier, à partir de 1990, l’indice de référence n’est plus le S&P’s 400 industrial index mais le S&P’s 500 composite index ; pour cette raison, nous n’utiliserons pas les données postérieures à 1989. Les anticipations boursières apparaissant en 1952, cette enquête est la plus ancienne fournissant des données continues ; cependant, en raison du fait que les premières enquêtes ne comprenaient qu’un nombre restreint d’individus, et aussi pour laisser aux experts le temps de se familiariser avec l’enquête, la période d’analyse ne débutera qu’en 1956, soit à la neuvième enquête. Au total, les estimations s’effectueront donc sur la période 1956-1989 en données semestrielles et reposeront sur les consensus (moyennes arithmétiques des prévisions individuelles).

52Les opinions émises par les experts peuvent a priori inclure ou exclure tout type d’information. Pour les cours boursiers, on doit cependant souligner que les tests d’absence de biais ou d’orthogonalité effectués dans la littérature concluent au rejet de l’hypothèse d’anticipations rationnelles [40]. On ne suppose donc pas a priori que les anticipations sont biaisées de telle ou telle manière ; au contraire, ce phénomène étant constaté au travers des enquêtes, on suppose que les individus se comportent sur la base de l’opinion révélée dans leurs réponses. L’avantage de ces anticipations révélées est d’évacuer la nécessité d’une hypothèse ad hoc sur le processus anticipatif, permettant ainsi de se dégager de l’hypothèse jointe « équation d’Euler – processus anticipatif ». Cependant, la limitation des données d’enquêtes tient au fait que leur utilisation n’est rigoureuse que si le consensus des anticipations des experts fournit à chaque date un proxy acceptable des anticipations « effectives » [41].

53À partir des consensus des réponses concernant les anticipations de cours, de prix et de gnp il n’est pas possible d’évaluer la valeur du gain anticipé E_t{G_{t + 1}} [42]. Par contre, on peut calculer une valeur de la rentabilité réelle anticipée des actions et une valeur approchée du taux de variation anticipé de la consommation réelle par habitant. C’est pourquoi les tests empiriques ont été conduits suivant l’approche par la rentabilité espérée. Il convient donc en premier lieu de déduire du consensus la valeur de la rentabilité réelle anticipée à six mois du portefeuille d’actions industrielles. Cette rentabilité étant définie par la somme du taux de variation anticipé de l’indice réel du cours des actions et du rendement attendu en dividendes réels, l’expression suivante a été retenue :

54

55avec

56où, pour un mois donné, le cours réel P_t est obtenu en divisant le cours nominal par l’indice cpi des prix à la consommation observé le même mois, tandis que le cours réel anticipé E_t{P_{t + 1}} est donné par le rapport entre l’indice S&P anticipé et l’indice anticipé des prix à la consommation cpi révélé par les mêmes enquêtes (consensus). est la moyenne géométrique pondérée des cours réels P_t observés en mai et en juin (première enquête de l’année) ou en novembre et en décembre (seconde enquête de l’année) ; la considération de se justifie par le fait que les questionnaires sont envoyés aux experts dès les mois de mai et de novembre, de sorte qu’un nombre significatif d’individus expriment leurs opinions sur le prix futur non pas respectivement en juin et en décembre, mais dès mai et novembre, ce qui les conduit à utiliser comme cours « actuel » les indices observés durant le mois précédant l’enquête. Puisque P_t est déduit de la moyenne des cours quotidiens du mois t, la moyenne pondérée indique que la datation de l’indice du cours réel servant de base au calcul du taux de variation anticipé est en moyenne situé entre le 15 mai et le 15 juin pour l’enquête de juin et entre le 15 novembre et le 15 décembre pour l’enquête de décembre. Par exemple, une valeur de c = ½ signifierait une datation au début juin et début décembre du cours de base. Puisque aucun critère a priori ne permet de fixer la valeur de c, cette dernière a été estimée librement en même temps que les paramètres structurels de l’équation d’Euler. Quant à la constante de calage b, elle traduit une erreur systématique de mesure (échantillonnage, erreur sur l’indice de base , consensus mesuré par des moyennes arithmétiques et non géométriques… [43]). La valeur du biais () a été fixée a priori de manière à ce que la rentabilité anticipée et la rentabilité observée ex post aient la même moyenne sur l’ensemble de la période : il est en effet peu probable que, en moyenne sur l’ensemble de la période, les « vraies » anticipations des experts soient différentes des réalisations, et ceci même avec des anticipations qui ne sont pas rationnelles [44]. Enfin, les dividendes réels anticipés E_t{D_{t + 1}} ont été pré-estimés en deux étapes : estimation des dividendes nominaux anticipés suivant un processus extrapolatif, puis division de ces derniers par l’indice cpi anticipé [45]. Bien qu’arbitraire, cette estimation n’est guère gênante dans la mesure où la valeur du rapport est très peu sensible à l’hypothèse retenue pour déterminer car est l’élément dominant des fluctuations de ce rapport.

57L’expression théorique (3) de la rentabilité réelle espérée peut être estimée par la relation suivante [46] qui autorise une éventuelle structure autorégressive des résidus :

58

59avec

60et ,

61où ?_t est l’erreur du modèle. La rentabilité réelle espérée « observée » étant donnée par (10), il faut donc connaître le taux de variation attendu de la consommation réelle par habitant E_t{?_{t + 1}} et la grandeur Z_t(?, c) pour pouvoir estimer la relation (11).

62Concernant la variable E_t{?_{t + 1}}, rappelons que les enquêtes de Livingston comportent des questions sur les valeurs futures du gnp nominal dont la composante principale est la consommation totale. Pour obtenir une estimation du taux de croissance anticipé de la consommation incluant cette information, on commence par régresser le taux de variation observé de la consommation nominale totale sur les taux de variation actuel et passés du gnp ainsi que sur les valeurs passées d’autres variables. On déduit ensuite de ces résultats un proxy du taux de variation anticipé de la consommation nominale où l’élément dominant est le taux de variation anticipé du gnp. On calcule enfin le taux de variation anticipé de la consommation réelle par habitant E_t{?_{t + 1}} en soustrayant l’inflation anticipée [47].

63Concernant la variable Z_t(?, c), on suppose que la covariance relative aux valeurs futures de 1/C^? et R en t + 1 mais conditionnelle à t, se confond avec la covariance des anticipations faites sur ces deux variables en t pour t + 1, soit :

64

65où moyc et moyr représentent respectivement les moyennes de E_t{1/C^?_{t + 1}} et de E_t{R_{t + 1}|c} [48], et où E_t{R_{t + 1}|c} est donné par la relation (10). Cette hypothèse – qui ne traduit donc pas une anticipation rationnelle de la covariance – présente l’avantage de ne faire intervenir que des variables connues à l’instant t tout en respectant à la fois le caractère forwardien de la covariance. Cette hypothèse semble intuitive dans la mesure où elle revient à supposer, d’une part, la nullité de la covariance entre les erreurs de prévision associées aux anticipations des variables 1/C^?_{t + 1} et R_{t + 1}, et, d’autre part, la nullité des covariances entre l’erreur de prévision associée à une de ces deux variables et la valeur de l’autre variable : a priori, on ne voit pas de raison suggérant que ces grandeurs sont liées. Quant au diviseur de la covariance, il est donné par la relation E_t{1/C^?_{t + 1}} = 1/C^?_t (1 - ?E_t{?_{t + 1}}) où le taux de variation anticipé de la consommation réelle par tête E_t{?_{t + 1}} est pré-estimé comme indiqué ci-dessus. On a donc :

66

67En reportant dans la relation (11) la rentabilité réelle espérée E_t{R_{t + 1}|c} donnée par (10) et l’expression de Z_t(?, c) donnée par (12), (11) devient entièrement spécifiée avec cinq paramètres arbitraires pouvant être estimés par les moindres carrés non linéaires (mcnl) : c, ?, r, ? et ?. Il n’y a pas de problèmes liés à la présence de variables non stationnaires ; en effet, des tests de racine unité (Phillips-Perron) ont été effectués sur les grandeurs intervenant dans la relation (11) : la variable E_t{?_{t + 1}} est stationnaire au seuil de 5 %, alors que, pour les valeurs optimales estimées des paramètres ? et c, on a pu vérifier ex post que la variable E_t{R_{t + 1}|?} est stationnaire au seuil de 5 %, un seuil de 10 % étant toutefois requis pour . Par ailleurs, puisque la variable endogène intervient dans la définition de la variable exogène , l’estimation de (11) peut générer un biais dit d’« endogénéité » sur les paramètres, car cette particularité implique une dépendance théorique entre les résidus et les variables exogènes contredisant les principes de base de la méthode. Cependant, on a constaté ex post que les résidus issus des mcnl ne sont corrélés avec aucune des deux composantes exogènes (les corrélations valent – 0.0001 et 0.0000 respectivement), ce qui exclut en pratique l’existence d’un biais d’endogénéité. Ajoutons que la colinéarité entre les deux composantes exogènes (r = 0.33) est loin du seuil pouvant induire des estimateurs biaisés. Enfin, un processus ar (1) a été introduit sur les résidus car, contrairement aux résultats obtenus sous l’hypothèse d’anticipations rationnelles, une première estimation a montré une autocorrélation faible mais significative de ces derniers [49]. Les résultats obtenus sont les suivants [50] :

Anticipations révélées par les enquêtes de Livingston : Estimation de l’équation (11) sous les hypothèses (10) et (12)

Anticipations révélées par les enquêtes de Livingston : Estimation de l’équation (11) sous les hypothèses (10) et (12)

68Les estimateurs du taux d’impatience (? = 4,8% par an) et du coefficient d’aversion au risque sont significatifs et leurs valeurs paraissent économiquement acceptables, alors que la valeur estimée du coefficient ? est très proche de sa valeur théorique unitaire , montrant ainsi que la restriction impliquée par le modèle correspond aux données observées. La figure 1 donne sous la forme de trois ellipses les intervalles de confiance joints de ces trois paramètres structurels au seuil de 5 % (les points centraux correspondent aux estimateurs) : il est économiquement rassurant de constater que, conformément à ce qui était attendu, les valeurs statistiquement admissibles des coefficients r (alias c(1)) et ? (alias c(2)) sont toutes positives, tandis que les valeurs admissibles de ? (alias c(3)) sont bien distribuées autour de l’unité. Quant à la pondération c, sa valeur estimée est bien comprise entre ses bornes théoriques et conduit à attribuer un poids plus grand à l’indice boursier du mois précédent l’enquête (0.73) qu’à celui du mois de l’enquête (0.27) pour représenter l’indice de base auquel doit être rapporté l’indice anticipé dans le calcul de la rentabilité espérée. Les valeurs estimées de la rentabilité espérée (partie droite de (13), et exclus) représentent d’une manière acceptable les principaux mouvements des valeurs observées (fig. 2) ; bien que l’estimation soit globalement de qualité moyenne, on constate non seulement que 80 % des valeurs observées sont situées à l’intérieur de l’intervalle de confiance (seuil de 5 %), mais encore que les 20 % de valeurs situées à l’extérieur restent à proximité de la borne supérieure ou de la borne inférieure (fig. 3). Enfin, les tests effectués sur les résidus montrent que ces derniers ont des propriétés satisfaisantes : on peut admettre qu’ils sont indépendants de leur valeur précédente, qu’ils sont homoscédastiques et distribués normalement. Cependant, puisqu’une part de la corrélation exhibée sur la figure 2 peut être attribuée au fait que l’endogène intervient dans la définition de Z_t(?, c), il est opportun de regrouper, d’une part, toutes les variables faisant intervenir les anticipations boursières et, d’autre part, les variables ne dépendant que des variations anticipées de consommation. Dans ce but, la figure 4 montre qu’une corrélation significative subsiste entre, d’une part, la rentabilité réelle espérée des actions diminuée de la prime de risque estimée, soit , et, d’autre part, la valeur estimée du taux d’intérêt réel sans risque, soit  [51].

Figure 1

Intervalles de confiance joints pour les trois coefficients (seuil de 5 %) (équation (13))

Intervalles de confiance joints pour les trois coefficients (seuil de 5 %) (équation (13))

69On se pose finalement la question de savoir si les valeurs estimées du taux d’intérêt réel sans risque (échéance implicite de six mois) restent compatibles avec celles du taux d’intérêt observé k_t représenté par le rendement du papier commercial à six mois sur le marché monétaire américain. En principe, la compatibilité serait parfaite si la différence entre le taux nominal observé et le taux réel estimé était égale au taux d’inflation anticipé à six mois. Dans le but d’apprécier la validité de cette condition, la figure 5 donne les évolutions comparées de la différence et du taux d’inflation anticipé calculé d’après les enquêtes de Livingston, ce taux étant diminué d’une constante de calage égale à 0.031 : avec une même échelle, les deux grandeurs suivent la même évolution générale. La constante de calage étant choisie arbitrairement de manière à ce que les deux grandeurs de la figure 5 aient une même moyenne, il convient de s’interroger sur sa signification. En fait, l’introduction de cette constante ne traduit pas nécessairement une insuffisance intrinsèque du modèle. En effet, cette constante peut se justifier au plan théorique par le fait que le taux d’intérêt réel k^r_t impliqué dans l’équation d’Euler a en principe le statut d’un taux d’intérêt « pur », alors que le taux de marché k_t contient une « prime de négociabilité » car les titres à six mois sont négociables avant leur échéance ; puisque cette prime traduit un avantage, elle doit être soustraite du taux pur pour obtenir le taux de marché, conformément à ce qui a été opéré sur la figure 5 [52]. La constante peut aussi résulter d’erreurs de mesure sur les variables, et notamment d’un écart systématique entre l’inflation anticipée par les opérateurs sur le marché monétaire (contenue dans le taux k_t) et l’inflation anticipée par les experts de Livingston. Enfin, la valeur de la constante doit être relativisée par l’incertitude pesant sur les estimateurs intervenant dans le calcul du taux  : nous avons vérifié qu’en calculant ce dernier avec les valeurs r = 0.01 et ? = 1.4 qui restent économiquement acceptables tout en appartenant aux intervalles de confiance joints (voir fig. 1), l’écart systématique de 0.031 est divisé par plus de deux, ce qui accroît la crédibilité des hypothèses d’une prime de négociabilité et d’erreurs de mesure pour interpréter la valeur restante de 0.015. Il semble donc que l’on puisse admettre qu’à la fois l’évolution de la rentabilité espérée des actions et l’évolution du taux d’intérêt peuvent être approximées par l’équation d’Euler [53].

Figure 2

Valeurs observées et calculées de la rentabilité réelle espérée des actions industrielles

Valeurs observées et calculées de la rentabilité réelle espérée des actions industrielles

Figure 3

Valeurs observées de la rentabilité espérée et intervalle de confiance des valeurs théoriques (seuil de 5 %)

Valeurs observées de la rentabilité espérée et intervalle de confiance des valeurs théoriques (seuil de 5 %)

Figure 4

Rentabilité réelle espérée des actions diminuée de la prime de risque estimée et valeur estimée du taux d’intérêt sans risque 1957.2 à 1989.2

Rentabilité réelle espérée des actions diminuée de la prime de risque estimée et valeur estimée du taux d’intérêt sans risque 1957.2 à 1989.2

Figure 5

Écart entre le taux d’intérêt nominal et le taux d’intérêt réel estimé, et taux d’inflation anticipé (1957.2 à 1989.2)

Écart entre le taux d’intérêt nominal et le taux d’intérêt réel estimé, et taux d’inflation anticipé (1957.2 à 1989.2)