La méthode de Webster

13Le problème de la représentation proportionnelle est une question délicate et il a donné lieu à de nombreux débats quant à la règle à utiliser. Il existe deux grandes familles de méthodes de répartition : les méthodes des restes et les méthodes des diviseurs. Parmi les méthodes des restes se trouve celle de Hamilton (ou des plus forts restes), où l’on calcule pour chaque commune i une quote-part qui est la part de la population de la commune i parmi la population totale de l’intercommunalité multipliée par le nombre de sièges à pourvoir. Il n’y a pas de raison pour que ce nombre soit entier. On donne alors à chaque commune la partie entière de sa quote-part. Les sièges restants sont distribués un à un aux communes qui ont le plus grand écart entre leur quote-part et la partie entière de la quote-part. Par exemple, s’il reste un siège à pourvoir et si une commune i, une fois calculée sa quote-part obtient q_i = 3,89, son reste est égal à 0,89 : elle obtient le dernier siège si aucune autre commune a un reste supérieur à 0,89. La méthode de Webster ne fait pas partie de cette catégorie mais appartient aux méthodes des diviseurs. Nous avons alors besoin des notations suivantes.

14Notons p_i la population de la commune i, n le nombre de communes au sein de la structure intercommunale w_i (w_i ??), le nombre de sièges de la commune i et le nombre de sièges total. On a alors

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16Notons [x] l’entier le plus proche de x (dans le cas où on obtient x + 1/2 avec x entier, deux solutions sont possibles).

17En reprenant les notations de Balinski et Young [1982], soit f_i le nombre de sièges minimal que doit posséder la commune i (f_i = 1 dans le cas de l’intercommunalité) et soit c_i le nombre maximal de sièges que peut posséder la commune i ( dans notre cas si est pair). Le nombre de sièges pour chaque commune par la méthode de Webster se détermine ainsi :

18

19où med représente la médiane et x_W est un diviseur idéal choisi tel que . Toutes les méthodes des diviseurs ont recours à la notion de diviseur idéal (dans la méthode de Jefferson, la fraction 1/2 n’apparaît pas, ce qui revient à arrondir un nombre rationnel à sa partie entière alors que la méthode de Webster arrondit à l’entier le plus proche). Le diviseur idéal est un réel qui permet à la contrainte de se réaliser. La recherche de ce diviseur idéal est parfois laborieuse et l’utilisation de l’outil informatique s’avère indispensable (un exemple est proposé section 2.4).

20La méthode de Webster est ici choisie car il a été montré, entre autres par Balinski et Young [1982], qu’elle est supérieure aux autres méthodes (des restes et des diviseurs) d’un point de vue normatif. Le paradoxe de l’Alabama présenté dans l’introduction ne peut pas se produire quand on utilise la règle de Webster. De plus, contrairement à d’autres règles, la règle de Webster vérifie presque toujours la quote-part : cela signifie que les sièges attribués sont soit égaux à la partie entière de la quote-part, soit à la partie entière plus un. Autrement dit, si la quote-part d’une commune i est 3,89, alors w_i = 3 ou w_i = 4. La règle de Webster est la seule qui vérifie la propriété suivante : si une commune donne un siège à une autre commune, il n’est pas possible que les deux se rapprochent de leur quote-part. Enfin, il est démontré que la méthode de Webster ne favorise ni les petites communes, ni les grandes. Ces arguments plaident en faveur du choix de cette méthode dans le contexte de l’intercommunalité (pour une présentation simple de ces règles, voir par exemple Laslier [2004], ou Balinski [2002]).

Les indices de pouvoir

21Pour présenter les indices de pouvoir, il est nécessaire d’avoir recours à une classe particulière de jeux coopératifs, les jeux simples, introduits par Von-Neumann et Morgenstern [1944]. Soit N l’ensemble des communes d’une intercommunalité et W une collection de sous-ensembles de N. Un jeu simple est un couple (N, W) avec

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23L’interprétation de la définition ensembliste d’un jeu simple est que W est l’ensemble des coalitions gagnantes, c’est-à-dire l’ensemble des coalitions en mesure d’imposer leurs décisions.

24Dans un jeu simple, on peut associer à chaque coalition S une valeur, notée v(S), 0 ou 1. Si S est une coalition gagnante (S ? W), alors v(S) = 1 et si S est perdante (S ? W), v(S) = 0. Nous noterons S{i} la coalition S à laquelle on ôte la commune i.

25Parmi les jeux simples, les plus couramment utilisés sont les jeux à quota qui correspondent parfaitement aux structures intercommunales. Soit [q; w₁, …, w_n] un jeu à quota où q est un entier représentant le quota nécessaire pour qu’une coalition soit gagnante et les w_i représentent les nombres de représentants de chaque commune. Ce modèle implique une hypothèse importante : les représentants d’une même commune ont les mêmes préférences et on ne peut pas les différencier. Ceci nous permet d’associer une commune à un poids.

26D’un point de vue formel, on a . Le jeu principal que nous allons étudier est le jeu de majorité où si est pair et si est impair.

27L’indice de Shapley-Shubik [1954] tient compte du raisonnement suivant : prenons une commune afin de constituer une coalition et regardons si cette coalition est gagnante. Si ce n’est pas le cas, prenons une seconde commune et regardons maintenant si la coalition des deux est gagnante, puis une troisième et ainsi de suite. La commune rejoignant le groupe qui fait basculer celui-ci de la situation de coalition perdante à celle de coalition gagnante est la commune pivot. L’ordre d’apparition dans la coalition a bien entendu de l’importance, et en supposant que tous les ordres ont la même probabilité d’apparaître, tous les ordres doivent être étudiés. Le nombre de fois où une commune est pivot, divisé par le nombre d’ordres total correspond à l’indice de Shapley-Shubik. On peut alors dire que l’indice de Shapley-Shubik de la commune i est

28

29On obtient

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31avec s le nombre de communes dans S. Puisque v(S) = 0 ou v(S) = 1, [v(S) - v(S{i})] possède une valeur non nulle uniquement si i est pivot dans S.

32Dans le calcul de l’indice de Banzhaf [1965], il n’y a pas la notion d’ordre que l’on vient de rencontrer et il est de ce fait plus simple à déterminer. Il s’agit de repérer le nombre de fois où une commune est pivot parmi les 2ⁿ - 1 coalitions non vides possibles. On peut ensuite diviser ce nombre de deux manières différentes. Soit on divise par le nombre de coalitions contenant cette commune (soit 2ⁿ - 1 coalitions), soit on divise par le nombre total de pivots. Dans le premier cas, nous obtenons l’indice de Banzhaf non normalisé et dans le second nous obtenons l’indice de Banzhaf normalisé. C’est ce dernier qui retiendra toute notre intention puisqu’il nous permettra d’effectuer des comparaisons avec l’indice de Shapley-Shubik, lui-même normalisé par construction. L’indice de Banzhaf? [3] de la commune i est alors

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34On peut l’écrire de la manière suivante

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Fondements théoriques de l’utilisation des indices [4]

36Le pouvoir d’un joueur (une commune, un citoyen) peut être interprété comme la probabilité que celui-ci soit pivot a priori. L’indice de Banzhaf correspond alors à l’hypothèse probabiliste d’indépendance : chaque joueur vote a priori pour l’option A ou l’option B (par exemple approuver ou non un projet) indépendamment des choix des autres avec une probabilité de 1/2. De fait, cette hypothèse modélise des situations électorales dans lesquelles tous les joueurs sont indécis, et pour lesquelles la probabilité de résultats serrés est très élevée (cette probabilité est d’autant plus forte que le nombre de joueurs est élevé, par application du théorème central limite). L’indice de Shapley-Shubik correspond à une hypothèse d’homogénéité : au lieu de voter pour A ou B avec une probabilité de 1/2, les joueurs tirent la probabilité p_i de voter pour A dans une loi uniforme sur [0, 1]. Ainsi, un vote donné peut impliquer un résultat très clair, par exemple si p_i = 0.8, loin d’une répartition 50 % des joueurs en faveur de A contre 50 % en faveur de B. Mais en moyenne, aucune option n’est favorisée avec l’indice de Shapley-Shubik. Sur l’interprétation probabiliste des indices de pouvoir, on peut se référer à Straffin [1977] ou à Berg [1999]. Par la suite, nous examinerons l’adéquation entre population et pouvoir à l’aide des notions de distances. Avant de présenter celles-ci, nous nous devons d’insister sur un point théorique.

37Il faut distinguer dans l’étude le pouvoir d’un citoyen du pouvoir d’une commune. En effet, le pouvoir d’un citoyen est le produit de la probabilité qu’il soit pivot dans sa commune et de la probabilité que sa commune soit pivot dans l’intercommunalité. Selon que l’on applique une hypothèse probabiliste (donc un indice) sur les votes des citoyens ou des communes, la recherche d’une répartition juste du pouvoir prend un sens différent.

38Chercher la meilleure adéquation entre pouvoir et population est équivalent à vouloir que tous les individus, dans une même structure intercommunale, aient le même pouvoir. Autrement dit, chaque individu doit avoir la même probabilité d’être pivot (c’est-à-dire d’être pivot dans sa commune, celle-ci étant aussi pivot au sein de la structure intercommunale : le jeu ainsi décrit est un jeu à deux étages).

39Le tableau 1 synthétise les résultats théoriques sur le comportement des communes et la recommandation théorique quant à la façon d’attribuer les sièges en fonction de l’hypothèse retenue sur le vote des citoyens. Examinons les résultats de ce tableau ligne à ligne (B’ signifie Banzhaf non normalisé alors que B signifie Banzhaf normalisé).

Tableau 1

Une présentation synthétique des résultats théoriques

Hypothèse sur le vote des citoyens (et indice utilisé) Hypothèse sur le vote des communes (et indice utilisé) Recommandation théorique Indépendance (B’ h homogénéité (SS) Non modélisé Indépendance, (B’, B) Indépendance, (B’, B) Homogénéité (SS) Racine carrée Proportionnalité Inconnue

Une présentation synthétique des résultats théoriques

40Penrose [1946, 1952] précise le nombre de sièges à attribuer à chaque commune lorsque le comportement des citoyens est modélisé par l’hypothèse d’indépendance de Straffin. Dans chaque commune, il montre que le pouvoir d’un individu mesuré par l’indice de Banzhaf non normalisé est alors proportionnel à l’inverse de la racine carrée de la population de la commune. Chaque commune a alors une probabilité 1/2 de voter pour A ou B, et son comportement obéit aussi à l’hypothèse d’indépendance ; son pouvoir dans l’intercommunalité est mesuré par l’indice de Banzhaf. Dans cette intercommunalité, son pouvoir dépend alors du nombre de ses mandats, w_i, ainsi que du quota utilisé pour prendre des décisions. Penrose remarque que si le nombre de joueurs est grand, et que leurs poids sont répartis de manière aléatoire sans qu’aucun ne domine les autres, alors, en appliquant la loi des grands nombres, on peut affirmer que le pouvoir de Banzhaf d’un joueur est proportionnel au nombre de mandats qu’il détient [5]. Dès lors, le pouvoir des individus de communes différentes est égalisé pour une répartition des sièges proportionnellement à la racine carrée de la population. C’est la loi de la racine carrée de Penrose, qui reste valable même si le quota utilisé au niveau de l’intercommunalité est largement supérieur à 50 % [6].

41Bien que très souvent mise en avant dans la littérature, cette loi suppose l’indé­pendance au niveau des votes entre les habitants d’une même commune, ce qui implique au second niveau l’hypothèse d’indépendance entre les différentes communes de l’intercommunalité. Mais des travaux récents tendent à montrer que cette hypothèse n’est pas vérifiée empiriquement, lorsqu’on la confronte à des résultats électoraux sur grande période (voir Gelman, Katz et Tuerlinckx [2002] pour le cas des élections américaines – présidentielle, sénatoriales, gouverneurs – depuis les années 1950). Son intérêt pratique est donc limité.

42De fait, la loi de la proportionnalité peut se défendre (contre la loi de la racine carrée) si on admet que les individus votent selon l’hypothèse d’homogénéité au niveau local. Le pouvoir d’un individu dans une commune (mesuré par l’indice de Shapley-Shubik) est alors proportionnel à l’inverse de la population de la commune, et comme le comportement d’une commune est toujours gouverné par l’hypothèse d’indépendance, un nombre de sièges proportionnel à la population s’impose comme recommandation théorique.

43Ce dernier modèle (indépendance des votes entre les communes mais homogénéité des comportements dans les communes) est le plus à même de soutenir théoriquement l’application d’une règle de proportionnalité et donc une répartition des sièges selon la méthode de Webster. Comparer le pouvoir de Banzhaf d’une commune à laquelle on a attribué un nombre de sièges selon la méthode de Webster à la population de celle-ci est donc justifiée ; notre étude va vérifier la pertinence de cette approche (qui n’est qu’une règle asymptotique et peut être mise en défaut pour des cas particuliers) dans le cadre des structures intercommunales du Val-d’Oise. Nous tenterons ainsi de mettre en évidence l’intérêt de la méthode Webster en opposition aux arbitraires distributions existantes de sièges.

44Un dernier cas à traiter serait celui dans lequel il y aurait corrélation entre les votes des différentes communes. À notre connaissance, aucun modèle théorique du comportement des votants ne justifie cette hypothèse, bien que l’affirmation soit plausible : la sociologie électorale d’une commune est rarement déconnectée de celle de ces voisines. Une façon arbitraire d’aborder la question est de supposer que le vote des communes obéit à l’hypothèse d’homogénéité. Une adéquation correcte entre le pouvoir de Shapley-Shubik mesuré à partir d’une répartition des sièges selon Webster et la population permettra d’étendre (ou non) les conclusions obtenues avec l’indice de Banzhaf.

L’étude d’un exemple : le cas de 3 communes et 17 sièges

45Nous calculons ici la répartition de sièges obtenue à l’aide de la méthode de Webster puis les indices de Shapley-Shubik et Banzhaf à partir d’une intercommunalité fictive (présentée dans le tableau 2).

Tableau 2

Intercommunalité fictive avec 17 sièges

Communes membres Population Population (en %)1 10 000 27,03 2 12 000 32,43 3 15 000 40,54 Total 37 000 100,00

Intercommunalité fictive avec 17 sièges

46(i) Méthode de Webster : il faut trouver x_W tel que . Avec x_W = 2200 (voir l’annexe 1 pour un complément sur la détermination de ce diviseur idéal), cette condition est remplie et l’on obtient alors w₁ = 5, w₂ = 5 et w₃ = 7. Le jeu simple de majorité associé à cette structure intercommunale est alors [9; 5; 5; 7].

47(ii) Indice de Shapley-Shubik : considérons tous les ordres et soulignons les pivots : 123, 132, 213, 231, 312, 321. L’indice de Shapley-Shubik est alors le même pour les trois communes, c’est-à-dire 1/3.

48(iii) Indice de Banzhaf : considérons les sept coalitions (2ⁿ - 1) et soulignons les pivots : {1}, {2}, {3}, {1 2}, {1 3}, {2 3}, {123}. L’indice de Banzhaf est donc le même pour les trois communes, 1/3, et nous avons un cas particulier où les deux indices correspondent. L’aspect intéressant ici est que, malgré une population 1,5 fois plus grande, la commune 3 n’a pas un pouvoir supérieur à la commune 1.

49La détermination de la répartition selon la méthode de Webster et le calcul des indices de pouvoir peuvent s’avérer extrêmement laborieux lorsque le nombre de communes augmente : l’automatisation est alors indispensable [7].

Les distances

51Dans cette section, nous présentons la répartition des sièges observée dans chaque intercommunalité ainsi que celle donnée par la méthode Webster. Nous déterminons ensuite les indices de pouvoir dans chacun des cas. Enfin, un écart entre le pourcentage de population d’une commune et les indices de pouvoir est calculé. Deux types d’écarts sont utilisés : l’écart en valeur absolue et l’écart au carré.

52Les écarts en tant que tels, s’ils sont informatifs au niveau d’une commune, ne le sont pas forcément au niveau de l’intercommunalité. Pour cela, une distance sera calculée entre le pourcentage de la population et les indices de pouvoir. Notons d₁(x, y) la somme des écarts en valeur absolue entre deux vecteurs (dans notre cas, un indice de pouvoir et la population), ce qui s’écrit

53

54Notons d₂(x, y) la racine carrée de la somme des écarts au carré entre deux vecteurs, ce qui s’écrit

55

56Les notations suivantes sont employées : pour les vecteurs on note O la répartition observée, W la répartition selon la méthode de Webster et pop la population en pourcentage. En exposant, B ou SS feront référence à l’indice de pouvoir utilisé (B pour Banzhaf et SS pour Shapley-Shubik). Par exemple, d^B₁(pop, W) correspond à la somme des écarts en valeur absolue entre l’indice de Banzhaf obtenu avec la répartition provenant de la méthode de Webster et la population en pourcentage. Pour simplifier les notations, puisque nous comparons toujours le pouvoir sur O ou W à la population, seul le vecteur susceptible de varier dans le calcul de distance sera mentionné. Dans notre exemple, la distance s’écrit alors d^B₁(W).

57Rappelons que nous avons retenu les distances les plus utilisées dans la littérature (par exemple, voir Leech [2002]). Le tableau 3 synthétise les distances (calculées sur les vecteurs exprimés en pourcentage) obtenues pour chaque intercommunalité. Pour des raisons pratiques, le nom des intercommunalités est parfois raccourci dans les différents tableaux (cf. l’annexe 3 pour l’écriture complète).

Tableau 3

Synthèse des distances entre population et indices de pouvoir

d B 1 (O) d B 2 (O) d SS 1 (O) d SS 2 (O) d B 1 (W) d B 2 (W) d SS 1 (W) d SS 2 (W) Vallée du Sausseron 57,7 23,3 57,7 23,3 14,8 5,4 13,6 4,9 Vallée de l’Oise 25,3 10,3 25,3 10,0 31,3 16,0 25,9 13,8 Vallée de Montmorency 50,7 19,9 50,7 19,9 10,8 5,0 12,0 5,4 Val de France 30,3 16,8 30,3 16,8 30,3 16,8 30,3 16,8 Cergy-Pontoise 32,7 15,3 32,1 15,1 20,6 8,9 17,0 6,9 Val et forêt 67,4 28,7 67,4 28,7 20,6 10,3 22,6 0,8 Plateau du Vexin 47,9 20,8 47,9 20,8 16,9 7,8 17,1 7,7 Carnelle Pays de France 37,4 14,1 37,4 14,1 13,3 5,0 14,4 5,4 Haut Val-d’Oise 35,7 16,2 32,5 14,9 23,3 12,1 20,0 10,9 Vallée de l’Oise 38,1 18,3 38,1 18, 20,3 11,1 23,9 11,8 Roissy Porte de France 73,0 25,3 73,0 25,3 14,5 4,7 15,7 4,9 Pays de France 89,5 36,1 88,1 35,6 52,6 25,2 44,4 20,9 3 Vallées du Vexin 51,1 16,2 51,1 16,2 19,0 6,2 19,2 6,3 Ouest de la plaine de France 66,4 30,3 66,4 30,3 22,1 9,7 23,6 10,8 Val-de-Viosne 41,8 15,1 40,9 14,8 16,8 5,4 16,7 5,4

Synthèse des distances entre population et indices de pouvoir

58On observe trois situations différentes lorsqu’on compare répartition des sièges théorique et observée :

• la communauté d’agglomération du Val de France est un cas où la répartition théorique est égale à la répartition observée ;
• l’intercommunalité de la Vallée de l’Oise et des 3 Forêts est le seul cas où la méthode de Webster fixe une répartition des sièges nous éloignant de la population du point de vue du pouvoir ;
• mis à part pour les deux cas précédents, la méthode de Webster permet toujours une meilleure adéquation entre population et pouvoir.

Le cas de la communauté d’agglomération du Val de France

59Dans le tableau 4, l’abréviation « Pop. » représente la population, B(O) l’indice de Banzhaf sur la répartition observée, B(W) l’indice de Banzhaf sur la répartition théorique obtenue avec la méthode de Webster, SS(O) l’indice de Shapley-Shubik sur la répartition observée et SS(W) l’indice de Shapley-Shubik sur la répartition théorique. Le nom des communes est parfois raccourci (cf. l’annexe 3 pour l’écriture complète).

Tableau 4

Écarts dans la communauté d’agglomération du Val de France

Communes Pop. Sièges Pop. Sièges (%) Indices de pouvoir (%) Obs. Th. (%) Obs. Th. B(O) B(W) SS(O) SS(W) Arnouville 12 403 5 4 9,04 12,50 10,00 16,67 16,67 16,67 16,67 Garges 40 213 11 11 29,31 27,50 27,50 16,67 16,67 16,67 16,67 Sarcelles 58 241 16 17 42,45 40,00 42,50 50,00 50,00 50,00 50,00 Villiers 26 330 8 8 19, 19 20,00 20,00 16,67 16,67 16,67 16,67 Total 137 187 40 40 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

Écarts dans la communauté d’agglomération du Val de France

60La répartition observée des sièges est différente de celle donnée par la méthode de Webster. La répartition obtenue par la méthode de Webster fera office de répartition de référence. De ce point de vue, Arnouville-lès-Gonnesse a un représentant en trop et devrait le laisser à Sarcelles. Cependant, cela n’a aucune incidence en terme de pouvoir qui est le même avec la répartition théorique et celle observée. Ceci est un cas particulier lié à la construction même des indices de pouvoir. À partir du moment où la commune ayant le plus grand nombre de représentants en possède moins que le quota, et, qu’associée à la commune ayant le plus petit nombre de représentants elles atteignent le quota, la seule distribution de pouvoir possible est 50 % pour la plus représentée et 16,67 % pour les autres (dans le cas de quatre communes).

61Dans ce cas, pour Banzhaf? [8], considérons le jeu simple [q; w₁, w₂, w₃, w₄] avec les w_i classés dans l’ordre décroissant. Si w₁ + w₄ ? q alors w₂ + w₃ < q. De plus, comme w₁ ? q, les coalitions gagnantes sont donc {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3,4}, {1, 2}, {1, 3}, et {1, 4}. Le joueur 1 est pivot dans toutes les coalitions auxquelles il appartient sauf dans la grande coalition {1, 2, 3, 4}. Les joueurs 2, 3 et 4 sont uniquement pivots dans les coalitions à deux joueurs et dans la coalition {2, 3, 4}. Il y a alors 12 pivots au total, 6 pour le joueur 1 et 2 pour les 3 autres joueurs.

62Pour Shapley-Shubik, il suffit de considérer les 24 ordres possibles et de remarquer que le joueur 1 est toujours pivot lorsqu’il arrive en deuxième ou troisième position dans la coalition. Son indice est donc 12/24. Quand le joueur 1 est en premier dans la coalition, comme le second est toujours pivot, chaque joueur autre que le premier est pivot 2 fois sur 6. Quand le joueur 1 arrive en dernier dans la coalition, c’est toujours le joueur arrivant en troisième qui est pivot, la distribution des pivots est alors symétrique ; chaque joueur autre que le premier est à nouveau pivot 2 fois sur 6. Au total, les joueurs 2, 3 et 4 sont pivots 4 fois sur 24. On retombe sur la distribution de pouvoir de l’indice de Banzhaf.

63La commune d’Arnouville-lès-Gonesse, bénéficie d’un siège de plus que ce qu’elle aurait dû avoir avec la règle de Webster, mais son gain en terme de pouvoir est nul, du moins dans le cas du jeu majoritaire. En effet, si le quota passe de 21 à 24, le siège en plus pour Arnouville-lès-Gonnesse change sensiblement la répartition de pouvoir car sans celui-ci, son pouvoir devient nul (on parle généralement de dummy player). Par contre, si on admet la règle où on se situe à nouveau dans le cas particulier du jeu majoritaire où la perte d’un siège pour Sarcelles ne modifie pas le pouvoir des communes.

Le cas de la communauté de communes de la Vallée de l’Oise et des 3 Forêts

64L’analyse des distances s’avère ici pertinente. En effet, nous sommes en présence du seul cas du Val-d’Oise où la méthode de Webster fixe une répartition des sièges nous éloignant de la population du point de vue du pouvoir. En effet, nous obtenons d’après le tableau 3 :

Tableau 5

Écarts de la communauté de communes de la Vallée de l’Oise et des 3 Forêts

Communes Pop. Sièges Pop. Sièges (%) Indices de pouvoir (%) Obs. Th. (%) Obs. Th. B(O) B(W) SS(O) SS(W) Bethemont 459 2 1 1,77 7,14 3,57 6,19 3,16 6,19 2,62 Champagne 3 916 4 4 15,13 14,29 14,29 13,27 11,58 12,86 12,62 Chauvry 286 2 1 1,11 7,14 3,57 6,19 3,16 6,19 2,62 l’Isle-Adam 11 307 9 12 43,69 32,14 42,86 39,82 55,79 39,52 54,29 Parmain 5 345 5 5 20,65 17,86 17,86 15,04 11,58 16, 9 12,62 Presles 3 780 4 4 14,61 14,29 14,29 13,27 11,58 12,86 12,62 Villiers-Adam 786 2 1 3,04 7,14 3,57 6,19 3,16 6,19 2,62 Total 25 879 28 28 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

Écarts de la communauté de communes de la Vallée de l’Oise et des 3 Forêts

65On peut alors énoncer le résultat théorique suivant : l’utilisation de la méthode de Webster ne rapproche pas nécessairement les indices de pouvoir de la population.

Le cas des autres intercommunalités

66Mis à part pour les deux cas précédents, la méthode de Webster permet toujours un rapprochement entre population et pouvoir. Cette méthode possède de bonnes propriétés d’un point de vue normatif, elle permet de plus ce rapprochement dans de nombreux cas. Bien sûr, ce rapprochement sera plus ou moins important et il pourra largement varier d’une intercommunalité à une autre, cela dépendant de la volonté ou non de la part des décideurs de répartir les sièges en fonction de la population. Par exemple, le rapprochement dans la communauté de communes de Roissy Portes de France est plus spectaculaire que celui de la communauté de communes du Val de Viosne où la règle de répartition des sièges dépend de la population : une commune avec moins de 401 habitants a un siège, une commune possédant entre 401 et 1 000 habitants en a deux, une autre possédant entre 1 001 et 2 000 habitants en a trois et enfin une dernière possédant au moins 2 001 habitants en a quatre.

67Notons qu’aucune intercommunalité ne présente la même répartition de sièges que celle préconisée par la méthode de Webster.

68Le tableau 3 sur les distances est instructif mais des précisions doivent être apportées. En particulier, il faut remarquer que, quand une distance diminue, cela ne signifie pas que le pouvoir de chaque commune se rapproche de sa population. Par exemple, une analyse approfondie dans la communauté de communes de la Vallée de l’Oise et des impressionnistes montrerait que l’écart entre pouvoir (mesuré par l’indice de Banzhaf) et population augmente pour la commune d’Auvers-sur-Oise alors qu’il diminue pour la commune de Mériel.

69Il n’est pas surprenant que la distance ne soit jamais nulle, ceci étant dû à plusieurs éléments. Tout d’abord, certaines communes bénéficient du siège minimal imposé par la loi et de ce fait le rapprochement entre pouvoir et population semble difficile. De plus, le fait que le nombre de sièges par commune ne soit pas divisible ne favorise pas l’adéquation entre pouvoir et population ; on pourrait en effet rencontrer des situations où, avec x sièges, une commune n’a pas assez de pouvoir et avec, x + 1 siège, elle en a finalement trop. Enfin, le nombre de communes est en général réduit dans les intercommunalités, et on sait que les indices de pouvoir ne peuvent pas prendre toutes les valeurs entre 0 et 1, le nombre de valeurs possibles étant croissant avec le nombre de communes (le détail est indiqué pour le cas à quatre communes supra, p. 411). Malgré tout, si le nombre de communes est important (par exemple 15), il reste des valeurs non admissibles pour les indices de pouvoir et de ce fait, des différences entre pouvoir et population sont compréhensibles.