2.1 – Forme générale des processus mixtes de Lévy

6Le cours de l’actif support des options étudiées est représenté par une exponentielle d’un processus de Lévy particulier qui est la somme d’un mouvement Brownien arithmétique et d’un processus de Poisson composé. Un tel processus est appelé processus mixte saut-diffusion, ou plus simplement processus mixte de Lévy.

7La loi particulière de la taille des sauts conduit à retenir trois processus particuliers. Formellement, le cours du sous-jacent de l’option à l’instant t s’écrit :

8

9où S₀ est le prix à l’instant 0 de l’actif et

10

11W est un mouvement brownien standard avec W₀ = 0. Les constantes a et ? > 0 constituent la dérive et la volatilité de la partie diffusive de la dynamique de cours. N est un processus de Poisson simple de paramètre ?. Les variables aléatoires (J_i) sont indépendantes et identiquement distribuées et représentent la taille des sauts pouvant survenir. Nous noterons ?_J(u) = E[e^iuJ], la fonction caractéristique de la loi de ces sauts. Les processus W, N et la suite de variables aléatoires (J_i) sont supposés indépendants. Nous pouvons déduire directement de l’équation (1) la fonction caractéristique de la variable aléatoire X_t

12

13L’exposant caractéristique associé au processus de Lévy X s’écrit donc :

14

15Nous allons maintenant présenter les trois processus mixtes considérés dans cet article : le processus mixte à sauts gaussiens (Merton), celui à sauts de loi exponentielle double (Kou) et un nouveau processus généralisant le précédent en introduisant des sauts multiples.

2.2 – Le modèle à sauts gaussiens de Merton

16Dans ce modèle un saut est représenté par la variable aléatoire Y qui fait passer le prix de l’actif de S_t à YS_t. Nous voyons que Y – 1 représente alors le pourcentage de changement de prix lorsqu’un saut de Poisson se produit. L’espérance mathématique de ce pourcentage est notée par ? = E(Y – 1). L’intensité du processus de Poisson est ?. Merton [1976] écrit :

17

18que l’on peut réécrire

19

20En posant J_i = ln(Y_i), les variables J_i suivent la même loi normale.

2.3 – Le modèle à sauts exponentiels doubles de Kou

21Dans le modèle de Kou [2002], le prix de l’actif a la même expression que celle donnée dans l’équation (3). De nouveau, la partie exponentielle peut être mise sous la même forme que l’équation (1) en posant .

22À la différence du modèle de Merton, les sauts J suivent cette fois-ci une loi exponentielle double asymétrique. Plus précisément,

23

24où p ? 0, q ? 0, p + q = 1 et ?₁ et ?₂ sont des variables aléatoires exponentielles de moyenne 1/?₁ et 1/?₂ respectivement, avec ?₁ > 0 et ?₂ > 0.

25La fonction caractéristique de cette loi de sauts s’écrit de la façon suivante

26

27Cette fonction caractéristique généralisée (u ? C) est bien définie à la condition que u soit dans la bande de régularité définie par la contrainte suivante sur sa partie imaginaire :

28

29Habituellement, la fonction caractéristique est en effet définie pour u réel et par conséquent, il n’y a pas de problème d’existence dans ce cas. La condition (6) garantit la convergence des intégrales concernées [1].

30L’espérance de Y se déduit de (5) :

31

32Par la suite, nous choisirons ?₁ > 1 pour garantir l’existence de l’espérance de Y. Ceci signifie en particulier qu’un saut de prix positif ne peut excéder 100 % en moyenne, ce qui reste une contrainte raisonnable pour le modèle.

2.4 – Extension du modèle de Kou

33Nous proposons maintenant un nouveau modèle diffusif avec sauts qui étend le modèle de Kou.

34Soit une suite de variables aléatoires (?_i)_i?P?N de loi exponentielle telles que ?_i ?(?_i), où P et N sont deux ensembles d’indices disjoints et où ?_i > 0 pour tout i. Donnons-nous aussi une suite de nombres positifs (p_i)_i?P?N telle que .

35Au lieu de la loi exponentielle double suivie par les sauts dans le modèle de Kou, nous proposons une loi exponentielle multiple pour la loi des sauts J :

36

37où {k₁, …, k_p} = P et {l₁, …, l_n} = N. L’ensemble d’indices P (respectivement N) regroupe les probabilités qu’a la variable aléatoire J de prendre une valeur positive (respectivement négative).

38Cette extension naturelle de la loi de sauts peut en fait aussi être vue comme un cas particulier de lois dites phase-type décrites en détail par Asmussen [2000]. Plus précisément ici, les sauts négatifs (respectivement positifs) suivent une loi hyperexponentielle H_n avec n (resp. H_p avec p) canaux parallèles.

39La fonction de densité associée aux sauts J s’écrit

40

41tandis que la fonction caractéristique associée à J s’écrit :

42

43qui est une fonction bien définie dans la bande de régularité suivante

44

45Nous voyons ici que le modèle de Kou n’est qu’un cas particulier du modèle plus général que nous présentons ici, en prenant |P| = 1 et |Q| = 1.

46De même que dans le modèle de Kou, nous nous assurons de la contrainte sur l’espérance

47

48en vérifiant que pour tout k ? P, ?_k > 1 et donc qu’aucun saut de prix positif ne puisse dépasser 100 % en moyenne.

3.1 – Cadre général

49Les hypothèses classiques suivantes sur le fonctionnement du marché sont adoptées dans cet article. Le marché financier est supposé être parfait. Les actifs peuvent être échangés en n’importe quelle quantité, sans coûts de transaction ni imposition. Les ventes à découvert sont autorisées. Le taux d’intérêt est le même tant pour le prêt que pour l’emprunt. Il est instantané, supposé constant et égal à r. Nous disposons aussi sur ce marché d’un actif sans risque B. Sa valeur à chaque instant est égale à B_t = B₀ exp(rt).

50Nous notons S = {S_t, t ? 0} le processus de prix de l’actif sous-jacent considéré. Nous avons aussi une option européenne écrite sur cet actif sur le marché et nous supposons que l’action ne distribue pas de dividendes pendant la vie de l’option.

51Notons (F_t)_{t ? 0} la filtration naturelle générée par le processus S. Nous dirons qu’une mesure de probabilité Q définie sur (?, (F_t)_{t ? 0}) est une mesure martingale équivalente si :

• Q est équivalente à la mesure historique P, c’est-à-dire que les évènements négligeables sont les mêmes sous les deux mesures ;
• le processus de prix actualisé e^{– rt}S_t est une martingale sous Q par rapport à la filtration (F_t)_{t ? 0}.

52Le choix de la mesure risque-neutre d’évaluation dans le cas des marchés incomplets reste un problème ouvert même si plusieurs axes de recherche ont déjà été explorés dans ce sens. À ce propos, le lecteur pourra se reporter aux tours d’horizon effectués par Cont et Tankov [2004a] ou Le Courtois et Quittard-Pinon [2007]. Nous supposerons par la suite que la dynamique du sous-jacent suit un modèle diffusif avec sauts sous une mesure risque-neutre Q donnée. Cette mesure est arbitraire et nous ajusterons les paramètres de telle sorte que l’évaluation obtenue avec celle-ci soit la plus proche possible des prix de marché.

3.2 – Condition martingale pour les prix actualisés

53Par définition d’une mesure martingale équivalente Q, nous savons en particulier que le processus de prix actualisé est une martingale sous cette mesure. Ainsi, pour t > 0, nous avons

54

55De cette égalité nous tirons la condition suivante sur l’exposant caractéristique du processus X sous la nouvelle mesure Q :

56

57Cette condition que nous appellerons condition mesure martingale équivalente doit être vérifiée par tout modèle diffusif avec sauts sous une mesure risque-neutre. Nous pouvons maintenant passer à l’évaluation d’actifs contingents proprement dite.

3.3 – Les formules quasi-explicites

3.3.1 – Solution de Merton

58En posant ?? = ?(1 + ?), la formule semi-explicite de Merton, ici pour une option européenne de vente s’écrit :

où B S P (S, K, ?, r_n, 0, ?²_n) est le prix Black et Scholes d’une option de vente européenne avec un taux et une variance , où ? = ln(E(Y)) et ?² est la variance des sauts J, notée aussi Var(J). Nous pouvons interpréter cette série comme la somme de prix d’options européennes classiques sachant que n sauts de Poisson sont survenus, pondérée par la probabilité qu’une variable aléatoire de Poisson prenne la valeur n.

3.3.2 – Solution de Kou

59Notons la probabilité

60

61Kou [2002, p. 1098] donne une expression algorithmique assez compliquée de cette fonction ?. Le rendement X_t s’écrit comme dans l’équation (1) avec un processus de Poisson N de paramètre ? et des sauts J vérifiant (4). Kou montre que le prix d’une option européenne d’achat dans ce modèle s’écrit

62

63où et ??₂ = ?₂ + 1. Les paramètres structurels ?, ?₁, ?₂, ? et p sont les paramètres du processus de Kou supposé suivi dans l’univers risque-neutre par le cours de l’actif support. Si le prix de l’option semble s’écrire de façon concise, la queue de probabilité ? s’écrit de fait comme une double somme infinie dont chaque terme nécessite l’évaluation d’une fonction de la suite de fonctions spéciales Hh_n(x) décrites par Abramowitz et Stegun [1974, p. 691]. Si nous avons ici aussi une formule semi-explicite comme dans le cas du modèle à sauts gaussiens de Merton, nous verrons que la présence de ces fonctions spéciales rend cette formule très coûteuse en pratique.

3.4 – Évaluation par approche de Fourier

64Soit un actif contingent avec un payoff modélisé par g comme F(S_T, T) = g(X_T), où F représente le prix du produit dérivé, ici avec un prix du sous-jacent égal à S_T à l’échéance T. L’approche que nous allons exposer se base sur l’utilisation des transformées de Fourier généralisées. Elle est dans la droite ligne de l’approche proposée par Boyarchenko et Levendorski? [2002] dans le cadre plus général des modèles avec des sous-jacents à processus de Lévy exponentiels. Conceptuellement, l’utilisation des transformées de Fourier généralisées est beaucoup plus satisfaisante que l’approche utilisée par Carr et Madan [1998] dans laquelle ils doivent modifier de façon ad hoc le prix de l’option en fonction du prix d’exercice pour des raisons d’intégrabilité. Le lecteur trouvera en annexe le développement détaillé de l’approche utilisée ici.

4.1 – Calibrage de modèles

66Le calibrage consiste à déterminer à partir des données de marché les paramètres du modèle qui permettent le mieux de retrouver les prix du marché, en particulier ceux d’options européennes liquides. Ce problème est connu pour être un problème inverse mal posé. Cependant, plusieurs solutions restent disponibles.

67Une des méthodes les plus souvent utilisées dans ce cadre est la méthode des moindres carrés. Elle consiste à résoudre le problème suivant : chercher ?* tel que

68

69où ? représente le vecteur des paramètres du modèle à calibrer, N le nombre de prix d’options sur lesquels nous calibrons, C^?(T_i, K_i) le prix de l’option européenne de maturité T_i et de prix d’exercice K_i selon le modèle et C_i le prix de l’option correspondante relevé sur le marché.

70Cela revient à minimiser une fonction objectif qui est l’erreur d’évaluation quadratique du modèle considéré sur l’échantillon de prix retenu. La recherche est arrêtée quand le changement de valeur relatif de la fonction objectif est en dessous d’un seuil de tolérance tol fixé préalablement.

71Afin de tenir compte de la valeur intrinsèque de chaque option, une pondération est ajoutée en fonction de la distance à la monnaie de chaque produit. Le système adopté dans cet article va donner un plus grand poids aux options dans la monnaie et fortement amoindrir celles très en dedans ou en dehors de la monnaie. Plus précisément, pour l’option d’achat de prix d’exercice K_i, le poids ?_i affecté à l’écart entre prix observé et prix théorique dans le problème (18) s’écrit :

72

73où a ? 0. Le cas a = 0 revient au cas sans système de pondération où tous les écarts de prix auraient la même importance. Le choix a = 10 a été adopté dans toute la suite. Le critère choisi conduit à retenir un ?* défini par [2]

74

75Pour juger de la qualité des divers modèles diffusifs avec sauts, nous utilisons la méthode des moindres carrés simple qui fournit déjà une indication précieuse de la qualité des ajustements.

76Les mesures d’erreur de modèle que nous choisissons seront la racine de l’erreur quadratique moyenne pondérée définie par

77

78où , et l’erreur absolue moyenne pondérée définie par

79

80Par ailleurs, les formules suivantes permettent de calculer la variation quadratique totale propre à chaque processus calibré. Ainsi, si la variation quadratique par unité de temps du processus uniquement diffusif se résume à V_BSM = ?², pour le processus utilisé dans le modèle de Merton, elle s’écrit

81

82Pour le processus du modèle de Kou, la variation quadratique totale par unité de temps s’écrit

83

84tandis que pour le processus à sauts exponentiels multiples, il vient :

85

86Nous allons maintenant présenter les données de marché à partir desquelles nous allons procéder au calibrage.

4.2 – Description des données

87Nous utiliserons deux jeux de données dans cette section. Le premier est celui utilisé par Andersen et Andreasen [2000] tandis que le second provient de Schoutens [2003]. Les deux jeux de données portent sur l’indice S&P 500. Les options écrites sur ce sous-jacent sont parmi les options européennes les plus liquides. Les maturités concernées sont les 3 mois les plus proches auxquelles s’ajoutent les trois échéances les plus proches tirées du cycle trimestriel calé sur le mois de mars. Le jour d’exercice éventuel de l’option de chacune de ces échéances est fixé au troisième vendredi du mois concerné ou le jour ouvrable le plus proche précédent si ce vendredi est férié [3]. Les opérations d’achat et de vente sur ces options peuvent être conduites jusqu’à la veille du jour d’exercice.

88Le premier jeu de données a été recueilli en avril 1999. Les prix d’exercice sont exprimés en pourcentage de la valeur du sous-jacent. Les maturités varient de 0.08 à 10 ans. Le taux d’intérêt déjà utilisé par Schoutens sur ce jeu de données était de 5.59 %. De même, l’indice avait un taux de dividende continu de 1.14 %, valeur que nous conservons. Les prix des options européennes d’achat sur l’indice recueillis étaient exprimés à l’origine au travers des volatilités bid et ask implicites calculées à partir du modèle de Black & Scholes. Ils sont reportés dans la table 1 en prix effectifs en partant du milieu de fourchette de ces volatilités implicites. Ce sont ces prix qui constituent les données de marché sur lesquelles le calibrage portera. En tout, 163 prix d’options sont disponibles dans ce jeu de données D1.

Table 1

Jeu de données D1. Prix d’options européennes d’achat sur l’indice S&P 500 en avril 1999 calculés à partir des volatilités implicites relevées dans Andersen et Andreasen [2000]

D1 Prix d’exercice (en pourcentage du sous-jacent) ? 50 70 80 85 90 95 100 105 110 0,08 10,6471 6,2655 2,7243 0,6558 0,0652 0,25 16,8428 12,5554 8,6422 5,2849 2,7223 1,3271 0,50 18,8212 14,8237 11,1618 7,9322 5,2272 3,1271 0,75 24,6174 20,6015 16,7998 13,2721 10,0870 7,3379 5,0898 1,00 26,0731 22,2439 18,6109 15,2045 12,0630 9,2409 6,8063 1,50 28,6358 25,0514 21,6286 18,3908 15,3614 12,5620 10,0529 2,00 30,9831 27,5768 24,3211 21,2236 18,3014 15,5735 13,0593 3,00 41,6805 35,1622 32,0652 29,0854 26,2228 23,4880 20,8932 18,4390 4,00 57,6628 44,7117 38,7600 35,9244 33,1852 30,5387 27,9930 25,5573 23,2216 5,00 59,1337 47,2475 41,8290 39,2231 36,7064 34,2744 31,9214 29,6578 27,4669 7,00 61,4463 51,3089 46,6479 44,4204 42,2544 40,1550 38,1217 36,1544 34,2450 10,00 63,8536 55,7473 52,0323 50,2447 48,5031 46,8054 45,1570 43,5573 41,9979 Prix d’exercice (en pourcentage du sous-jacent) ? 115 120 130 140 150 160 170 180 200 0,08 0,25 0,3519 0,0893 0,50 1,6913 0,8325 0,1441 0,75 3,3676 2,1118 0,6911 0,1654 1,00 4,8077 3,2310 1,2373 0,3757 0,0611 1,50 7,8885 6,0400 3,2855 1,6016 0,6977 0,2677 0,0329 2,00 10,8107 8,8538 5,6867 3,4263 1,9335 1,0273 0,5155 0,2369 3,00 16,1510 14,0825 10,5805 7,7381 5,5159 3,8465 2,6420 1,7834 0,7864 4,00 20,9303 18,8144 15,2811 12,2559 9,7226 7,6232 5,9145 4,5543 2,6578 5,00 25,3594 23,3481 19,6955 16,5658 13,8727 11,5469 9,5473 7,8313 5,2491 7,00 32,3925 30,6043 27,2118 24,0844 21,3841 19,0088 16,8610 14,9455 11,7224 10,00 40,4772 38,9940 36,1535 33,4519 30,8919 28,4583 26,3064 24,4095 21,0266

Jeu de données D1. Prix d’options européennes d’achat sur l’indice S&P 500 en avril 1999 calculés à partir des volatilités implicites relevées dans Andersen et Andreasen [2000]

89Le second jeu de données, recueilli dans le courant du mois d’avril 2002, porte sur les mêmes produits financiers. Cette fois-ci, les maturités vont de 1 mois à 2 ans et demi. Dans les calibrages qui suivent, ces maturités sont recalculées sur une base de 252 jours ouvrables par an. Le taux d’intérêt relevé est alors de 1.9 % et le taux de dividende continu de l’indice est estimé à 1.2 %. Le jour du relevé, l’indice était alors à 1124.47. Les 75 prix d’options ainsi obtenus sont reportés dans la table 2. Ils constituent le jeu de données D2.

Table 2

Jeu de données D2. Prix d’options européennes d’achat sur l’indice S&P 500 en avril 2002 avec une valeur de l’indice à 1124.47. Source : Schoutens [2003]

D2 Temps restant avant échéance K 0,11508 0,25397 0,61508 0,97619 1,33730 1,69841 2,42063 975 161,60 173,30 995 144,80 157,00 182,10 1025 120,10 133,10 146,50 1050 84,50 100,70 114,80 143,00 171,40 1075 64,30 82,50 97,60 1090 43,10 1100 35,60 65,50 81,20 96,20 111,30 140,40 1110 39,50 1120 22,90 33,50 1125 20,20 30,70 51,00 66,90 81,70 97,00 1130 28,00 1135 25,60 45,50 1140 13,30 23,20 58,90 1150 19,10 38,10 53,90 68,30 83,30 112,80 1160 15,30 1170 12,10 1175 10,90 27,70 42,50 56,60 99,80 1200 19,60 33,00 46,10 60,90 1225 13,20 24,90 36,90 49,80 1250 18,30 29,30 41,20 66,90 1275 13,20 22,50 1300 17,20 27,10 49,50 1325 12,80 1350 17,10 35,70 1400 10,10 25,20 1450 17,00 1500 12,20

Jeu de données D2. Prix d’options européennes d’achat sur l’indice S&P 500 en avril 2002 avec une valeur de l’indice à 1124.47. Source : Schoutens [2003]

90Le but de cet article étant plutôt de comparer le calibrage de différents modèles, nous avons utilisé ces données vraisemblables de marché telles qu’utilisées par les auteurs précités. La démarche d’un opérateur de marché est différente puisqu’il cherche à obtenir le meilleur calibrage possible de son modèle au marché à un instant donné. Notre démarche se veut essentiellement méthodologique.

4.3 – Résultats

91Dans un premier temps, un calibrage du modèle diffusif classique de Black, Scholes et Merton a été effectué sur ces deux jeux de données. La table 3 donne la volatilité calibrée et précise l’erreur de modèle ainsi faite. La dernière colonne donne la valeur de la variation quadratique par unité de temps trouvée. Les nombres de cette table restent inchangés que la tolérance sur le changement de valeur relatif de la fonction objectif soit de 10^–5 ou de 10^–7. Ce premier calibrage reste aussi insensible à la valeur initiale du paramètre à calibrer.

Table 3

Calibrage du modèle diffusif de Black, Scholes et Merton

? RWMSE AWAE VBSM D1 0,2778 1,1048 1,6710 0,0771 D2 0,1527 6,2746 6,6546 0,0233

Calibrage du modèle diffusif de Black, Scholes et Merton

92Il est à remarquer que dans le cas du jeu de données D1, tant la racine de l’erreur quadratique moyenne pondérée que l’erreur absolue moyenne pondérée sont assez faibles déjà dans le cadre de Black, Scholes et Merton. Par contre, l’erreur de modèle mesurée selon ces deux mêmes critères demeure importante pour le jeu de données D2.

93Un second calibrage est alors effectué, cette fois-ci, sur le modèle avec sauts de Merton. Il est effectué de trois manières différentes sur chaque jeu de données. Une première fois, la formule semi-explicite (SE) est utilisée pour l’évaluation de prix d’options et une tolérance de 10^–7 est mise sur le changement de valeur relatif de la fonction objectif. Une seconde fois, l’évaluation est effectuée par l’intermédiaire de l’algorithme numérique dit de Transformée de Fourier rapide (FFT) avec N = 4096 et la même tolérance. Et enfin, une troisième fois avec une évaluation par FFT avec N = 2048 et une tolérance plus large de 10^–5.

94Pour ces six calibrages, les paramètres de départ sont à chaque fois les mêmes, à savoir . La table 4 récapitule les résultats de calibrage obtenus pour le modèle avec sauts de Merton.

Table 4

Calibrage du modèle diffusif avec sauts de Merton

? ? E(J ) ?Var(J ) RWMSE AWAE VMer 0,1924 0,0726 –0,9397 0,4922 0,2745 0,3870 SE D1 0,1924 0,0726 –0,9397 0,4922 0,2745 0,3870 0,1187 4096 0,1919 0,0740 –0,9264 0,4968 0,2747 0,3866 2048 0,1153 0,0240 –9,0373 0,0453 1,9429 1,8488 SE D2 0,1153 0,0241 –9,2382 0,0478 1,9429 1,8486 2,0701 4096 0,1144 0,0300 –2,2833 0,9999 1,9776 1,8886 2048

Calibrage du modèle diffusif avec sauts de Merton

95Sur les deux jeux de données, l’erreur de modèle suivant nos deux mesures ne change pas, comme attendu, que les prix selon le modèle soient calculés par l’intermédiaire de la formule semi-explicite ou par la FFT. En effet, d’après les résultats précédents, l’erreur relative commise en utilisant la FFT avec N = 4096 est en dessous de la tolérance admise sur le changement de valeur relatif de la fonction objectif de 10^–7. La variation quadratique totale par unité de temps est de nouveau calculée à partir des paramètres de modèle ainsi calibrés. Elle est reportée dans l’avant-dernière colonne de la table 4.

96Dans l’optique du calibrage des modèles plus exigeants en temps de calcul qui vont suivre, un calibrage avec une FFT à N = 2048 a aussi été mis en œuvre et testé. Une tolérance de 10^–5 est alors suffisante dans ce cas. Nous remarquons que les erreurs de modèle trouvées après calibrage sont très proches.

97Les paramètres calibrés à partir du jeu de données D1 sont proches de ceux donnés par Andersen et Andreasen [2000] à savoir , . Malgré des erreurs de modèle sensiblement égales, les paramètres calibrés varient sensiblement. En particulier, en faisant varier les paramètres de départ du calibrage, le paramètre a été trouvé très faible à plusieurs reprises.

98Si les deux paramètres ? et ? sont facilement retrouvés après calibrage et restent sensiblement les mêmes, les paramètres caractérisant les sauts, E(J) et , sont plus difficilement accessibles. Il se trouve en fait que pour ? et ? fixés, la fonction objectif présente une vallée très plate qui fait que plusieurs paramètres de sauts peuvent convenir pour une tolérance donnée et sans que l’erreur de modèle soit changée de façon significative. He, Kennedy, Coleman, Forsyth, Li et Vetzal [2006] font aussi état de ce phénomène dans un article récent. Ces auteurs précisent par ailleurs que si inversement, les paramètres de sauts sont connus, la fonction objectif a un minimum bien défini qui fait du problème de calibrage un problème bien posé, un phénomène que nous retrouvons bien ici avec la stabilité des paramètres ? et ? après calibrage.

99Un premier résultat intéressant apparaît ici. Nous avons un bien meilleur ajustement du modèle aux prix de marché en prenant le modèle diffusif avec sauts de Merton en lieu et place du modèle diffusif classique de Black, Scholes et Merton. En effet, les erreurs de modèle ont significativement diminué sur chaque jeu de données avec une mention particulière pour le jeu de données D2 où la racine de l’erreur quadratique moyenne pondérée est passée de 6.2746 à 1.9429. La variation quadratique totale obtenue, V_Mer, sur le jeu de données D2 est cependant trop élevée par rapport à celle obtenue dans le cadre diffusif simple (V_BSM). Nous pensons que ce fait est dû à la particularité du deuxième jeu de données. Par ailleurs, le gain est moins fort sur le jeu de données D1 puisque l’ajustement au modèle diffusif de Black, Scholes et Merton est déjà assez bon.

100Le calibrage suivant porte sur le modèle avec sauts de Kou. Les paramètres de départ sont ici fixés à ? = (?, ?, p, ?₁, ?₂) = (0.15,0.4,0.3,14,3). De nouveau, la FFT a été utilisée dans un premier temps avec N = 2048 avec une tolérance de 10^–5 sur le calibrage, puis dans un second temps avec N = 4096 et une tolérance de 10^–7. L’évaluation des contrats a été affinée pour plus de précision et de stabilité en calculant directement les options d’achat pour les contrats près de la monnaie et ceux en dehors de la monnaie selon la formule (A7), que l’on peut trouver en annexe, tandis que pour les contrats dans la monnaie, la formule (A8) de l’annexe a été utilisée. Les contrats dans la monnaie ont été choisis comme ceux dont le prix d’exercice est strictement inférieur à 0.9 fois la valeur du sous-jacent.

101Le temps pris par le calibrage peut alors varier d’environ une minute à plus de 5 mn. Le temps prohibitif de la formule semi-explicite de Kou même sur la version tronquée à 7 termes évoquée plus haut l’exclut pour des raisons pratiques de ce test de calibrage.

102L’avant-dernière colonne de la table 5 rapporte de nouveau la variation quadratique totale dans le modèle de Kou. La table 5 montre qu’il y a une amélioration de l’ajustement avec le modèle diffusif avec sauts de Kou comparativement à celui proposé par Merton. Ce résultat est particulièrement visible avec la diminution de la mesure RWMSE sur le jeu de données D2. D’ailleurs, la variation quadratique totale par unité de temps, V_Kou, revient ici à un niveau raisonnable.

Table 5

Calibrage du modèle diffusif avec sauts de Kou

? ? p ?1 ?2 RWMSE AWAE VKou D1 0,1836 0,2780 0,4528 93,9136 1,7624 0,2567 0,3544 0,1317 4096 0,1834 0,2803 0,4531 79,1197 1,7713 0,2567 0,3548 2048 D2 0,1096 0,1512 0,6965 21,1745 0,6131 1,7437 1,7087 0,2566 4096 0,1093 0,1494 0,6926 19,3120 0,6133 1,7440 1,7181 2048

Calibrage du modèle diffusif avec sauts de Kou

103Dans les deux cas, la loi des sauts présente une forte asymétrie avec ?₁ > ?₂. Les sauts à la hausse sont donc en moyenne de plus faible amplitude que les sauts à la baisse. Les sauts positifs ont aussi une probabilité de survenue moindre que les sauts négatifs dans le cas du jeu de données D1 et inversement pour le jeu de données D2.

104La dernière série de calibrages va porter sur le modèle diffusif à sauts multiples introduit précédemment. L’évaluation par FFT se fait ici encore avec N = 4096 et le calibrage admet une tolérance de 10^–7. En pratique, il peut être souhaitable de rester avec N = 2048 dans le calcul de la FFT et rester à une tolérance de 10^–5 pour les raisons de coût en temps de calcul précédemment évoquées sans perdre significativement en précision comme les tables 4 et 5 le montrent.

105Les paramètres de départ adoptés ici sont

106

107avec |P| = 1 et |N| = 2, et donc 7 paramètres à calibrer en tout, avec la contrainte sur les probabilités .

108Les résultats du calibrage du modèle diffusif à sauts exponentiels multiples sont reportés dans la table 6. Le constat ici est que si nous pouvons encore améliorer l’ajustement pour le jeu de données D1, nous ne gagnons plus rien sur le jeu de données D2. La variation quadratique totale V_Mult dans le cas du jeu de données D2 tend à confirmer ce résultat : elle est de nouveau trop élevée.

Table 6

Calibrage du modèle diffusif à sauts exponentiels multiples avec un seul saut positif

? ? P N RWMSE AWAE VMult D1 0.1147 3.4705 (3.10?7, 99.7338) (0.0176, 0.9807) (0.9824, 4.2135) 0.2099 0.2931 0.1739 D2 0.1122 0.1689 (0.6992, 20.4543) (0.1787, 0.2000) (0.1221, 49.9998) 1.9709 1.9212 1.5223

Calibrage du modèle diffusif à sauts exponentiels multiples avec un seul saut positif

109Examinons attentivement le calibrage effectué sur le jeu de données D1. La valeur de la probabilité de survenue du seul saut positif nous amène à considérer un modèle où cette probabilité est nulle. Nous procédons à un nouveau calibrage sur le jeu D1 en n’autorisant pas les sauts positifs. Les paramètres de départ choisis sont

110

111avec |P| = 0 et |N| = 3.

112Les résultats précédents sont confirmés par la table 7. Les sauts négatifs implicites dans les prix relevés dans le jeu de données D1 se répartissent comme suit : les sauts négatifs de taille moyenne ont une probabilité élevée de survenir tandis que les sauts négatifs de grande amplitude ont une probabilité plus faible.

Table 7

Calibrage du modèle diffusif à sauts exponentiels multiples sans aucun saut positif sur le jeu de données D1

? ? N RWMSE AWAE VMult D1 0.0961 6.5382 (0.0124, 1.1975) (0.9000, 19.0130) (0.0876, 30.0000) 0.2089 0.2880 0.1561

Calibrage du modèle diffusif à sauts exponentiels multiples sans aucun saut positif sur le jeu de données D1

113Remarquons ici l’évolution de la volatilité pour le jeu de données D1 entre le calibrage dans le modèle de Kou et ceux dans les modèles à sauts multiples. Si la partie diffusive était à un niveau de volatilité ? = 0.1836 dans le modèle de Kou, elle est descendue à ? = 0.1147 dans le modèle à sauts multiples avec un seul saut positif et jusqu’à ? = 0.0961 dans le modèle sans aucun saut positif. Il se trouve que cette diminution de la volatilité est compensée par une plus grande agitation apportée par la composante de sauts comme en attestent les variations quadratiques totales obtenues pour chacun de ces trois modèles qui restent proches.