a – Calcul de la première composante principale

16 On considère un groupe X de J variables numériques observées x¹, …, x^J mesurant les différents aspects d’un même thème. On suppose d’abord que toutes les variables x^J du groupe sont issues, à une perturbation e^j près, d’une même variable latente F qu’il s’agit d’identifier (figure 2).

Figure 2

Schéma conceptuel de l’ACP

Schéma conceptuel de l’ACP

17 La minimisation des carrés des résidus e^j conduit à calculer un facteur F appelé première composante principale de X. Cette méthode a ensuite été étendue au cas plus général où le groupe X est pondéré par une métrique M (matrice carrée symétrique positive de dimension J) comme indiqué dans l’encadré 1.

Encadré 1. Estimation de la première composante principale

Soit u un vecteur de taille J qui soit M-normé, c’est-à-dire vérifiant u?Mu = 1. Soit alors le programme de maximisation suivant:

On montre classiquement que la solution XMu de ce programme est précisément la première composante principale F.
Le choix d’une métrique M idoine permet de traiter des variables qualitatives.
Soit X un groupe de R variables qualitatives. On code chaque variable par le groupe des indicatrices de ses modalités. On notera ainsi X_r la r-ième variable et le groupe d’indicatrices correspondant. Le groupe X est formé de la juxtaposition de ces groupes d’indicatrices : X = (X ₁, …, X_R ). Il est ensuite traité à l’aide de la métrique . L’ACP utilisant cette métrique donne alors l’analyse des correspondances multiples (Lebart et al., 1995; Bry, 1994).

b – Interprétation des facteurs

20 Les facteurs estimant les variables latentes sont interprétables à partir de leurs corrélations avec les variables observées. Il est commode de procéder à la représentation graphique des variables observées dans la base factorielle, chaque variable x^j ayant pour coordonnée sur l’axe dirigé par F _? la corrélation r(x^j ,F _?) qu’elle a avec ce facteur (cf. figure 3).

Figure 3

Représentation factorielle des variables du groupe X

Représentation factorielle des variables du groupe X

21 On cherchera les variables les plus corrélées (positivement ou négativement) avec chaque facteur pour lui donner un sens. Le plan que forment deux facteurs est parfois plus facilement interprétable que les facteurs ne le sont isolément [6]. Il est important d’examiner, pour chaque plan factoriel, l’ensemble des variables qui y sont bien représentées. On trouvera le détail des règles d’interprétation d’une ACP dans Lebart et al. (1995) et Bry (1994).

22 Le modèle conceptuel de l’ACP, trop sommaire, ne permet pas de traduire les causalités impliquant des variables latentes.

a – Modèle et estimation

23 Reprenons le modèle de l’ACP, en rendant la variable latente F explicative d’une variable observée y (figure 4). Le groupe X est pondéré par la métrique M.

Figure 4

Schéma conceptuel de la régression PLS

Schéma conceptuel de la régression PLS

24 F est estimée en résolvant un programme de maximisation qui intègre la liaison entre F et X et celle entre F et y (voir encadré 2).

Encadré 2. Estimation de F dans une régression PLS

Soit u un vecteur M-normé. On pose F = XMu et on résout le programme suivant :

Le critère maximisé est mixte. En effet, .
Or, la maximisation isolée de conduit, on l’a vu, à l’ACP de X, tandis que celle du cosinus de Xmu et y conduit à la régression de y sur X.

25 Ce nouveau programme conduit ainsi à un compromis entre ACP de X (ajustement de la variable latente au groupe X) et régression de y sur X (estimation de y à partir de la variable latente) (Tenenhaus, 1998 ; Bry, 2001b). Ces liaisons entre F et X, d’une part, et entre F et y, d’autre part, sont représentées sur la figure 5.

Figure 5

Le programme initial de PLS

Le programme initial de PLS

26 La résolution du programme de maximisation Q fournit un facteur F proportionnel à XMX’y. On notera R_X,M y cette dernière quantité, que l’on a baptisée résultante de y sur le groupe X pondéré par M.

27

28 Ses propriétés sont étudiées dans Bry (2001b et 2004). La propriété essentielle est que lorsqu’on l’applique à une variable z quelconque, l’opérateur de résultante R_X,M = XMX’ rapproche z des structures les plus fortes de X (matérialisées par ses premières composantes principales).

29 Il est important de noter que y désignant la projection orthogonale (régression usuelle) de y sur X, on a: R_X,My = R_X,My. Par conséquent, de façon heuristique, on peut concevoir le calcul du premier facteur de PLS comme la succession des deux opérations suivantes : 1) régression de y sur X (optimisation de l’estimation) ; 2) calcul de résultante rapprochant la partie prédite y des structures fortes de X.

30 La résolution du programme Q fournit un seul facteur. Si l’on désire structurer X autour de plusieurs facteurs, on relance le programme sous contrainte d’orthogonalité entre les nouveaux facteurs cherchés et les facteurs précédemment trouvés.

31 Lorsque X est composé de variables quantitatives, elles seront centrées et réduites et l’on utilisera la métrique M = I. Lorsqu’il est composé de variables qualitatives, celles-ci seront codées par les indicatrices de leurs modalités, et l’on utilisera la métrique de l’ACM (cf. section 1, p. 913). Il est parfaitement possible de traiter un groupe mixte (contenant à la fois des variables quantitatives et qualitatives) à l’aide d’une métrique M bloc-diagonale, dont l’élément diagonal m_jj correspondant à une variable quantitative x^j est égal à 1, et le bloc diagonal correspondant à une variable qualitative X_r est égal à (X_r ’X_r )^-1. Le choix des métriques est discuté dans Cazes (1997), Tenenhaus (1999) et Bry (2001b).

b – Interprétation des résultats

32 Les facteurs de X s’interprètent de la même façon que dans le cas d’une ACP (on procède à la même représentation des variables de X en base factorielle). Visualiser les corrélations entre variables observées donne une indication essentielle sur le degré de réalisme du raisonnement « toutes choses égales par ailleurs » lors de l’interprétation du modèle estimé. Cette visualisation est également essentielle pour sélectionner les dimensions explicatives qui seront finalement conservées : elle en permet le tri et l’interprétation en termes de liaison avec les variables observées.

33 Par ailleurs, comme les facteurs estiment des variables latentes explicatives de y, ils peuvent être considérés comme un intermédiaire de calcul pour l’élaboration d’une formule d’estimation de y à partir des variables observées x^j . Chaque facteur s’écrit comme une combinaison linéaire des variables de son groupe, et il est donc tentant d’interpréter le coefficient d’une variable dans cette combinaison comme mesurant le rôle que cette variable joue dans la formation du facteur. Ultérieurement, en régressant y sur les facteurs, on recherchera la part de chaque facteur dans la formation de y. En combinant les deux, il est aisé de reconstruire une formule prédisant y à partir des x^j .

34 L’interprétation des facteurs à partir des coefficients des variables qui entrent dans leur formulation, pourtant fréquente, n’est pas sans poser quelques problèmes lorsque les variables présentent certaines multicolinéarités, ou en sont proches : les coefficients sont alors instables, l’effet de certaines variables pouvant se reporter sur d’autres. Bien que le mode de calcul des facteurs de PLS limite la confusion d’effets (De Jong, 1995), l’interprétation à partir des corrélations variables-facteurs nous paraît préférable à celle fondée sur les coefficients.

35 Les observations peuvent être représentées sur les plans factoriels. Ceci permet notamment le dépistage des observations atypiques et des groupements d’observations. Visualiser la distribution du nuage des observations permet de savoir si tel effet est bien une tendance globale aux données ou s’il est simplement produit par quelques observations atypiques, ce qui en modifie toute l’interprétation.

36 La variable dépendante est régressée sur les facteurs ; leur décorrélation permet la décomposition additive de la variance de y et l’élimination des facteurs les moins importants.

c – Intérêt et limites du modèle

37 L’intérêt des facteurs fournis par la régression PLS, par rapport à ceux de l’ACP, est que, tout en se rapprochant des structures fortes de X, ils sont bien plus efficaces a priori pour estimer y. L’avantage de la régression PLS par rapport à la régression classique (Ordinary Least Square, OLS) est que, s’appuyant sur des structures fortes de X plutôt que sur la totalité de ses dimensions, elle élimine du modèle sa partie la plus fragile. L’estimation en est rendue plus robuste, et le modèle plus facile à interpréter. Il en résulte une légère baisse de la qualité de l’ajustement que l’on peut s’efforcer de rendre aussi petite que possible en prenant davantage de facteurs dans le modèle. Néanmoins, dans la mesure où une part de l’ajustement n’est due qu’à du bruit, l’amélioration obtenue est trompeuse, et mieux vaut éliminer les dimensions correspondantes. Sur le plan pratique, la régression PLS facilite grandement l’analyse des déterminants de y en présentant une hiérarchie de facteurs non redondants permettant la visualisation des structures de corrélation du groupe explicatif X.

38 La régression PLS possède donc des avantages importants par rapport à son homologue OLS. Toutefois, dès que le modèle conceptuel contient plusieurs thèmes explicatifs, elle ne lui correspond plus bien. Si l’on décide, pour l’utiliser, de prendre en compte tous les thèmes explicatifs, la régression PLS fournira des facteurs hybrides, d’autant plus délicats à interpréter qu’ils mélangent des variables conceptuellement hétérogènes.

a – Présentation

39 On considère ici qu’un phénomène décrit par une variable observée y a pour déterminants R groupes explicatifs X ₁, …, X_r , … X_R correspondant à autant de thèmes (figure 6). L’ensemble des variables des groupes X ₁, …, X_R est noté X. Chaque groupe X_r est pondéré par une métrique M_r . Pour simplifier, on considère d’abord que chaque groupe X_r est structuré autour d’une unique variable latente F_r .

Figure 6

Schéma conceptuel de l’ACT1 : modélisation multithème d’une variable y

Schéma conceptuel de l’ACT1 : modélisation multithème d’une variable y

40 Lorsque nous cherchons un facteur F_r qui représente le groupe X_r dans ce qu’il a de lié à y, nous devons tenir compte de l’existence d’autres facteurs explicatifs de y. Avant d’appliquer un programme du type de Q entre y et X_r , il s’agit d’éliminer l’influence des autres facteurs courants. C’est ce que fait l’analyse en composantes thématiques. La construction générale de l’ACT et ses propriétés sont exposées dans Bry (2003). Dans le cas le plus général, on a un groupe Y de variables y^k à expliquer. Lorsque le groupe à expliquer ne contient, comme ici, qu’une variable observée y, la méthode est notée ACT1, et son algorithme est plus simple.

b – L’algorithme d’ACT1

• Étape 1 (calcul des facteurs de rang 1) Itération 0 (initialisation) :

41 On prend pour valeur initiale de chaque facteur F_r la résultante de y sur X_r , telle qu’elle a été définie dans la section 1, p. 913.

42 Itération k, k>0 (illustrée figure 7) :

Figure 7

Étape 1 de l’ACT1 : calcul du facteur F_r(k) lors de l’itération courante k

Étape 1 de l’ACT1 : calcul du facteur F_r(k) lors de l’itération courante k

43 Pour r allant de 1 à R, on note F_-r (k–1) l’ensemble des facteurs obtenus à l’étape k–1 qui n’inclut pas F_r , et l’on procède comme suit pour calculer F_r (k) :

• on régresse y sur {X_r ,F_-r (k–1)}. On note ?_r la composante calculée à partir de X_r de l’estimation ?

Cette composante est la projection de ? sur <X_r parallèlement à <F_-r (k–1)>. Elle fournit la meilleure estimation possible de y à partir du groupe X_r et des facteurs obtenus dans les autres groupes.

• on pose : F_r (k) = X_rM_r X_r ??_r normé. Ce calcul de résultante rapproche ?_r des structures fortes de X_r .

Fin: On s’arrête lorsque les résultats sont jugés suffisamment stables.

c – Interprétation des résultats

45 On représente chaque groupe thématique X_r dans sa base factorielle, comme dans le cas de la méthode PLS. L’interprétation des facteurs se fait suivant les mêmes règles.

46 On pourra également procéder à la représentation du nuage des observations dans les plans thématiques et l’utiliser de la même façon que dans la régression PLS.

47 La variable dépendante y est régressée sur les facteurs retenus, ce qui permet de savoir lesquels jouent un rôle dans son estimation. Après élimination des facteurs les moins importants, on procède une dernière fois à la régression pour estimer le modèle latent.

d – Les avantages de la méthode

48 Cette généralisation de la régression PLS respecte le découpage thématique opéré par le modèle conceptuel multithèmes. Elle permet l’exploration de chaque thème dans le cadre du modèle conceptuel arrêté au départ, en commençant par les dimensions les plus utiles à la prévision de y.

49 Il est important de comprendre que, tout comme le choix des variables explicatives dans une régression classique conditionne complètement l’interprétation des effets (et naturellement leur estimation), le choix d’un découpage thématique conditionne fortement les résultats de l’ACT. Rien de plus normal, puisque changer le modèle conceptuel, c’est changer le point de vue sur les données. Cette sensibilité au modèle initial est-elle une faiblesse ? Selon nous, c’est exactement le contraire. On ne saurait oublier que toute méthode statistique est fondée sur un modèle conceptuel (la sélection des variables l’est elle-même). Lorsque ce modèle n’apparaît pas clairement, il n’en est pas moins implicite, et son invisibilité fait courir un risque accru de biais dans les conclusions [7]. L’ACT oblige l’analyste à préciser son modèle dès le départ et, partant, à l’argumenter. Le découpage thématique, rarement univoque, lui impose d’en appeler ouvertement à une théorie qui, en retour, est seule à pouvoir lui donner des clefs d’interprétation. Il nous semble ainsi que l’ACT a une fonction de rationalisation des pratiques sur le plan épistémologique.

50 En donnant la possibilité de visualiser chacun des thèmes sur des facteurs hiérarchisés, l’ACT facilite la sélection des variables prédictives utiles. En cela, l’ACT s’oppose radicalement aux méthodes de sélection automatiques. En effet, ces dernières : 1) n’opèrent aucune distinction conceptuelle entre les prédicteurs ; 2) opèrent de fait une sélection au sein de variables très redondantes, pouvant évincer, pour quelques décimales du critère d’ajustement, la variable la plus pertinente au profit d’une autre qui l’est beaucoup moins ; 3) se substituent à l’analyste dans son rôle de décideur. L’ACT, en respectant le modèle conceptuel, en réduisant la dimension du problème sans évincer aucune variable des représentations graphiques, remet l’analyste au centre de la décision.

51 Malheureusement, l’ACT présentée ci-dessus n’est pas directement utilisable sur les données complexes telles que les données biographiques, caractérisées par des variations temporelles et des interruptions d’observation. Nous allons donc devoir introduire une étape intermédiaire.

a – Approche empirique

54 Les étapes sont les suivantes :

1. On estime la variable latente W par maximisation de la vraisemblance du modèle expliquant y en fonction de X.
2. On estime ensuite les F_r en utilisant W comme variable dépendante dans l’ACT1.
3. On détermine le nombre p de facteurs explicatifs utiles. Ceci peut être fait en examinant la part de variance de W expliquée par les facteurs retenus.
4. On interprète les facteurs.

• on utilise, pour la maximisation de vraisemblance de l’étape 1, toutes les variables prédictives disponibles. Ce faisant, on exploite au mieux le potentiel de prédiction de ces variables : l’espace qu’elles engendrent est utilisé dans son intégralité, et toutes ses dimensions sont mises à contribution avec une égale importance a priori, qu’il s’agisse de dimensions structurellement fortes ou de dimensions résiduelles ;
• si l’on prend en compte la totalité des facteurs, lors de l’étape 3, on retrouve l’estimateur du maximum de vraisemblance de Winitialement calculé ;
• dans le cas particulier où y est une variable continue suivant un modèle linéaire gaussien classique en fonction de X, la procédure que nous proposons ici est identique à l’ACT1. En effet, l’estimation de W (première étape) fournit la régression y de y sur X. Or il est très facile de voir, à la lecture de son algorithme, que l’ACT1 de y (étape suivante) est équivalente à celle de y;
• une autre extension de l’ACT1 à un modèle linéaire généralisé est possible. Elle consiste simplement, dans l’étape courante, à remplacer la régression de y sur {X_r ,F_-r (k–1)} par sa régression généralisée (logistique, Cox…). La composante ?_r est égale au X_{r r} obtenu dans cette régression. Si cette extension paraît plus directe, c’est que la variable latente W y est rendue implicite. Cependant, cette méthode est plus coûteuse en temps de calcul, car elle doit maximiser une vraisemblance à chaque itération.

b – Approche inférentielle

55 On peut construire un modèle permettant l’inférence (calcul d’intervalles de confiance et tests) à la suite de l’étape 4. Si l’on désire spécifier un modèle fondé sur une sélection de variables observées, on procèdera selon les étapes suivantes :

5. On sélectionne un sous-ensemble des variables explicatives originelles représentant bien l’ensemble des facteurs, au sens où ces variables sont à la fois corrélées aux facteurs et illustratives de l’interprétation substantielle qu’on a pu faire de ceux-ci.
6. On procède à l’estimation du maximum de vraisemblance du modèle limité aux variables explicatives sélectionnées.

5. On sélectionne, pour chaque facteur (ou chaque direction importante d’un plan explicatif), un sous-ensemble de variables explicatives originelles qui lui soient fortement corrélées et illustratives de l’interprétation substantielle qu’on a pu en faire.
   On procède à l’ACP séparée de chacun de ces sous-ensembles et l’on retient la première composante principale comme étant celle qui estime la variable latente sous-jacente à chaque sous-ensemble.
6. On procède à l’estimation du maximum de vraisemblance du modèle fondé sur ces composantes principales. Bien que leur mode de sélection fasse entrer un peu d’endogénéité dans les variables observées retenues, le calcul des composantes principales ne fait pas intervenir y. Par conséquent, l’inférence fondée sur ce modèle peut être considérée comme légitime.

a – Le modèle de Cox

57 Le risque de connaître l’événement à l’instant t est une fonction exponentielle des caractéristiques x_t de l’individu à cet instant :

58

59 La vraisemblance de la trajectoire d’un individu pour lequel l’événement E survient à l’instant t_E est :

60

61 Considérons à présent un échantillon d’individus indépendants. L’indice utilisé pour repérer les individus est i. La vraisemblance du modèle appliqué à l’échantillon est le produit des vraisemblances individuelles:

62

63 Formellement, ceci équivaut à une vraisemblance d’échantillon dont les observations seraient, non les individus eux-mêmes, mais les couples (individu, date d’observation) : (i,t). Un individu donne lieu à autant d’observations qu’il y a de dates, et le modèle ci-dessus les rend formellement indépendantes, ce qui permet de traiter les caractéristiques variant dans le temps. À chacun des couples (i,t) correspond une valeur des déterminants x_it du risque, donc une valeur de la variable latente W = b?x_it et une valeur du risque : . De même, les facteurs F_r que nous calculerons par la suite auront une valeur pour chaque couple (i,t).

b – ACT après régression de Cox

64 On procède à la régression de Cox en utilisant toutes les caractéristiques disponibles. La gestion des sorties d’observation et la modélisation de la dynamique s’effectuent à ce stade. La régression de Cox fournit une estimation de W notée ?x_it pour l’individu i à la date t. Cette estimation repose autant sur les dimensions fortes que sur les dimensions résiduelles de l’espace des variables explicatives.

65 On procède ensuite à l’ACT de cette estimation sur les groupes explicatifs, pour extraire les variables explicatives latentes. Cette ACT prend pour observation les couples (individus, date d’observation) : (i,t).

66 Nous allons maintenant appliquer cette méthode à l’analyse du divorce des hommes à Dakar.

a – Les données biographiques

72 L’analyse s’appuie sur des données provenant d’une enquête biographique récente réalisée à Dakar en 2001 [14]. Trois cohortes sont prises en considération : les personnes âgées respectivement de 25-34 ans, 35-44 ans et 45-59 ans au moment de l’enquête [15]. L’enquête à Dakar a permis de recueillir 1 290 biographies d’hommes et de femmes, qui retracent la vie des individus jusqu’à la date de l’enquête. On peut donc connaître les caractéristiques de l’individu telles que sa profession, son état matrimonial, le nombre d’enfants, etc., tout au long de sa vie.

73 Dans l’exemple particulier traité ici, nous nous sommes intéressés à l’itinéraire matrimonial d’hommes âgés de 25 à 44 ans au moment de l’enquête [16]. Sont prises en considération les premières unions de 137 hommes qui se sont mariés à Dakar. Toutes ces unions ne se sont pas soldées par un divorce au moment de l’enquête (23 couples se sont déjà séparés), et ces dernières restent soumises au risque de divorce [17]. On pourrait craindre que l’effectif des personnes comme celui des événements s’avèrent insuffisants pour entreprendre une analyse. En l’absence de la méthode ACT, nous ne l’aurions certainement pas fait. Précisons que notre fichier comprend autant de lignes que d’épisodes (soit 546) ; par épisode on entend chaque changement d’état [18] vécu par un individu depuis le début de son union. La dernière colonne du tableau 1 donne la répartition des individus statistiques (ou des hommes-mois en cas de changement d’état au cours du temps [19]) selon les différentes modalités des variables prises en compte dans l’analyse.

Tableau 1

Estimation des effets des déterminants potentiels du divorce des hommes à Dakar (résultats de la régression de Cox)

Groupe Variable Modalités Libellés Multiplicateur du risque(a) Répartition en % (homme-mois) Facteurs culturels Ethnie Wolof wolof Réf. 43 Poular alpoular 1,38 28 Serer serer 0,25 14 Diola diola 1,72 2 Autre ethnie aut_eth 0,01** 13 Religion Autre musulman aut_musu Réf. 25 Mouride mouride 36,55* 47 Tidiane tidiane 3,94 25 Chrétien chrétien 13,77 3 Lieu de naissance Dakar ln_dakar Réf. 66 Milieu rural ln_rural 1,14 19 Milieu urbain ln_urbain 4,48 14 Lieu de socialisation Dakar se_dakar Réf. 63 Milieu rural se_rural 1,85 20 Milieu urbain se_urbain 0,01 17 Facteurs d’instruction Instruction de la mère Non scolarisée mnonsc Réf. 92 Primaire mprim 0,18 7 Secondaire ou plus msecp 7,04 1 Instruction du père Non scolarisé pnonsc Réf. 71 Primaire pprim 0,99 14 Secondaire ou plus psecp 4,42 15 Instruction de l’individu Non scolarisé nonscol Réf. 31 Primaire primaire 0,63 33 Secondaire ou plus second_p 2,11 36

Groupe Variable Modalités Libellés Multiplicateur du risque(a) Répartition en % (homme-mois) Facteurs économiques Logement autonome Oui logauto Réf. 55 Jamais jamloau 23,86** 45 Type d’activité Secteur informel informel Réf. 26 de l’individu Patron patron 2,93 17 Salarié salarie 2,46 47 Apprenti ou élève app_elev 0,66 7 Chômeur chomeur 1,81 3 Activité de l’épouse Inactive cfnonact Réf. 67 Employée cfemploy 9,56 2 Vendeuse cfvente 0,16 19 Domestique cfdomest 0,90 13 Facteurs démographiques et matrimoniaux Descendance Pas d’enfant pasenf Réf. 26 1 enfant enF 1 2,11 25 2 enfants enf2 0,23 21 3 enfants ou plus enf3p 0,36 29 Âge au mariage Moins de 21 ans am_av20 Réf. 5 21-25 ans am21a25 0,29 37 26-29 ans am26a29 0,25 33 30-34 ans am30a34 2,92 19 35 ans ou plus am_ap35 3,91 7 Choix du conjoint Par un parent chxpar Réf. 12 Par l’intéressé chxmoim 2,20 88 Parenté avec le conjoint Non apparenté nonpart Réf. 54 Côté paternel parpat 0,82 25 Côté maternel parmat 0,13* 21 Expérience divorce Jamais divorcé auparavant cj1nodiv Réf. 97 du conjoint Déjà divorcé cj1exdiv 0,05 3 Nature de l’union Monogame monogame Réf. 94 Polygame polygame 5,74 6 (a) Dans un modèle de Cox, le risque de divorce est modélisé par h(t) = h0(t) exp (Xb) ; le multiplicateur du risque vaut 1 pour la catégorie de référence et exp(bi) pour chaque modalité xi donnée. ** Signe significatif au seuil de 1 %; * signe significatif au seuil de 5 %. Champ : hommes mariés âgés de 25 à 44 ans au moment de l’enquête. Source : enquête biographique IFANIRD (2001).

Estimation des effets des déterminants potentiels du divorce des hommes à Dakar (résultats de la régression de Cox)

b – Les hypothèses et la conceptualisation

74 Diverses questions concernant le divorce se posent. On peut par exemple se demander si, pour les hommes, l’union avec une seconde femme n’est pas une façon de provoquer le départ de la première sans avoir à évoquer le divorce avec elle. L’arrivée d’une seconde épouse n’est pas une cause légitime de divorce, mais il semble bien qu’en milieu urbain les premières épouses de polygames divorcent plus souvent que les secondes. Une des causes de divorce les plus courantes [20] reste le défaut d’entretien de la femme par son mari (Diop, 1985 ; Dial, 2001). Du fait de la crise économique, l’homme éprouve de plus en plus de difficultés à subvenir correctement aux besoins du ménage dont il a la charge.

75 Aborder la question du divorce, c’est pénétrer l’intimité du couple et évoquer un événement douloureux. La plupart des enquêtés sont réticents à parler d’une situation encore mal acceptée par la société. Même si certains aspects du vécu du divorce restent non dits, nous pouvons essayer de dépasser les cas individuels pour tenter d’appréhender certains facteurs structurels et mettre en évidence les composantes qui favorisent ou non le divorce dans cette génération. Pour ce faire, nous avons utilisé un modèle de Cox [21] qui intègre les facteurs influant sur la durée écoulée entre le début de l’union (c’est-à-dire sa célébration à la mosquée) et l’éventuelle séparation [22].

76 Pour entreprendre cette analyse, nous disposons essentiellement de caractéristiques concernant la personne enquêtée. En effet, il s’avère difficile d’obtenir des informations précises sur l’épouse, a fortiori quand elle ne vit plus avec l’enquêté. Plusieurs facteurs concernant l’homme sont pris en considération (voir la figure 1) ; nous les avons classés en 4 catégories : facteurs culturels, niveau d’instruction, facteurs économiques, facteurs démographiques et matrimoniaux.

77 Les facteurs culturels – facteurs liés à l’environnement social de la personne – recouvrent l’ethnie [23], la religion (en tenant compte des différentes confréries musulmanes [24]), le lieu de naissance et le milieu de socialisation (c’est-à-dire le lieu où l’enfant a passé la majeure partie de son enfance). Différentes questions concernent ce groupe de variables. Les différences de position sur le divorce selon les religions [25] conduisent-elles à des propensions différentes au divorce ? Lieu de naissance et lieu de socialisation sont des marqueurs du milieu dans lequel la personne a passé sa jeunesse : les jeunes socialisés à Dakar ont-ils des comportements différents de ceux des ruraux arrivés plus tardivement en ville ?

78 Le second groupe de facteurs concerne des facteurs liés à l’éducation donnée par les parents ou l’école. L’éducation dépend de l’origine sociale des individus et nous en prenons pour proxy le niveau d’instruction atteint par chacun des parents. On retient également le niveau d’instruction de l’individu, qui est un marqueur d’un certain degré d’indépendance par rapport aux traditions.

79 Le troisième groupe recouvre des variables qui caractérisent la situation socio-économique, à savoir l’activité de l’homme, le type d’emploi occupé par la première épouse au moment du mariage et la situation de dépendance en termes de logement.

80 Enfin, nous retenons des variables démographiques qui concernent la descendance issue de l’union et les caractéristiques de l’union comme l’âge au mariage, le choix du conjoint, l’existence d’un lien de parenté avec le conjoint et l’expérience antérieure du divorce par le conjoint. Ces différents facteurs peuvent influer ou non sur le divorce. La précocité des unions ou l’absence d’enfants sont-ils des facteurs favorisant le divorce ? La stabilité de l’union est-elle plus assurée quand un lien de parenté relie les conjoints ? Le statut de l’union peut aussi changer au cours du temps : le mari peut prendre une seconde épouse et devenir polygame. Dans le modèle, ce changement de statut matrimonial est pris en considération ; l’historique des unions permet de connaître la date d’arrivée d’une nouvelle épouse et de noter ainsi le passage de la monogamie à la polygamie.

a – Estimation de la variable latente W

82 On procède à la régression de Cox usuelle utilisant toutes les variables explicatives possibles. Les résultats sont donnés dans le tableau 1. La variable latente W est estimée par le X fourni par cette régression.

83 Très peu de variables explicatives ont un effet statistiquement significatif sur le risque. Si l’on ne retient que les modalités interprétables, il n’y en a que trois [26] qui influencent nettement le risque de divorcer rapidement : être de religion Mouride, ne pas avoir de logement autonome et être apparenté du côté maternel avec son épouse. Le mariage chez les Mourides est peut-être plus instable que chez les autres musulmans. Dans certains cas, c’est le marabout qui célèbre l’union et quelquefois sans véritable concertation avec les intéressés.

84 Le principal facteur qui favorise le divorce est d’ordre économique. Lorsque le nouveau noyau familial constitué n’acquiert pas une autonomie de logement et reste dépendant de la parenté pour être logé, les risques de divorce sont alors nettement accrus. L’incapacité du mari à assurer un logement autonome à son couple accroît la rapidité du divorce. Cette incapacité renvoie au défaut d’entretien, cause de divorce souvent évoquée. La crise économique qui perdure fait qu’aujourd’hui, les jeunes couples s’installent dans la maison familiale du mari et qu’ils sont alors contraints de vivre au quotidien les problèmes que pose la cohabitation. Les relations entre la femme et sa belle-famille sont très complexes d’une manière générale. Ces couples sont plus exposés au divorce que les autres.

85 L’existence d’un lien de parenté entre les conjoints marque une union où la famille au sens large s’est investie, et donc a priori des unions plus stables. Les unions avec un parent côté maternel font en général l’objet d’une vigilance plus grande.

86 Notre modèle comprend de nombreuses variables, dont plusieurs sont redondantes. Compte tenu des multicolinéarités qui en découlent, on ne peut pas savoir à ce stade si, outre les trois facteurs mis en évidence, d’autres variables ne jouent pas un rôle explicatif important, dont l’effet serait masqué par les multicolinéarités [27].

87 L’existence éventuelle de multicolinéarités impose le recours à un outil permettant de les repérer, de les prendre en compte, et de sélectionner les variables les plus utiles à la modélisation. Nous allons employer successivement trois méthodes. La première (régression ACP) ne s’appuie sur aucun modèle conceptuel pour déterminer les plans factoriels ; la deuxième (régression PLS) prend en compte l’existence d’un schéma explicatif, mais sans en distinguer les thèmes ; la troisième (ACT) intègre la totalité du schéma explicatif du divorce, en tenant compte des quatre thèmes présentés plus haut.

b – Régression de W = X sur les composantes principales de X

88 L’ACP de X estime des variables explicatives latentes sans utiliser de modèle thématique. Les deux premiers facteurs captent 16,79 % de l’inertie ; les 10 premiers facteurs, 53 % et il faut prendre les 20 premiers pour capter 79,6 % de l’inertie. La décroissance des valeurs propres est faible, ce qui dénote un nuage peu structuré (pas de faisceaux de corrélation très importants). Les deux premières valeurs propres sont très proches (8,63 % et 8,06 % d’inertie), ce qui nécessite d’interpréter le plan factoriel (1,2) globalement plutôt que les facteurs isolément. Les deux premières composantes principales de X fournissent un plan mettant en relief l’importance des lieux de naissance et de socialisation.

89 La régression de X sur les facteurs donne les résultats suivants :

90 Sur les 2 premiers facteurs, le coefficient de corrélation R² est égal à 0,007 ; sur les 10 premiers facteurs, R² = 0,512.

91 Les facteurs ayant le plus de pouvoir explicatif sont, dans l’ordre décroissant, les 9^e, 20^e et 5^e. Il s’agit de facteurs d’ordre élevé, donc structurellement faibles, très mal illustrés par les variables observées.

92 Les résultats de cette méthode s’avèrent pratiquement inutilisables.

c – Régression PLS de W = X sur les variables de X

93 La régression PLS est, contrairement à l’ACP, orientée vers l’explication. On constate immédiatement que cette orientation améliore considérablement le pouvoir prédictif des dimensions trouvées. La régression de X sur les facteurs PLS donne en effet les résultats suivants:

94 Sur les deux premiers facteurs, le coefficient de corrélation R² est égal à 0,945 ; sur les quatre premiers facteurs, R² est égal à 0,987.

95 On a constaté sur les graphiques initiaux que les axes étaient médiocrement illustrés par les variables observées. Le brouillage thématique a pour conséquence un ensemble peu lisible. Toutefois, on voit émerger, en périphérie de nuage, quelques variables telles que : Mouride, logement autonome, autre ethnie, passage à la polygamie, niveau d’instruction d’ego et de ses parents.

96 Par manque de hiérarchisation thématique, cette méthode fournit un résultat encore décevant ; certes, X est très bien représentée sur les premiers facteurs, mais ceux-ci sont en trop faible rapport avec les variables explicatives observées.

d – L’analyse en composantes thématiques

97 On a retenu les quatre thèmes explicatifs présentés précédemment :

• X1 = facteurs culturels ;
• X2 = facteurs d’instruction ;
• X3 = facteurs économiques ;
• X4 = facteurs démographiques et matrimoniaux.

• Calcul des facteurs

98 On calcule deux facteurs par groupe thématique. Le facteur j du groupe i est appelé XiFj. Les facteurs sont centrés réduits. On régresse W = X sur l’ensemble de ces facteurs, ce qui permet d’écrire W comme une combinaison linéaire de ces facteurs, pondérés par des coefficients. Les résultats de la régression sont présentés dans le tableau 2 (R² = 0,96).

Tableau 2

Coefficients de régression de W sur l’ensemble des facteurs fournis par l’ACT

Thème Facteur Coefficient Culturel X1F1 2,60 X1F2 0,85 Niveau d’instruction X2F1 1,02 X2F2 0,43 Économique X3F 1 1,62 X3F2 0,70 Démographique et matrimonial X4F1 1,52 X4F2 0,73

Coefficients de régression de W sur l’ensemble des facteurs fournis par l’ACT

99 Les facteurs de rang 2 ayant des coefficients systématiquement beaucoup plus faibles (ils sont environ deux fois moins élevés) que leurs homologues de rang 1, on procède à la régression sur ces derniers seulement. Les résultats sont retracés dans le tableau 3 (R² = 0,86).

Tableau 3

Coefficients de régression de W sur les facteurs de rang 1 de l’ACT

Thème Facteur Coefficient Culturel X1F1 2,68 Niveau d’instruction X2F1 0,99 Économique X3F1 1,87 Démographique et matrimonial X4F1 1,40

Coefficients de régression de W sur les facteurs de rang 1 de l’ACT

100 On parvient donc à capter 86 % de la variable W sur les quatre facteurs de rang 1. Cette performance est moins bonne que celle de la régression PLS, mais cela n’a rien de surprenant, car les facteurs de l’ACT sont thématiquement contraints. Mais cette contrainte, qui supprime le brouillage thématique, devrait donner des facteurs d’interprétation plus clairs.

101 On note que les facteurs ayant les pouvoirs explicatifs les plus faibles sont ceux des groupes 2 (niveau d’instruction) et 4 (démographique et matrimonial).

• Examen des groupes dans les plans thématiques

102 Les facteurs 1 et 2 de chaque groupe fournissent les plans des figures 9 à 12 (ci-dessous et pages suivantes) [28] :

Figure 9

Premier plan factoriel du groupe 1 (facteurs culturels)

Premier plan factoriel du groupe 1 (facteurs culturels)

Les variables illustrant bien ce plan sont : mouride, pour l’axe 1; lieu de naissance et lieu de socialisation, pour l’ensemble du plan (configuration triangulaire).
La gradation urbaine (rural–ville de province–capitale) est reproduite par le facteur 2 et non par le premier. Or, ce second facteur a un pouvoir explicatif plus faible que le premier.

Figure 10

Premier plan factoriel du groupe 2 (facteurs d’instruction)

Premier plan factoriel du groupe 2 (facteurs d’instruction)

Le premier facteur reproduit la hiérarchie des niveaux de formation (non scolarisé, primaire, secondaire ou plus), tant pour ego que pour ses parents. Le second – au pouvoir explicatif nettement moins important – distingue les personnes non scolarisées des personnes peu scolarisées. Notons au passage la forte reproduction sociale : ego a toutes les chances d’avoir le même niveau d’instruction que son père et sa mère.

Figure 11

Premier plan factoriel du groupe 3 (facteurs économiques)

Premier plan factoriel du groupe 3 (facteurs économiques)

L’axe 1 met en relief l’autonomie en matière de logement, facteur particulièrement fort du divorce qui reflète certainement l’importance des revenus du mari. L’axe 2, secondaire, fait ressortir trois professions de l’épouse (domestique, employée, vendeuse), mais il est médiocrement corrélé avec ces trois modalités.

Figure 12

Premier plan factoriel du groupe 4 (facteurs démographiques et matrimoniaux)

Premier plan factoriel du groupe 4 (facteurs démographiques et matrimoniaux)

Le premier plan thématique est mal illustré par les variables de ce quatrième groupe. Ce groupe ne possède pas de structures fortes ayant un pouvoir explicatif important.

• Sélection des prédicteurs

103 Les pouvoirs explicatifs globaux des groupes sont facilement mesurés par les coefficients de régression de leurs facteurs. Le fait de distinguer différents thèmes clarifie très nettement le rôle des groupes. Les plans thématiques sont bien illustrés (à l’exception du groupe 4 qui concerne les facteurs démographiques et familiaux) et donc clairement interprétables.

104 Il faut éliminer les facteurs de rang 2 des groupes de faible pouvoir prédictif, lorsque ces facteurs n’ont pas d’interprétation claire (X2F2 et X4F2). Le facteur X1F2 est également équivoque et a un faible pouvoir prédictif, mais il fait intervenir des modalités de variables présentes sur le facteur X1F1 (lieux de naissance et de socialisation). On peut donc éventuellement le conserver, à titre transitoire. Le facteur X3F2 est faiblement prédictif, mais exclusivement illustré par les modalités de la profession de l’épouse. On conserve donc provisoirement ce facteur.

105 Concernant les facteurs de rang 1, on les conserve tous, mais avec des illusions modérées sur ceux qui n’ont pas un grand pouvoir prédictif et/ou qui sont d’interprétation ambiguë car mal illustrés ou influencés par trop de variables. Ces derniers ne nous indiquent pas avec netteté le petit nombre de modalités à inclure dans un modèle parcimonieux et efficace.

106 Ici, on est conduit à conserver les facteurs suivants (accompagnés des modalités qui leur sont liées) :

• X1F1 : il concerne à la fois la religion (mouride, aut_musu) et l’origine urbaine, (ln_urbain/se_urbain) ;
• X1F2 : il oppose l’origine dakaroise (ln_dakar/se_dakar) à l’origine rurale (ln_rural/se_rural) ;
• X2F1 : toutes les modalités concernant le niveau scolaire (voir tableau 4) ;
• X3F1 : la résidence ou non dans un logement autonome (jamloau, logauto).
• X3F2 : l’emploi exercé par l’épouse (cfemploy, cfdomest, cfvente) ;
• X4F1 : les caractéristiques familiales (nombre d’enfants, âge au mariage, nonpart).

Tableau 4

Pondérations des variables dans le niveau scolaire mesuré par niscola

Variable Libellé Coefficient dans niscola Mère non scolarisée mnonsc – 1,64 Père non scolarisé pnonsc – 0,93 Ego non scolarisé nonscol – 0,72 Mère niveau primaire mprim 1,33 Père niveau primaire pprim 0,36 Ego niveau primaire primaire – 0,07 Mère niveau secondaire ou plus msecp 2,12 Père niveau secondaire ou plus psecp 1,16 Ego niveau secondaire ou plus second_p 0,66 Constante 1,74

Pondérations des variables dans le niveau scolaire mesuré par niscola

107 Concernant X2F1 (premier facteur du groupe 2), nous avons vu qu’il reproduit la hiérarchie des niveaux de formation en utilisant de façon très équilibrée toutes les modalités de niveau scolaire; il est donc intéressant de le synthétiser en effectuant une ACP sur ces modalités, afin de l’utiliser dans le modèle final en tant que variable latente exogène. On obtient ainsi la variable niscola (combinaison linéaire des variables de niveau scolaire affectées des coefficients présentés dans le tableau 4) qui permet d’avoir une gradation du « patrimoine » scolaire de l’individu.

108 On peut procéder de même avec les lieux de naissance et de socialisation, afin d’estimer une variable latente de ruralité/urbanisation. On obtient pour celle-ci (dénommée ruralité) un jeu de coefficients fournis dans le tableau 5.

Tableau 5

Pondérations des lieux dans la variable de ruralité

Variable Libellé Coefficient dans ruralité Né à Dakar ln_dakar – 1,10 Socialisé à Dakar se_dakar – 1,07 Né en milieu urbain ln_urbain 0,69 Socialisé en milieu urbain se_urbain 0,58 Né en milieu rural ln_rural 1,00 Socialisé en milieu rural se_rural 0,99 Constante 0,73

Pondérations des lieux dans la variable de ruralité

109 Concernant le nombre d’enfants et l’âge au mariage, on a intérêt à reconvertir ces variables en variables quantitatives, ou au moins ordinales, puisque l’axe X4F1 reproduit à peu près leur gradation. Cela permettra une estimation plus précise de l’effet éventuel. Ces deux variables apparaissant liées, il est vraisemblable qu’elles ne peuvent pas coexister dans le même modèle et qu’il faille donc en éliminer une. On retiendra celle dont le rôle causal est le plus interprétable, ou, à défaut, celle qui fournit le meilleur ajustement.

e – Modèle de Cox final

110 On introduit d’abord dans le modèle économétrique l’ensemble des prédicteurs retenus ci-dessus. Puis on élimine graduellement ceux qui n’ont pas d’effet probant. Le tri est beaucoup plus facile que si l’on commence avec toutes les variables disponibles. Le tableau 6 récapitule les variables finalement retenues, c’est-à-dire celles qui ont un effet significatif à 5%.

Tableau 6

Effets des déterminants du divorce sélectionnés après l’ACT, (résultats de la régression de Cox du modèle final)

Variable Libellé Multiplicateur du risque(a) Intervalle de confiance (95 %) Religion mouride mouride 8,53** [2,87;25,29] Jamais de logement autonome jamloau 4,73** [1,77; 12,64] Non apparenté à l’épouse Activité de l’épouse : employée de bureau nonpart 2,80* [0,95;8,20] cfemploy 4,87* [0,77;30,90] Niveau scolaire (variable continue) niscola 1,30* [1,00;1,70] Âge au marriage (variable continue) agordmar 1,52* [0,94;2,46] (a) Dans un modèle de Cox, le risque de divorce est modélisé par h(t) = h0(t) exp (Xb) ; le multiplicateur du risque vaut 1 pour la catégorie de référence et exp(bi) pour chaque modalité xi donnée. ** Signe significatif au seuil de 1 %; * signe significatif au seuil de 5 %. Lecture : l’accroissement d’une année de l’âge au mariage correspond à un risqué de divorce augmenté de 52 %. Champ : les hommes mariés âgés de 25 à 44 ans au moment de l’enquête. Source : enquête biographique IFAN-IRD (2001).

Effets des déterminants du divorce sélectionnés après l’ACT, (résultats de la régression de Cox du modèle final)

111 Ce modèle est plus riche d’enseignements que le modèle initial (tableau 1). Aux trois facteurs déjà mis en évidence précédemment (la religion mouride, l’absence de logement autonome et le lien de parenté avec le conjoint) s’ajoutent des facteurs favorisant le divorce comme le fait que l’épouse exerce une activité salariée, d’être allé à l’école, et de se marier plus tardivement. L’exercice d’une activité salariée de la femme semble favoriser le divorce : les femmes qui acquièrent une certaine indépendance économique divorcent plus rapidement que les femmes en situation de précarité. L’effet du lien de parenté avec le conjoint est plus facilement interprétable que dans le tableau 1, mettant simplement en opposition l’existence ou non d’un lien de parenté, l’absence de lien facilitant le divorce.

112 Par ailleurs, certaines de nos hypothèses ne sont pas confirmées. Le nombre d’enfants (notamment l’absence de descendance) ne semble pas constituer un facteur de divorce, contrairement à l’hypothèse selon laquelle l’infécondité de la femme serait considérée comme un facteur favorisant le divorce. Le modèle n’indique pas non plus que la polygamie joue un rôle [29]. Il est vrai que nous étudions le phénomène auprès d’hommes encore jeunes, mariés dans l’ensemble depuis peu de temps et dont seul un très petit nombre est concerné par cette pratique.