La solution de Nash

11La solution de Nash consiste à maximiser le produit des gains nets des agents. Le gain net d’un agent est défini comme la différence entre le résultat de l’accord et celui correspondant au point de désaccord ou de la situation initiale que l’agent souhaite améliorer par la négociation.

12La démarche de Nash a été de définir les axiomes souhaitables que devraient respecter une règle de partage. Son résultat remarquable a été de montrer qu’une seule solution vérifiait les cinq axiomes suivants. Le premier porte sur la rationalité individuelle des agents. Ceux-ci ne peuvent accepter un partage leur procurant un gain inférieur à leur gain de désaccord. Le deuxième axiome porte sur la Pareto optimalité de la solution. Celle-ci ne doit pas laisser inexploités des bénéfices mutuels possibles. Ces deux premiers axiomes permettent de restreindre l’ensemble des solutions aux seules solutions se situant sur la frontière d’efficience. L’unicité requiert des axiomes supplémentaires. Le troisième axiome consiste en la symétrie des joueurs et impose une invariance par permutation. La solution doit procurer à des joueurs identiques des gains égaux en utilité. Relâcher cet axiome conduit à la solution de Nash généralisée et donc à introduire des poids de négociation différents selon les joueurs. Le quatrième axiome impose une invariance d’échelle. La solution doit être invariante par transformation affine positive des fonctions d’utilités des deux joueurs. Cet axiome permet sans perte de généralité de normaliser à zéro les gains associés au point de désaccord. Enfin, le dernier axiome qui a fait l’objet de nombreuses critiques est celui d’indépendance vis-à-vis des alternatives non pertinentes ou d’invariance par contraction. Cet axiome signifie que la solution ne doit pas changer si des solutions possibles, mais qui n’avaient pas été retenues initialement, sont retirées sans que le point de désaccord n’ait été modifié. Précisons que la solution de Nash est généralisable à un nombre quelconque de joueurs.

13Les autres règles de partage font référence à des jeux de coalition à utilité transférable. Ce dernier terme signifie que la négociation porte sur le partage d’un bien parfaitement transférable entre les joueurs et que ceux-ci l’évalue de la même manière. Pour caractériser les solutions des jeux il faut préciser certains concepts comme la valeur d’un jeu et une imputation d’un jeu. Quand le partage porte sur un gain à répartir entre plusieurs agents, on assigne à chaque coalition S une valeur monétaire v(S) égale au surplus de leur coopération. Cette valeur v(S) résume le résultat produit par chaque coalition de joueur. Un jeu est sur additif quand le gain que peut obtenir un groupe de joueurs excède la somme des gains que chaque joueur pourrait avoir isolément. Cette propriété de sur additivité des fonctions de gains est nécessaire pour garantir la formation de la coalition la plus grande possible. De manière symétrique, le partage peut porter sur un coût à répartir entre plusieurs agents. Le jeu sera sous additif quand le coût que doit supporter une coalition de joueurs est plus faible que la somme de leurs coûts individuels. La propriété de sous additivité des fonctions de coût assure la formation de la grande coalition. Une imputation est une distribution des gains entre les joueurs vérifiant les conditions de rationalité individuelle et de rationalité collective. La première pose qu’un agent n’acceptera pas un gain moindre ou un coût supérieur à ce qu’il aurait en restant seul et la seconde assure que le gain ou le coût de la grande coalition doit être intégralement distribué entre les joueurs quand le jeu est super ou sous additif. Ces deux conditions renvoient aux deux premiers axiomes de la solution de Nash. Le problème réside en l’existence d’une infinité d’imputations possibles. L’intérêt de la valeur de Shapley ou du nucléole est de proposer une imputation particulière.
En référence aux exemples de partage du Talmud, il convient de réécrire les problèmes de banqueroute sous la forme de jeux coopératifs à utilité transférable. La valeur d’une coalition S, de la plus petite avec une personne à la plus grande, est soit égale à zéro soit au montant qu’il reste à partager entre les créanciers formant la coalition S lorsque chaque créancier à l’extérieur de la coalition S a perçu sa créance en intégralité. Dans le cas du contested garment, notons c₁ la créance de l’agent 1 égale à la somme E à distribuer que l’on pose égale à un, c₂ la créance de l’agent 2 égale à la moitié de E. La valeur du jeu s’écrit v(1) =max{0,E-c₂}=1/2 et celle de la coalition 2 v(2)= max{0,E-c₁}=0 et v(12)=E=1, soit

S 1 2 12 v(S) 1/2 0 1

14Un raisonnement similaire pour le problème des 3 veuves avec c₁=100, c₂=100 et c₃=100 conduit à :

E S 1 2 3 12 13 23 123 100 v(S) 0 0 0 0 0 0 100 200 v(S) 0 0 0 0 0 100 200 300 v(S) 0 0 0 0 100 200 300

15Pour le partage entre les 4 fils avec E=1, avec c₁=1, c₂=1/2, c₃=1/3 et c₄=1/4, il vient

S 1 2 3 4 12 13 14 23 24 34 123 124 134 234 1234 v(S) 0 0 0 0 5/12 ¼ 1/6 0 0 0 ¾ 2/3 ½ 0 1

La valeur de Shapley

16Comme pour la solution de Nash, la valeur de Shapley est la seule imputation vérifiant un ensemble d’axiomes souhaitables. Le premier axiome stipule l’efficience de la solution. La totalité de la valeur de la grande coalition qui est le gain maximum possible dans un jeu sur additif doit être intégralement réparti entre les joueurs. Cet axiome correspond à celui d’optimalité Parétienne chez Nash. Le deuxième axiome porte sur la symétrie des joueurs. Deux joueurs ayant des contributions identiques au sein d’une coalition doivent recevoir la même part. Le troisième axiome est celui de nullité. Un joueur qui n’apporte rien à la valeur d’une coalition n’a droit à rien. Enfin le dernier axiome dit d’additivité est purement mathématique et n’admet pas d’interprétation économique. Le résultat remarquable de Shapley est de montrer, alors que rien dans les axiomes ne le pose explicitement, que la solution vérifiant les 4 axiomes conduit à un partage équitable fondée sur le principe de contribution marginale. La rémunération de chaque agent dépend de son niveau de contribution individuelle mais sa contribution dépend aussi des contributions des autres membres de la coalition. La valeur de Shapley calcule une moyenne des différentes contributions marginales. Imaginons que des joueurs doivent se rencontrer dans une pièce pour négocier une part du surplus. Ils arrivent de façon séquentielle dans la pièce et l’ordre d’arrivée de chaque joueur est équiprobable. Quand le joueur entre dans la pièce, il obtient ce qu’il vient d’apporter comme valeur à la coalition qui était déjà présente dans la salle.

17Illustrons la valeur de Shapley dans le cas du CG. Nous avons montré que la valeur du jeu est v(1) = ½, v(2)= 0 et v(12)=1. Un tel jeu est sur additif puisque v(12) excède la somme de v(1) et de v(2). L’idée est regarder ce qu’apporte chaque joueur dans toutes les configurations possibles. Dans l’ordre d’arrivée 12, l’agent 1 arrive et contribue pour ½ puis la contribution de l’agent 2 se déduit de la différence avec la valeur finale, soit 1/2. Dans l’ordre d’arrivée 21, la contribution initiale de l’agent 2 est nulle et le surplus incombe totalement à l’agent 1. La valeur de Shapley se déduit comme la moyenne du total des contributions marginales. Il vient :

Apportordre 12 21 Total Sh 1 ½ 1 3/2 ¾ 2 ½ 0 ½ ¼

18Cette équivalence entre la valeur de Shapley et le CG est toujours vérifiée dans le cas bilatéral. Dans le cas des 3 veuves pour un patrimoine E=100, seul le dernier arrivé rafle la mise. Il vient :

Apport/Ordre 123 132 213 231 312 321 Total Sh 1 0 0 0 100 0 100 200 100/3 2 0 100 0 0 100 0 200 100/3 3 100 0 100 0 0 0 200 100/3

19La valeur de Shapley conduit à un partage égalitaire. Pour E=200, la solution est :

Apport/Ordre 123 132 213 231 312 321 Total Sh 1 0 0 0 100 0 100 200 100/3 2 0 200 0 0 200 100 500 250/3 3 200 0 200 100 0 0 500 250/3

20Enfin, pour E=300, la valeur de Shapley conduit à un partage proportionnel :

Apport /Ordre 123 132 213 231 312 321 Total Sh 1 0 0 0 100 100 100 300 50 2 0 200 0 0 200 200 600 100 3 300 100 300 200 0 0 900 150

21On peut montrer que la valeur de Shapley pour le problème d’héritage entre les 4 fils correspond au partage suivant : 17/144 pour Judah, 23/144 pour Lévi, 35/144 pour Siméon et 69/144 pour Reuben. La valeur de Shapley ne coincïde pas avec la solution du rabbin Ibn Ezra. Enfin, évoquons le jeu de l’aéroport, proposé par Littlechild et Owen est une application de la valeur de Shapley à un partage du coût de construction d’une piste d’atterrissage commune pour 3 types d’avion. Les avions de type 1, 2 et 3 ont respectivement besoin d’une piste de 1, 2 et 3km de long et dont les coûts de construction sont de 1, 2 et 3 Millions d’euro. Dans l’ordre d’arrivée 123, chacun contribue à auteur de 1 mais dans l’ordre 312, l’avion de type 3 prend à sa charge tout le coût de construction. Il vient :

Coût sup/Ordre 123 132 213 231 312 321 Total Sh 1 1 1 0 0 0 0 2 1/3 2 1 0 2 2 0 0 5 5/6 3 1 2 1 1 3 3 11 11/6

22Le coût du premier tronçon de la piste est divisé en 3, soit 1/3. Le coût du deuxième tronçon est divisé en 2, soit 1/2. Le coût du dernier tronçon est uniquement supporté par le dernier joueur, soit 1/3 pour l’avion de type 1, 1/3+1/2=5/6 pour l’avion de type 2 et 1/3+1/2+1=11/6 pour le type 3.

Le nucléole

23Le nucléole proposé par Schmeidler ne repose pas sur une axiomatique. Le principe d’équité du nucléole est de proposer une imputation notée x qui minimise l’insatisfaction de chacune des coalitions possibles e(x,S), c’est-à-dire la différence entre le gain que les membres de la coalition peuvent obtenir en étant dans la coalition sans l’aide des autres v(S) et ce qu’ils auraient avec l’imputation x(S), soit e(x,S)=v(S)-x(S). Il s’agit de rendre moins défavorisée la coalition qui est la plus défavorisée et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il ne soit plus possible d’améliorer le sort d’aucune coalition. La comparaison entre deux imputations est lexicographique. Pour deux imputations possibles, on regarde laquelle procure l’insatisfaction la plus faible pour la coalition la plus défavorisée. Si les deux quantités sont différentes, on peut conclure et prendre celle qui minimise l’insatisfaction. Si elles sont identiques, il faut comparer le sort de la seconde coalition la plus défavorisée et ainsi de suite. Aumann et Maschler (1985) ont montré que le nucléole associé aux trois problèmes de banqueroute correspond aux partages recommandés par le Talmud. Nous allons seulement montrer par contradiction la supériorité des imputations du Talmud sur toute autre imputation. Prenons le second partage énigmatique. Pour une imputation x=(50,75,75), les insatisfactions des coalitions, par ordre décroissant, sont e(x,1)=v(1)-x(1)=-50 ;e(x,23)=v(23)-x(23)=-50 ; e(x,2)=e(x,3)=-75, e(x,12)=e(x,13)=-125. Il va de soi que e(x,123)=0. Existe-t-il une imputation y qui permettrait d’améliorer le sort du singleton 1 et de la coalition formée de 2 et 3 ? Si tel est le cas, il faudrait que e(y,1) et e(y,23) soient strictement plus petits que la valeur de -50, et donc que y(1)>50 et y(23)>50+v(23)=150. Cela signifie que la somme des imputations y(1)+y(2)+y(3) devrait être strictement supérieure à 200, ce qui n’est pas possible. L’imputation x=(50,75,75) est bien le nucléole.

Le marchandage selon Rubinstein

25La négociation imaginée par Rubinstein est bilatérale et porte sur un surplus de taille fixe. Le marchandage renvoie à une procédure d’offres alternées et à horizon infini par opposition aux offres du type ultimatum « à prendre ou à laisser ». Une offre stipule ce qu’il revient à chaque joueur. Ici, on suppose qu’un agent 1 joue le premier à la date 0 et propose un partage. L’agent 2 peut immédiatement accepter l’offre de 1. La négociation est alors terminée et le partage a lieu. L’agent 2 peut refuser l’offre et faire une contre offre à la date suivante. A son tour, l’agent 1 peut immédiatement accepter l’offre ou bien la refuser pour de nouveau faire une contre offre à la date 2, … etc…. jusqu’à ce qu’un accord émerge. En cas de désaccord perpétuel, les agents ont un paiement final nul. La négociation s’inscrivant dans le temps, on suppose que la taille du surplus décroît au cours des rounds de négociation à l’image de la métaphore de la crème glacée qui fond avec la chaleur. Les raisons avancées renvoient à l’introduction d’un taux d’escompte, d’une probabilité de rupture des négociations ou d’un coût explicite de négociation. Autant d’explications pour une idée simple : les agents préfèrent un accord aujourd’hui au même accord demain.

26Bien que le jeu se déroule jusqu’à l’infini, il est possible de décomposer ce jeu en plusieurs sous jeux. Un sous jeu se caractérise par une offre de l’agent 1 à la date 0, une contre offre de l’agent 2 à la date 1 et de nouveau une offre de l’agent 1 à la date 2. Rubinstein adopte alors un raisonnement par induction arrière, en partant de la fin pour remonter au début. A la date 2, l’agent 1 doit être indifférent à ce que l’accord se fasse sur la base de son offre à cette date ou à ce que l’accord se fasse sur la base de l’offre faite par l’agent 2 à la date 1. De la même manière, l’agent 2 doit être indifférent à ce que l’accord se fasse sur la base de son offre à la date 1 ou à ce que l’accord se fasse sur la base de l’offre faite par l’agent 1 à la date 0. A l’équilibre parfait [3] en sous jeux, chaque agent i=1,2 est donc indifférent entre un accord immédiat réalisé sur la base de l’offre de son opposant j?i et un accord différé d’une période sur la base de sa propre offre. De cette double équivalence résulte une solution qui se caractérise par les propriétés suivantes. Les joueurs parviennent immédiatement à un accord. La position d’ouvreur dans les négociations est stratégique car elle lui procure une part plus élevée du surplus du fait de sa capacité à exploiter la préférence pour le présent de son opposant. L’ouvreur est en mesure de proposer l’offre la plus défavorable dans l’ensemble de partages acceptables pour l’autre joueur, c’est-à-dire tous les partages qui lui rapportent plus que d’attendre et de proposer à son tour. Plus ce dernier est patient, plus l’ensemble des partages acceptables se réduit du fait de l’élimination des solutions les plus défavorables. La patience devient alors une vertu. Enfin, la solution de Rubinstein converge vers celle de Nash quand le temps entre une offre et une contre offre est très faible ou de façon équivalente quand les agents sont infiniment patients (taux d’escompte proche de l’unité).
Il importe de préciser que l’unicité de la solution de Rubinstein ne se généralise pas à des négociations à plus de trois joueurs. Selon Martin Osborne et Rubinstein (1990, section 3.13), Avner Shaked a été le premier à démontrer l’existence d’une infinité de solutions possible quand l’accord de tous les agents est nécessaire. Pour retrouver l’unicité dans un cadre multilatéral, Vijay Krishna et Serrano (1996) introduisent une règle de sortie stipulant qu’à la suite d’une offre de partage faite à tous les joueurs, ceux qui l’acceptent quittent la table des négociations avec leur dû. La négociation se prolonge avec ceux qui ont refusé l’offre avec un surplus amputé de ce qui a été versé. Krishna et Serrano montrent alors la correspondance avec la solution de Nash dans un cadre multilatéral. Sang-Chul Suh et Quan Wen (2006) démontrent ce résultat dans le cadre de négociations bilatérales emboîtées à la Rubinstein.

La négociation de Hart et Mas-Colell [4]

27La négociation se fonde sur le principe suivant : « Si mon offre est rejetée aujourd’hui, je peux demain ne plus être à la table des négociations ». A chaque étape, il existe un nombre donné de joueurs actifs et un joueur particulier est chargé de faire une offre de partage. A la première étape, un joueur particulier est choisi au hasard parmi les joueurs actifs. Au début du jeu, tous sont supposés actifs. Ce joueur particulier fait une offre. Si tous les autres joueurs acceptent, dans un ordre spécifié à l’avance, la négociation est finie sur la base de l’offre réalisée. Mais si l’un des joueurs refuse, la négociation passe à la seconde étape. Avec une probabilité donnée, le nombre de joueurs actifs reste le même et avec la probabilité complémentaire, le joueur qui a fait l’offre à la première étape 1 est exclu du jeu. Il devient alors passif et reçoit un paiement final nul. Un autre joueur est alors choisi au hasard pour une nouvelle offre et cette procédure se poursuit jusqu’à l’émergence d’un accord final. Hart et Mas-Colell (1996) montrent que le premier joueur tiré au hasard proposera un partage égal à la valeur de Shapley et que ce dernier sera immédiatement accepté par tous les autres agents.

La négociation de Serrano

28La négociation se fonde sur le principe suivant : « Si mon offre est rejetée aujourd’hui, je dois renégocier avec tous ceux qui ont refusé ». Pour garantir une solution unique, la négociation doit être impérativement menée par le joueur ayant la créance la plus élevée. Ce joueur fait une offre de partage aux autres joueurs qui répondent selon un ordre spécifié. Ceux qui acceptent l’offre quittent la négociation avec le montant proposé. Si un ou plusieurs joueurs refusent, des négociations bilatérales séquentielles se mettent en place et à la fin de la dernière renégociation, le joueur qui a assuré la conduite des négociations prend ce qui reste. Serrano (1995) montre que le plus important créancier proposera un partage égal au nucléole et que ce dernier sera immédiatement accepté par tous les autres agents.