1/ Angle et angle de contingence

91.1/ Comment caractériser les concepts d’angle, d’angle mixtiligne, d’angle de contingence etc. tels qu’ils se présentent dans la géométrie d’Euclide ? On n’a cessé de poser cette question, telle quelle ou partiellement, depuis l’antiquité grecque et l’antiquité tardive. Les mathématiciens et les philosophes arabes s’en sont emparés à leur tour, toujours dans le cadre de la théorie des grandeurs euclidiennes. Ainsi, à la fin du x ^esiècle et au début du siècle suivant, tandis que le mathématicien Ibn al-Haytham tentait en Égypte de répondre à cette question, Avicenne s’efforçait-il de la résoudre dans l’Orient musulman. Mais alors que le mathématicien inventait le premier modèle théorique, qui ne sera dépassé que par Newton quelques siècles plus tard [7], le philosophe se livrait à une tâche interprétative : dissiper les obscurités inhérentes à la notion d’angle. Lecteur de Simplicius et de Jean Philopon, travaillant avec Abū Sahl al-Masīhī (lui-même très versé dans les sciences hellénistiques), Avicenne ne pouvait ignorer les débats et controverses où s’étaient affrontés les anciens, et les modernes, à propos de l’angle. Au reste, si Avicenne a opté pour cette démarche d’élucidation, c’est délibérément, car il avait les moyens de discuter en géomètre de la notion d’angle. D’autre part, ce n’est pas là où elle se pose, c’est-à-dire dans la Géométrie d’al-Shifā’ où il propose une rédaction de la science des Éléments, le troisième livre notamment, qu’Avicenne aborde cette question, mais dans les livres logiques, physiques et métaphysiques de cet ouvrage. C’est donc bien en philosophe qu’il entend étudier l’angle, avec l’intention de trancher un débat qui se poursuivait depuis Proclus au moins à propos de la catégorie – ou des catégories – dont il relève ; et, précisément, c’est dans les Catégories d’al-Shifā’ qu’il engage cette tâche.

10 Avicenne y recherche une définition suffisamment générale pour englober les deux espèces d’angle, le plan et le solide. Il définit alors l’angle comme une grandeur, miqdār, sans d’ailleurs bien soupçonner les abîmes que re­couvre une telle définition. Il écrit : « […] Il est angle en tant que la grandeur est limitée par deux – ou des – limites qui rencontrent une limite [8] ».

11 Ainsi, l’angle plan est une surface bornée par deux limites, deux lignes, qui se rencontrent en un point, et il a deux dimensions (bu‛d), l’une élevée sur l’autre. L’angle solide est un solide limité par des surfaces qui se rencontrent en une ligne. L’angle en tant que grandeur relève donc de la catégorie de la quantité.

12 Cette définition englobe plusieurs éléments : une surface ou un solide ; les limites qui l’entourent ; des points où les lignes se rencontrent pour former l’angle plan ou des lignes où les surfaces se rencontrent pour former l’angle solide, ainsi que les modes de ces rencontres. Ces différents éléments se composent selon une hay’a, une configuration, qui, elle, détermine l’angle. Ce terme, hay’a, signifie à la fois une figure et une formation ou une détermination convenable. On parle ainsi de hay’a al-‛Ālam – la configuration de l’Univers –, de ‛ilm al- hay’a – l’astronomie comme « science de la configuration (sc. de l’univers) ». Le terme peut être rendu par « configuration », « organisation », voire « structure ».

13 Cette configuration, dit Avicenne, comme celle de courbe, rectiligne, triangulaire etc., relève de la catégorie de la qualité. Il écrit : « De même la configuration de l’angle est une qualité [9]. »

14 Avicenne soutient en fait dans les Catégories que l’angle relève de deux catégories au moins : la quantité et la qualité. Il est, si l’on peut dire, une organisation qualitative de la quantité ; ou encore une qualité appropriée à la quantité, comme le fait d’être rectiligne, circulaire, etc. Mais, si l’on s’attarde sur la définition de l’angle proposée, on doit encore y adjoindre deux catégories : la position et la relation. L’angle est donc un objet qui appartient à plusieurs catégories à la fois, ce qui le dote d’un mode d’existence plus formel que celui d’un objet qui relèverait d’une seule catégorie. On peut d’ailleurs voir là les raisons pour lesquelles Avicenne définit l’angle comme hay’a : il veut ainsi structurer ses divers éléments, les unifier et les munir de cette existence formelle [10].

15 Cependant, Avicenne savait mieux que quiconque que l’angle ne vérifie pas la définition euclidienne de la grandeur. Aussi a-t-il dû reprendre sa définition ; c’est ce qu’il fait dans la Métaphysique d’al-Shifā’ (Livre V, 9), lorsqu’il examine la notion de définition. Il prend l’exemple de la définition de l’angle aigu et de la catégorie dont il relève. Il distingue donc (à la suite du Stagirite aux livres Z et M de la Métaphysique  [11]) entre l’existence de l’angle aigu et sa définition. Il montre que, pour établir l’existence de cet angle, on n’a pas besoin de supposer qu’il est une partie d’un autre angle, ni de le comparer à l’angle droit et à l’angle obtus. Il est, écrit-il, « en lui aigu en raison de la position de l’un de ses deux côtés auprès de l’autre [12] ». Mais cette position en tant que telle nous ramène à la catégorie de la relation. En effet, l’inclinaison d’un côté sur l’autre, leur proximité ou leur écart etc., relèvent bien de cette catégorie. Faudrait-il, pour définir l’angle, faire intervenir une troisième catégorie ? La réponse d’Avicenne est que, même si cela « n’indique pas une relation en acte en raison de sa difficulté, il l’indique en puissance en introduisant une relation en acte [13] ». Si donc l’existence de l’angle aigu n’exige pas qu’il soit considéré comme une partie d’un autre angle, qu’en est-il de sa définition ? Comme on ne peut définir une chose par elle-même, on ne peut définir l’angle aigu par lui-même. Avicenne a donc recours à l’angle droit : on dira que l’angle aigu est formé de deux droites qui se rencontrent en un point, et dont l’inclinaison de l’une sur l’autre est plus grande que dans le cas de l’angle droit, où l’une est élevée sur l’autre. Pour justifier ce recours, Avicenne s’explique ainsi :

16 […] Il reste donc, nécessairement, que sa définition se fait à l’aide de l’angle droit, qui ne reste pas préservé si l’on incline <l’un de ses côtés>. C’est comme si l’on disait : l’angle aigu est celui qui procède de deux droites dont l’une s’élève sur l’autre et s’incline plus que la ligne d’un angle droit si ce dernier était réalisé, en sorte qu’il soit plus petit que l’angle droit si celui-ci existait. Et nous n’entendons pas par là que l’angle aigu est en acte objet de comparaison avec un angle droit qui l’excède – car alors, la définition sera fausse –, mais avec un angle droit pourvu de cette détermination <à savoir, s’il existait, de l’excéder>. Et l’angle droit pourvu de cette propriété, c’est en tant qu’il est en puissance elle-même en acte puissance qu’il est un angle droit en puissance. Car à la puissance [14] en tant qu’elle est puissance appartient une existence en acte. De fait, il arrive que la puissance soit elle aussi en puissance, à savoir la puissance éloignée de l’acte, puis elle devient en acte puissance prochaine. Ainsi, la puissance prochaine en vue de l’engendrement de l’homme, dans la nourriture, est en puissance, puis, quand elle se transforme en sperme [15], cette puissance prochaine en puissance passe à l’acte, alors même que son acte n’est pas existant [16].

17 Pour définir l’angle aigu, on le rapporte donc à l’angle droit, non pas en acte absolument, mais par la puissance « elle-même en acte puissance ». Cette solution pour le moins intuitive permet à Avicenne de tenir compte, pour définir l’angle aigu, de la catégorie de la relation en même temps que des autres catégories.

18 1.2/ Avicenne a éprouvé le besoin de consacrer à l’angle un écrit indépendant [17]. Dans ce mémoire, il commence par examiner systématiquement les différentes doctrines relatives à l’angle, pour ensuite les critiquer et formuler la sienne propre. Il s’agit donc d’un écrit analytique et critique qu’Avicenne a rédigé, comme il le dit lui-même, à la suite de ses entretiens avec Abū Sahl al-Masīhī. Son but est manifeste : élucider, certes, cette notion générale d’angle – plan et solide –, mais sans s’arrêter aux diverses espèces étudiées par les géomètres : rectiligne, curviligne, mixtiligne, concave, convexe etc. Tout se passe comme si, dans ce mémoire, Avicenne avait voulu éviter de reprendre les questions épineuses discutées par ses prédécesseurs et par ses contemporains, celles de l’angle curviligne et de l’angle de contingence. Non qu’il ignorât le sujet, puisqu’il l’évoque à plusieurs reprises lorsqu’il aborde la critique des doctrines atomistes. Dans la Physique d’al-Shifā’ par exemple, il écrit :

19 Parmi leurs arguments, l’existence d’un angle indivisible, celui qu’Euclide a posé comme le plus petit des aigus [18].

20 Dans son livre al-Mubāhathāt  [19], il évoque également l’angle de contingence dans un contexte semblable mais n’aborde pas ces questions difficiles, se bornant à affiner ses thèses sur l’angle en général.

21 Avicenne commence par énumérer les différentes thèses soutenues par ses prédécesseurs et ses contemporains sur les catégories dont relève l’angle. À cette occasion, il apporte deux témoignages remarquables, l’un à propos de Thābit ibn Qurra (826-901) et l’autre à propos d’Abū Hāmid al-Isfizārī [milieu du x ^esiècle]. De « celui qui considère que l’angle relève de la position », il écrit :

22 c’est Thābit ibn Qurra de Harrān, et un groupe d’anciens. Ce qui a entraîné cela, c’est que l’angle est engendré à partir du rapport des limites de la chose, ou des parties de sa limite les unes aux autres, dans <toutes> les directions ; et c’est la position. Par conséquent, l’angle relève de la catégorie de la position [20].

23 Ce témoignage, d’autant plus précieux que le texte de Thābit ibn Qurra ne nous est pas parvenu, nous informe que les positions de l’angle sont celles de l’étendue – ou de la surface – auxquelles se superposent ses parties. Ce sont les relations de ces parties les unes aux autres qui définissent la position.

24 Le second témoignage est tout aussi important. Avicenne nous apprend en effet que le philosophe Abū Hāmid al-Isfizārī soutenait que

25 l’angle est une certaine quantité, autre que la ligne, la surface et le solide, mais c’est une espèce de quantité qui est engendrée entre deux espèces. Ainsi, l’angle plan est engendré entre la ligne et la surface, […] De même, l’angle solide est entre la surface et le corps. [21]

26 Avicenne rejette les deux thèses, celle de Thābit ibn Qurra et (avec humeur) celle d’Abū Hāmid al-Isfizārī.

27 Au second chapitre de son mémoire, Avicenne se livre à l’examen critique des différentes thèses, de manière purement logique, c’est-à-dire sans recourir à la géométrie. Par exemple, pour critiquer la thèse selon laquelle l’angle relève de la catégorie de la qualité, il commence par dénoncer l’affirmation sur laquelle elle repose : l’angle admet similitude et non-similitude. C’est en effet un argument équivoque car, par « similitude et non-similitude », c’est en fait l’égalité et la non-égalité qu’on devrait avoir en vue, or l’on glisse ainsi vers la catégorie de la qualité.

28 Une fois achevé l’examen des cinq thèses, Avicenne est en mesure d’élaborer la sienne propre, ici encore en philosophe analytique. Il part de la définition la plus simple et communément admise : « L’angle est la surface (ou le solide) qui aboutit au point » ; puis il critique cet énoncé et l’enrichit graduellement pour parvenir à sa propre définition. Il commence par le trouver « bon », pour aussitôt remarquer qu’il n’est pas « vrai », car le point en soi n’est évidemment pas l’extrémité de la surface, mais l’extrémité de son extrémité. Force est alors de rectifier la définition pour admettre, dans le cas de l’angle plan, que la surface aboutit à ce qui aboutit au point. On dira alors que l’angle est une surface comprise entre deux extrémités qui aboutissent à une seule extrémité ; ou, plus concrètement, que l’angle est une surface comprise en acte par deux lignes qui se joignent ou qui se touchent.

29 Mais cette nouvelle définition, comme Avicenne le remarque lui-même, est équivalente à celle dont il est parti, même si elle est plus explicite et plus claire. Elle n’est donc pas plus satisfaisante, pour deux raisons au moins. D’une part, elle n’est pas assez générale pour valoir pour tous les angles – chacun sait que l’angle solide n’a pas pour extrémité un point, mais une ligne. D’autre part, elle ne permet pas de distinguer l’angle des figures telles que les triangles, les carrés etc., qui elles aussi aboutissent à un point.

30 Il va donc falloir modifier la définition pour qu’elle englobe les deux sortes d’angles, et lui adjoindre une propriété spécifique qui permette de distinguer l’angle des autres figures géométriques. Cette démarche amène d’abord Avicenne à critiquer deux autres définitions de l’angle, qu’il finit par écarter. La première, qui évoque celle d’Aghānīs (membre du cercle néoplatonicien de Simplicius), conçoit l’angle comme une grandeur ayant plus d’une dimension, qui aboutit à un point. Avicenne l’écarte : elle conviendrait tout au plus au seul angle plan et n’est donc pas générale.

31 Selon la seconde définition, « l’angle est une surface limitée par une seule ligne qui est déviée en un point [22] ». Avicenne montre qu’elle comporte un ajout tel que, si on l’ôte, on retrouve la première définition. On sous-entend effectivement dans cette seconde définition que « la ligne limite la surface ; donc, ou bien cette ligne est deux lignes unifiées en un point, ou bien réellement une ligne [23] ». Dans une longue discussion sur l’un (al-wāhid), l’unifié (al-muttahid ) et l’union (al-ittihād ), Avicenne montre que les deux branches de l’alternative sont l’une et l’autre impossibles. En fait, dans cette définition, on ne fait intervenir qu’une seule ligne, mais celle-ci est brisée ; il en résulte deux lignes que l’on unifie en une seule et cette ligne n’est pas une seule ligne, mais bien l’unification de deux lignes. On est donc en présence d’un sophisme.

32 Au cours de cette analyse, Avicenne aborde une dernière question, celle de savoir si le point de l’angle – celui sur lequel se rencontrent les deux lignes – est un seul point ou deux points, c’est-à-dire un point simple ou un point double. Cette question avait été agitée par les mathématiciens, à l’instar d’Ibn al-Haytham, à propos du point de contact de la tangente [24]. Avicenne écrit :

33 Mais, s’il y a deux points, cela est plus évident, et c’est là une opinion à laquelle ont souscrit bien des gens savants. Ils ont alors imaginé qu’il n’est pas possible que les angles soient des points uniques, car il n’est absolument pas possible que le point ait deux côtés : il n’est pas l’extrémité de deux lignes. Ici, nous n’avons pas besoin de prouver la vérité ou la fausseté de cette opinion car, pour connaître cela, il faut davantage d’explications que ce que nous avons [25].

34 Ainsi, il écarte la question importante de la multiplicité du point de rencontre ou de contact. À l’aide donc d’une analyse conceptuelle et critique, Avicenne s’efforce de déterminer les éléments nécessaires à la définition de l’angle plan en général. Ces éléments sont ceux déjà soulignés dans les Catégories :

35

1. Deux lignes dont l’union se fait selon une certaine configuration (hay’a).
2. Cette configuration elle-même.
3. Une surface limitée par les deux lignes qui lui sont extérieures.
4. La surface et les deux lignes comme une entité composée.

36 On a donc quatre éléments inséparables pour définir l’angle plan ; trois d’entre eux appartiennent à la catégorie de la quantité et un seul à la catégorie de la qualité. Ce dernier est précisément la configuration selon laquelle se réunissent les deux lignes, qui, comme toutes les autres configurations, relèvent de la qualité. En un mot, l’angle en tant qu’angle, c’est-à-dire indépendamment de toute autre détermination, est un objet composé d’une surface comprise par des limites et appartient de ce fait à la catégorie de la quantité. Mais cette limitation s’opère selon une certaine configuration, laquelle appartient à la catégorie de la qualité. Ainsi, le problème traité par Avicenne dans ce texte est en fait celui de la définition d’un objet complexe tel que l’angle, comme on l’a vu précédemment.

37 1.3/ Quant à l’angle de contingence, Avicenne l’évoque dans al-Shifā’ et dans al-Mubāhathāt lors de la discussion de la thèse des atomistes. Considérons seulement deux exemples ; l’un porte sur la divisibilité de cet angle et l’autre sur sa comparaison aux autres angles.

38 Contrairement aux atomistes, Avicenne soutient que l’angle de contingence est divisible, non par des droites mais par des arcs de cercle. Il écrit :

39 […] or il est divisible et il y a en puissance un nombre infini d’angles plus petits que lui. On a, en effet, établi la démonstration qu’il n’y a aucun angle rectiligne aigu plus petit que celui-ci. Mais dire qu’il n’existe aucune chose, ayant une telle propriété, plus petite qu’une telle chose, cela ne prouve pas qu’il n’existe pas du tout une chose plus petite qu’elle. Toute personne qui a acquis une connaissance des principes de la géométrie sait que cet angle est divisible indéfiniment par les arcs [26].

40 Remarquons que cet argument reposant sur la divisibilité par les arcs se trouve déjà chez Jean Philopon [27].

41 Avicenne revient à l’angle de contingence lors de la discussion de l’existence de l’égal comme relevant de ce qui admet le plus grand et le plus petit. Il écrit :

42 Nous connaissons avec certitude que l’angle rectiligne aigu est plus grand qu’un angle formé par un arc et une droite [l’angle de contingence] et plus petit qu’un autre [l’angle formé par un diamètre et la circonférence], et il est impossible que l’un des angles rectilignes aigus soit égal à l’une et à l’autre sorte. Nous ne disons pas que l’angle rectiligne aigu est plus grand que l’un des deux angles [l’angle de contingence] car l’angle curviligne [de contingence] existe en acte dans celui-là plus l’excédent d’un angle ; tandis que l’autre [celui formé par un diamètre et la circonférence] est plus grand que le rectiligne <aigu>, car le rectiligne se trouve en lui plus un excédent [28].

43 Notons que, cette fois encore, la question est traitée par Jean Philopon dans son commentaire des Seconds Analytiques  [29].

44 Lors de sa rédaction de la Physique d’al-Shifā’, Avicenne était donc au fait des discussions sur l’angle de contingence et connaissait tout au moins celles de Jean Philopon. Fort de ces lectures, Avicenne a consacré un écrit à l’angle de contingence, dont le contenu a été conservé par Qutb al-Dīn al-Shīrāzī. Voici en quels termes al-Shīrāzī rapporte les propos tenus par Avicenne dans cet écrit perdu :

45 On lui doit en effet un traité selon lequel l’angle qui est formé de la circonférence et de la tangente, comme l’angle CAE, n’a pas de quantité, devenant pour lui un angle selon la qualité seulement – car il est à partir du contact de deux lignes par leur inclinaison sur une surface et qui ne se rejoignent pas sur leur prolongement – pour indiquer que l’angle CAB, qui est entre la circonférence et le diamètre, est droit, fixe ; étant donné que, s’il était moindre qu’un droit, alors l’angle CAE aurait une quantité et un rapport à l’angle EAB, qui est droit.

Figure 1.

Figure 1.

46 Ainsi, si l’angle CAE était dupliqué de nombreuses fois, il serait plus grand que l’angle EAB car, entre les critères des grandeurs dont les unes ont des rapports aux autres, il y a que, si leurs doubles sont multipliés, les unes excéderont les autres.

47 Soit l’angle EAH et que les doubles aient pour nombre I. Si donc on divise l’angle droit EAB par I, on obtient un angle plus petit que l’angle CAE. Ceci est absurde car il est plus petit que tout angle aigu. Ainsi, les doubles de l’angle CAE, même si on les multiplie, n’excèdent pas l’angle EAB ; et s’ils ne l’excèdent pas, ils ne seront pas égaux à une partie ou à une certaine portion de lui, car toute partie ou certaine portion, doublée, sera plus grande que le tout. Mais, puisque, comme autre critère entre deux grandeurs différentes ayant des rapports les unes aux autres, il y a que, si on retranche de la plus grande d’entre elles etc., alors l’angle CAE, s’il avait une quantité, il aurait un rapport à l’angle droit EAB. Si donc on retranche de l’angle EAB plus grand que sa moitié etc., alors l’angle CAB, qui est entre la circonférence et le diamètre, est droit et complet ; et si on prolonge le diamètre du cercle, alors l’angle entre la circonférence et <le segment> mené du diamètre est aussi droit, pour compléter deux droits. Ce qu’il fallait démontrer.

48 Telle est la somme de ce qu’il a mentionné dans ce traité ; elle est trop évidemment corrompue pour que cela ne se voie pas, et bien plus que ce qu’on peut énumérer. Mais ceci est sans ambiguïté pour un imbécile, pour ne pas parler d’un intelligent. Quant à la fausseté de son affirmation selon laquelle l’angle CAE n’a pas de quantité, c’est parce que la sensation le dément, et aussi l’intellect, puisqu’il admet d’être divisé à l’infini par les lignes arquées. Quant à la fausseté de la commensurabilité, c’est par un rien ; nous n’admettons pas, en effet, que, si l’angle CAE avait une quantité, il aurait un rapport à l’angle droit EAB, étant donné que tout ce qui a une quantité n’a pas un rapport à tout ce qui a une quantité ; sinon, la ligne aurait un rapport à la surface, par exemple. Mais ce qui a une quantité a un rapport à ce qui a une quantité, s’il est de son genre. Mais, s’il n’est pas de son genre, alors c’est non. Or la démonstration de la non-homogénéité de l’angle de contingence à un autre s’est présentée plus d’une fois [30].

49 Avicenne semble s’écarter ici quelque peu de la thèse soutenue dans al-Shifā’. On vient d’y lire, en effet, que l’angle de contingence est divisible en puissance à l’infini par les arcs des cercles, et qu’il est donc, en puissance tout au moins, une quantité. Or, dans l’écrit que nous évoquons, Avicenne déclare que l’angle de contingence n’a pas de quantité, mais qu’il n’est angle que selon la qualité. Il propose une démonstration dont l’idée principale est que l’angle CAB est droit et que, par conséquent, l’angle de contingence CAE n’a pas de quantité puisque l’angle BAE est, lui aussi, droit. Comme l’avait remarqué al-Shīrāzī, cette démonstration est fautive, de son point de vue selon lequel il existe des grandeurs non archimédiennes non nulles. En fait, Avicenne voulait montrer que l’angle de contingence est une configuration particulière qui, à ce titre, relève de la catégorie de la qualité.

50 Tous ces thèmes développés par Avicenne seront repris par les mathématiciens et les philosophes avicenniens, comme Nasīr al-Dīn al-Tūsī, Qutb al-Dīn al-Shīrāzī, Kamāl al-Dīn al-Fārisī et, bien plus tard, l’astronome al-Khafrī [31] et le philosophe Sadr al-Dīn al-Shīrāzī [32].

2/ La quadrature du cercle

51L’étude de l’angle de contingence opère un coup de sonde dans la connaissance mathématique d’Avicenne, en révélant comment le philosophe pense pouvoir venir à bout d’une difficulté mathématique armé des seuls moyens de la philosophie. L’analyse logique et critique permet à ses yeux, en identifiant les causes de cette difficulté mathématique, de la dissiper. Dans le cas de l’angle, l’analyse a permis de ramener le problème à celui des grandeurs et des catégories, pour conduire finalement à la notion de l’angle comme « configuration ». Cette notion sera ensuite investie par les mathématiciens avicenniens, dont certains, inspirés par les écrits d’Ibn al-Haytham, l’infléchiront vers une théorie de la « configuration » comme ensemble de relations structurées, en liaison avec la mathématisation alhazenienne du concept de lieu [33]. Quant à l’angle de contingence, l’analyse n’a pas mené à la solution de la difficulté ; elle n’a fait que l’annuler.

52 Mais Avicenne ne réserve pas cette démarche à l’étude de l’angle et de l’angle de contingence. Il l’ajuste à d’autres problèmes mathématiques, comme celui de la quadrature du cercle, laquelle porte également sur la comparaison des grandeurs non-homogènes. Chacun sait qu’Aristote a abordé ce problème plus d’une fois lors de sa critique des tentatives de quadrature d’Hippocrate de Chio, d’Antiphon et de Bryson. Ammonius, le maître de Simplicius, y revient. Ce dernier écrit :

53 Notre maître Ammonius a dit qu’il n’était peut-être pas nécessaire, si cela s’est trouvé être le cas pour les nombres, que cela se trouve être le cas aussi pour les grandeurs. Ce sont des grandeurs non homogènes, en effet, que la droite et l’arc de cercle. « Il n’y a rien », dit-il, « de surprenant, à ce qu’on ne trouve pas de cercle égal à un polygone rectiligne, si du moins cela se trouve être le cas aussi pour les angles. De fait, un angle rectiligne ne saurait être égal ni à l’angle du demi-cercle ni à celui qui est de reste par rapport à l’angle droit, qu’on appelle corniculaire. C’est la raison pour laquelle », dit-il, « ce théorème, qui a fait l’objet des recherches d’hommes si illustres, n’a pas reçu de solution jusqu’à présent, même d’Archimède en personne ». Pour ma part, je disais à l’encontre de mon maître que s’il est vrai qu’une lunule – celle sur le côté du carré – peut être carrée (cela a fait l’objet d’une déduction où n’entre pas de faux-semblant) et si la lunule est homogène au cercle du fait qu’elle est composée d’arcs de cercle, qu’est-ce qui empêche que le cercle aussi, pour autant qu’il est en lui, soit carrable ? Mais si la surface de la lunule est dissemblable à celle du cercle en raison des cornes, alors toute lunule sera aussi dissemblable au polygone rectiligne. Mais pourtant, la lunule qui entoure le côté du carré se laisse carrer. Cependant, les angles, ceux du demi-cercle comme les corniculaires, composés les uns comme les autres d’un arc de cercle et d’une droite, sont non seulement non homogènes à l’angle rectiligne, mais ils lui sont même incommensurables. Par conséquent, ce qui est dit n’est pas suffisant, je pense, pour infirmer la découverte de la quadrature [34].

54 Cette fois encore, pour illustrer la différence entre le style du mathématicien et celui du philosophe, confrontons brièvement l’étude d’Ibn al-Haytham et celle d’Avicenne.

55 Dans son étude, Ibn al-Haytham avait éliminé la singularité du problème en l’intégrant à un domaine plus vaste, celui de la quadrature des lunules, des surfaces et des solides courbes. Pour la quadrature du cercle, il commence par démontrer rigoureusement à l’aide de la méthode d’exhaustion que, pour un cercle de diamètre d inscrit dans un carré d’aire A, il existe un rapport k entre

56 l’aire du cercle et l’aire du carré tel que

57 n’a pas une valeur déterminable.

58 Face à cette valeur transcendante, le mathématicien engage une profonde réflexion sur la question d’existence en mathématiques et sur le rapport entre existence et construction. Bref, pour construire un modèle mathématique de cette quadrature, il commence par déplacer les frontières même du domaine des objets considérés.

59 À son tour, Avicenne, dans son livre sur La démonstration d’al-Shifā’, reprend l’exemple de la quadrature du cercle, mais en logicien-philosophe. Fidèle à sa conception de la tâche philosophique, il ne cherche pas à rectifier la démonstration de Bryson déjà critiquée par Aristote [35], ni à démontrer que cette quadrature est, ou non, possible ; son projet est d’exhiber la cause logique qui a empêché cette preuve de Bryson d’être un syllogisme démonstratif. Dans le style qui est le sien, il commence par évoquer le principe de cette preuve et les principales critiques qui lui ont été adressées. Bryson voulait démontrer que l’aire du cercle est plus grande que l’aire de tout polygone inscrit et plus petite que l’aire de tout polygone circonscrit, pour conclure ensuite que cette aire est égale à celle d’un polygone plus grand que tout polygone inscrit et plus petit que tout polygone circonscrit, et que par conséquent il existe un polygone dont l’aire est égale à celle du cercle [36].

60 Ce qui, évidemment, fait problème dans cette preuve, c’est qu’elle n’établit pas l’existence de ce polygone intermédiaire dont l’aire devrait être égale à celle du cercle. Mais ce n’est pas pour cette raison, semble-t-il, qu’Aristote l’avait dénoncée comme « sophistique » : il lui reprochait de s’appuyer sur des prémisses qui, même si elles sont vraies, ne remplissent cependant pas les autres conditions requises par une véritable démonstration. Pour avoir un syllogisme démonstratif, il faut en effet que les prémisses soient du même genre que ce qu’on cherche à démontrer, c’est-à-dire, en l’occurrence, qu’elles soient géométriques. Or les prémisses de Bryson sont communes à beaucoup d’autres choses : nombres, temps, couleurs, températures etc.

61 Aristote revient à cette critique à plusieurs reprises : dans les Premiers Analytiques II.25, les Seconds Analytiques I.9, les Réfutations sophistiques 11 – autant de textes qu’Avicenne connaissait dans leur traduction arabe. [37] Avicenne émet cependant des réserves sur cette critique et rappelle qu’il suffit de reformuler les prémisses de Bryson pour remédier à ce défaut.

62 Le raisonnement de Bryson, rappelons-le, consiste à considérer le cercle comme un intermédiaire entre les polygones inscrits, en nombre infini en puissance, et les polygones circonscrits, en nombre infini en puissance. Par « intermédiaire », on entend ce qui est plus grand que tous les inscrits et plus petit que tous les circonscrits. Bryson conclut qu’il existe un polygone plus grand que tous les inscrits et plus petit que tous les circonscrits, que donc le cercle et ce polygone ont des aires égales. Or, si de fait le cercle est plus grand que tous les polygones inscrits et plus petit que tous les polygones circonscrits, il n’est pas lui-même un polygone : la borne supérieure d’un ensemble n’est pas toujours son plus grand élément.

63 Avicenne souligne toutefois que, pour que cette démonstration soit valable, il faut supposer que le nombre des polygones – aussi bien inscrits que circonscrits – est infini, à moins que l’on puisse disposer ces polygones en deux suites dénombrables dont les termes soient, en plus, contigus ; ce qui est impossible pour les figures géométriques :

64 Si on suppose que les figures sont des figures déterminées, sans supposer qu’elles sont en nombre infini, les deux intermédiaires (le polygone dont l’aire serait égale à celle du cercle et le cercle) ne seront pas nécessairement égaux ; à moins de disposer ces figures selon un ordre continu (tartīb muttasil ), ce qui n’est pas possible pour les figures ; car, pour toute figure que nous supposons plus petite que le cercle, il y a une autre figure plus grande qu’elle et une figure plus petite que le cercle. De plus, il nous est nécessaire que les inscrits et les circonscrits soient des figures en nombre infini. Dès lors, il (Bryson) s’est trompé de deux manières : l’une dans la démonstration et l’autre dans le recherché [38].

65 Une telle exigence suppose qu’au préalable, comme l’avait souligné Aristote, les termes de la prémisse de Bryson soient géométriques. Mais, pour Avicenne, l’essentiel de l’erreur de la démonstration de Bryson n’est pas là. Si en effet ce dernier s’est trompé, c’est parce qu’il a considéré des choses en nombre infini en puissance et les a posées comme prémisses. Or, ce qui est en puissance, écrit-il, « n’est pas parmi les accidents essentiels des figures, ni parmi les accidents essentiels du genre de la quantité [39] ».

66 Quant à la seconde erreur de Bryson, celle qui touche au recherché, elle est du même genre que la première : le polygone dont l’aire serait égale à celle du cercle n’existe qu’en puissance et nullement en acte, et il est donc inconnu. Les objets géométriques « […] existent en acte dans l’imagination et l’intellect [40] ».

67 Telles sont, selon Avicenne, les raisons de la difficulté de la quadrature du cercle proposée par Bryson et discutée par Aristote.

Modèles mathématiques et recherches philosophiques

68 Recourir aux arguments mathématiques lors de l’étude des problèmes philosophiques est, comme on sait, une pratique aussi ancienne que la philosophie elle-même. Il suffit de parcourir les ouvrages logiques, mais aussi physiques et métaphysiques d’Avicenne pour constater que ces arguments s’y présentent, sous différentes formes et à plusieurs niveaux de la réflexion. Ils vont de la simple évocation d’un théorème connu à un calcul de congruences, par exemple, ou encore à l’emprunt ou à la construction d’un modèle mathématique pour étayer une thèse philosophique. C’est cette dernière démarche qui nous intéresse ici. Nous ne considérerons qu’un seul thème : la théorie des grandeurs, avec la critique des thèses infinitistes qui lui est inhérente. Mais, avant d’examiner quelques-uns de ces modèles, rappelons trois traits qui les distinguent et qui expliquent leur portée comme leurs limites.

69 Les modèles, empruntés ou construits, ont été façonnés dans les termes de la géométrie euclidienne, admettant donc le postulat des parallèles et la notion commune : « Le tout est plus grand que la partie. » Mais, à la différence d’Aristote et d’Euclide lui-même, et à la suite des géomètres de son temps, tels al-Qūhī et al-Sijzī, Avicenne n’hésite pas à introduire le mouve­ment dans ces modèles géométriques.

70 Un second trait caractérise ces modèles lorsqu’il s’agit de problèmes cosmologiques : Avicenne commence par réduire ceux-ci à des problèmes géo­- métriques où intervient l’infini, avant d’élaborer un modèle cinématique pour critiquer les infinitistes.

71 Enfin, lorsqu’il s’agit de l’infini, Avicenne ne considère que son existence et jamais la question de sa mesure – alors que cette dernière question a été abordée, pour la première fois dans l’histoire, par son prédécesseur, le mathématicien Thābit ibn Qurra.

72 Au cours de ces études analytiques et critiques, Avicenne parvient à avancer des arguments valides pour qui s’en tient au cadre de cette géométrie euclidienne. Il faudra attendre les débuts du xix ^esiècle pour pouvoir montrer ce qui leur fait défaut. On comprend que les successeurs d’Avicenne, et non des moindres puisqu’on y compte Nasīr al-Dīn al-Tūsī, aient repris ces modèles sans rien y trouver à redire ; et lorsque ceux qui sont hostiles à Avicenne, comme Abū al-Barakāt al-Baghdādī ou Ibn Ghaylān, avancent des critiques à leur endroit, celles-ci se retournent contre leurs auteurs [41].

73 Nous allons commencer par examiner deux modèles géométriques avant d’en venir aux modèles cosmologiques.