1 – Introduction

1Henri Poincaré (1854-1912) est connu pour ses travaux en mathématiques (en géométrie algébrique) et en physique (astronomie mathématique), mais également pour l’épistémologie originale qu’il a développée, le conventionnalisme. L’idée au cœur de cette épistémologie, défendue sous des formes et des appellations différentes par plusieurs de ses contemporains (notamment par Ernst Mach ou Pierre Duhem), est la suivante : certaines lois à la base des théories scientifiques ne sont en réalité que des conventions, c’est-à-dire relèvent de décisions collectives prises par les scientifiques qui, au regard de l’expérience, ont la liberté de choisir entre plusieurs lois rivales. Il s’agit, comme l’écrit Anne-Françoise Schmid [1], d’une forme de « nominalisme qui porte sur les hypothèses et les lois plutôt que sur les concepts ». Poincaré en est venu à défendre cette épistémologie à partir de ses réflexions sur la géométrie (en particulier les géométries non-euclidiennes) et l’espace [2]. Il l’a ensuite étendue aux différents domaines des mathématiques et de la physique. Pour chaque domaine considéré, d’après lui, la part conventionnelle est variable. Le présent article se penche sur cette origine du conventionnalisme de Poincaré. Nous allons montrer que ses réflexions sur la géométrie et l’espace s’ancrent dans les débats de son époque, à la fin du XIX^e. Plus précisément, selon nous, Poincaré se positionne par rapport à deux questions distinctes et discutées dans deux communautés différentes. La première fait débat chez les physiologistes, psychologues et philosophes de la connaissance : D’où tirons-nous la représentation commune de l’espace physique ? La seconde fait débat chez les mathématiciens et les physiciens : Quelle est la géométrie qui décrit adéquatement la structure de l’espace physique [3] ? Les réponses apportées par Poincaré à ces deux questions, nous le verrons, sont étroitement liées.

2 – D’où tirons-nous la représentation commune de l’espace physique ?

2Cette première question peut se formuler en des termes plus précis : D’où tirons-nous la représentation commune de l’espace physique [4], à savoir celle d’un espace continu, infini, homogène (équivalence des points), isotrope (équivalence des directions), euclidien et à trois dimensions ?

3À cette question, Kant avait un siècle auparavant, dans sa Critique de la raison pure (1781, 1787), apporté une réponse originale qui allait devenir une référence chez les philosophes : nous tirons notre représentation de l’espace de nous-mêmes, nous en avons une connaissance a priori, c’est-à-dire avant toute expérience. D’après le philosophe de Königsberg, l’espace est l’une des deux « formes de la sensibilité » (l’autre étant le temps). Autrement dit, il correspond à une structure a priori de notre appareil sensible qui rend possible la constitution des objets de la perception à partir du matériau que sont les sensations. Plus précisément, l’espace permet de nous représenter ces objets comme extérieurs à nous et comme distincts les uns des autres [5].

4À l’époque de Poincaré, et plus précisément dans les années 1880-1890, plusieurs penseurs d’inspiration empiriste prennent le contre-pied de Kant et soutiennent, sur la base d’observations en physiologie et en psychologie, que notre représentation de l’espace est tirée de l’expérience. Ernst Mach, dans L’analyse des sensations (1886), pense que l’espace est construit à partir de l’association, la mise en ordre de nos sensations. William James, dans Les principes de psychologie (1890), estime quant à lui que certaines de nos sensations sont intrinsèquement spatiales.

5Poincaré, sans se référer explicitement à ces auteurs, se positionne néanmoins par rapport à eux, et plus exactement, contre eux. Dans son article « Des fondements de la géométrie » (1898) [6], contre James qu’il ne mentionne pas, il écrit « les sensations par elles-mêmes n’ont aucun caractère spatial ». Son argumentation commence ainsi :

6

Cela est évident dans le cas de sensations isolées, des sensations visuelles par exemple. Que pourrait voir un homme qui ne posséderait qu’un œil unique et immobile ? Des images différentes se formeraient sur différents points de sa rétine ; mais serait-il amené à classer ces images comme nous classons nos sensations rétiniennes actuelles [7] ?

7Rien ne permet de l’affirmer selon lui. Un peu plus loin dans le même article, il se positionne contre Kant. Parlant de l’« espace sensible », l’espace associé à nos sensations, il soutient qu’il n’est pas une « forme de la sensibilité » :

8

Cette catégorie [de l’espace sensible] doit-elle être regardée comme une « forme de notre sensibilité » ? Non, si l’on entend par là que nos sensations, considérées individuellement, ne pourraient pas exister sans elle. Elle ne nous devient nécessaire que pour comparer nos sensations, pour raisonner sur nos sensations. Elle est donc plutôt une forme de notre entendement [8].

9Quel est plus précisément le point de vue de Poincaré sur cette question ? Il développe celui-ci dans ce même article de 1898, ainsi que dans un article publié antérieurement en 1895, « L’espace et la géométrie » [9]. En accord avec Mach et James, Poincaré commence par souligner la différence entre l’« espace sensible » et l’« espace géométrique ». Dans l’article de 1898, il écrit :

10

L’espace sensible n’a rien de commun avec l’espace géométrique. Je crois que peu de personnes seront disposées à contester cette assertion. Il serait peut-être possible d’épurer la catégorie que j’ai considérée au début de cet article et de construire quelque chose qui ressemblât davantage à l’espace géométrique. Mais, quoi que nous fassions, l’espace ainsi construit ne serait jamais ni infini, ni homogène, ni isotrope ; il ne pourrait le devenir qu’en cessant d’être accessible à nos sens [10].

11Dans l’article de 1895, il distingue différentes formes d’espaces sensibles : les espaces visuels, tactile et moteur. La première différence avec l’espace géométrique est donc cette non-unicité initiale des espaces sensibles. De plus, l’espace visuel est constitué de deux dimensions associées aux stimulations de la rétine générant le plan et d’une dimension associée à des sensations musculaires générant la profondeur. Cet espace n’est donc pas isotrope, c’est-à-dire équivalent dans les trois directions, contrairement à l’espace géométrique. Quant à l’espace moteur, associé aux mouvements musculaires, il est initialement caractérisé par un nombre de dimensions supérieur à trois, et plus exactement, au nombre de muscles que l’on active :

12

Chaque muscle donne naissance à une sensation spéciale susceptible d’augmenter ou de diminuer, de sorte que l’ensemble de nos sensations musculaires dépendra d’autant de variables que nous avons de muscles. À ce point de vue, l’espace moteur aurait autant de dimensions que nous avons de muscles [11].

13Deux précisions conceptuelles et terminologiques s’imposent ici. Premièrement, dans l’article de 1895, Poincaré fait usage de l’expression « espace représentatif », laquelle peut être source de confusion. En effet, pour Poincaré, la représentation est à entendre au sens de reproduction des sensations, et non au sens plus commun de construction abstraite détachée des sensations. Cette expression est équivalente pour Poincaré à celle d’« espace sensible » employée dans l’article de 1898-1899, moins ambiguë et qui désigne plus exactement ce que Poincaré a en tête, à savoir l’espace associé aux sensations. Dans ce qui suit, nous retiendrons donc l’expression « espace sensible ».

14Deuxièmement, lorsque Poincaré parle de « l’idée de l’espace géométrique » [12], il désigne ce que nous appellerions plus volontiers « notre représentation commune de l’espace physique », c’est-à-dire la représentation de l’espace physique comme étant continu, infini, homogène, isotrope, euclidien et à trois dimensions. Cet espace physique (que Poincaré désigne simplement par l’expression « espace » [13]), nous nous en forgeons une idée (nous le représentons, dirions-nous) au moyen d’un « espace géométrique ». L’un des mérites de Poincaré est d’avoir opéré une distinction claire entre géométrie et espace, ou plus précisément, entre espace géométrique et espace physique : le premier est une construction humaine ayant vocation à représenter le second. Ainsi, l’espace géométrique de même que l’espace sensible (dont il se distingue à plusieurs égards comme nous venons de l’évoquer plus haut) peuvent être rangés du côté de la subjectivité, contrairement à l’espace physique. Comme l’écrit Luciano Boi, « Poincaré, Husserl et d’autres ont contribué à mettre en évidence le fait essentiel que l’espace géométrique n’est réductible ni à l’espace physique ni à l’espace physiologique [ou espace sensible] » [14].

15À l’instar de Mach, Poincaré s’intéresse à la manière dont nous construisons cet espace géométrique, qui est continu, infini, homogène, isotrope et à trois dimensions (c’est-à-dire notre représentation commune de l’espace physique), à partir de nos sensations. C’est dans la description qu’il offre de cette construction, qu’il développe, pour la première fois semble-t-il, une position conventionnaliste. Les différentes étapes de sa description peuvent être explicitées comme suit [15] :

• Nous faisons l’expérience de variations dans le flux de nos sensations.
• Nous attribuons certaines de ces variations à l’action d’objets extérieurs (c’est le cas lorsque ces variations ne s’accompagnent pas de sensations musculaires) et d’autres à l’action de notre propre corps (c’est le cas lorsque ces variations s’accompagnent de sensations musculaires).
• Parmi les variations dans nos sensations que nous attribuons à l’action d’objets extérieurs, il en est certaines qui peuvent être compensées ou corrigées par une action de notre propre corps. Nous interprétons ces variations en termes des « déplacements » d’objets extérieurs [16]. Plus précisément, nous interprétons ces variations en termes des déplacements d’objets supposés être indéformables. Cela signifie que les déplacements de ces objets sont supposés ne pas causer de changement de leur taille, de leur volume ou de leur forme. Poincaré nomme ces corps indéformables des « corps solides » [17].
• Par une opération de notre intellect [18], nous rassemblons l’ensemble de ces déplacements en les organisant suivant une structure de groupe (« l’ensemble des déplacements, écrit Poincaré, forme un groupe » [19]), où le terme « groupe » est à entendre au sens mathématique : les déplacements sont associatifs (l’association de deux déplacements équivaut à un troisième déplacement) ; pour chaque déplacement, il existe un déplacement inverse (un déplacement qui annule le premier) ; il existe un déplacement neutre (un déplacement nul).
• L’espace géométrique (tel que nous nous le représentons communément) n’est rien d’autre que ce groupe de déplacements auxquels nous assignons, en outre, un ensemble de propriétés [20].
• Certaines de ces propriétés sont des conséquences nécessaires de l’existence de ce groupe : l’homogénéité [21] et l’isotropie.
• S’agissant des autres propriétés, nous les ajoutons de manière conventionnelle : la continuité, le caractère euclidien et le caractère tri-dimensionnel. L’assignation de ces propriétés est « conventionnelle » dans la mesure où elle résulte d’un choix opéré parmi plusieurs options acceptables au regard de l’expérience.

16Le dernier point se trouve au cœur de l’épistémologie de Poincaré et mérite donc d’être précisé. Pour chacune de ces trois propriétés, Poincaré décline une argumentation particulière afin d’en montrer le caractère conventionnel [22].

17L’assignation du caractère continu résulte, selon lui, d’un « choix » parmi au moins deux interprétations possibles de nos sensations. Supposer que l’espace est continu revient à supposer qu’un déplacement soit le résultat d’une infinité de déplacements infiniment petits. Pour un déplacement « suffisamment grand », nous pouvons le diviser en deux déplacements qui restent discernables par nos sens. Nous pouvons alors conjecturer, soit qu’il est possible de poursuivre à l’infini cette division par deux d’un déplacement et ainsi aboutir à l’idée que l’espace est continu, soit que cette divisibilité ne se poursuit que jusqu’à un déplacement élémentaire, lui-même indivisible, de sorte que l’espace est conçu comme discontinu. Étant donnée notre incapacité à discerner deux déplacements au-delà d’une certaine échelle, en raison des limitations de nos instruments actuels, les deux options demeurent envisageables. Pourquoi avons-nous retenu la première alternative ? Sur la base d’un raisonnement « par induction » pense Poincaré, en l’occurrence une induction à partir du constat que la limite de l’indiscernabilité de deux déplacements a pour l’heure toujours pu être repoussée grâce à de nouveaux instruments. Or, l’induction, rappelons-le, équivaut à une généralisation qui n’a rien de nécessaire.

18Le caractère tridimensionnel de l’espace résulte lui aussi d’une interprétation contingente de nos sensations. Considérons par exemple nos sensations musculaires. Nous pourrions supposer que l’espace a autant de dimensions que nous avons de muscles. Si nous supposons qu’il n’a que trois dimensions, c’est parce que nous comparons nos sensations musculaires et les associons d’une certaine manière [23]. De même, nous pourrions supposer que l’espace a autant de dimensions que nous avons de fibres nerveuses optiques. Si nous supposons qu’il n’a que trois dimensions, c’est aussi parce que nous comparons nos sensations visuelles et les associons d’une certaine manière [24].

19S’agissant du caractère euclidien, l’argumentation de Poincaré s’appuie sur les développements mathématiques dans le domaine de la géométrie réalisés au xix^e siècle, avec l’avènement des géométries non-euclidiennes, et sur les débats que ces développements ont suscités. De ce fait, la réponse apportée par Poincaré à la question de l’origine de notre représentation commune de l’espace physique est indissociable de ses réflexions sur les géométries non-euclidiennes. L’argumentation en question sera détaillée dans la partie suivante.

20Poincaré affirme ici en substance que l’ensemble des sensations que nous éprouvons dans la vie quotidienne et qui sont relatives aux supposés déplacements de corps solides indéformables ne détermine pas la structure du groupe, c’est-à-dire la structure de l’espace géométrique, laquelle correspond à une certaine manière d’organiser ces sensations. Les sensations, ou en d’autres termes l’expérience, nous laissent la liberté de choisir cette structure.

21Pour autant, cette liberté n’ouvre nullement la porte à l’« arbitraire » [25] souligne Poincaré : nous effectuons nos choix dans la détermination de la structure de l’espace géométrique sur la base d’un critère, celui de la « commodité ». Pour cerner l’option la plus commode, ajoute-t-il, l’expérience retrouve un rôle à jouer :

22

Notre choix ne nous est donc pas imposé par l’expérience. Il est simplement guidé par l’expérience. Mais il reste libre : nous choisissons cette géométrie-ci plutôt que celle-là, non parce qu’elle est plus vraie, mais parce qu’elle est plus commode [26].

23Dans certains passages des écrits de Poincaré, ce critère de commodité se réduit au critère de « simplicité » : « toutes choses égales d’ailleurs, le plus simple est le plus commode » [27]. Cela revient à dire que nous choisissons d’assigner à l’espace géométrique la structure qui permet de mettre en ordre le plus simplement possible nos sensations. Comme nous le verrons dans la partie suivante, Poincaré estime que ce critère de simplicité nous conduit à choisir la géométrie euclidienne, ou en d’autres termes, à assigner à l’espace géométrique une structure euclidienne.

24Pour clarifier le rôle de l’expérience selon Poincaré, nous proposons de reformuler son point de vue en ces termes : (i) la représentation commune de l’espace physique (celle d’un espace continu, infini, homogène, isotrope, euclidien et à trois dimensions) n’est pas tirée de l’observation des objets et de leurs déplacements, mais correspond à une structure mathématique, parmi plusieurs possibles, que nous construisons pour organiser en pensée les déplacements des objets ; (ii) en confrontant nos diverses constructions mathématiques à l’expérience, nous identifions laquelle de ces constructions nous permet d’organiser le plus simplement possible ces déplacements d’objets ; (iii) le fait qu’une construction mathématique est identifiée comme celle permettant l’organisation la plus simple des déplacements d’objets n’implique pas qu’elle soit vraie.

25Poincaré résume ainsi sa conception des rapports entre l’expérience et nos représentations (ou lois que nous construisons) :

26

Les lois en question [celles du groupe des déplacements] ne nous sont pas imposées par la nature, mais sont imposées par nous à la nature. Mais si nous les imposons à la nature, c’est parce qu’elle nous permet de le faire. Si elle offrait trop de résistance, nous chercherions dans notre arsenal une autre forme qui serait pour elle plus acceptable [28].

27Ce passage n’est pas sans rappeler la célèbre formule de Kant : « l’entendement, loin de tirer ses lois (a priori) de la nature, les lui prescrit au contraire » [29]. Pour autant, Poincaré affirme dans plusieurs de ses écrits ses divergences par rapport à Kant sur la nature de l’espace. Nous y reviendrons plus loin.

28Indiquons par ailleurs que la réponse apportée par Poincaré à cette question de la genèse de la représentation commune de l’espace a exercé une forte influence sur Jean Piaget au xx^e siècle. Ce dernier, sur la base de nombreuses observations du développement cognitif des enfants, en est venu à développer et affiner les idées de Poincaré en soutenant que l’enfant construit et enrichit progressivement la structure de l’espace dans le but de coordonner ses actions, dont la complexité est croissante. Les travaux de Piaget ont permis de montrer que l’enfant se construit d’abord (lors de ses deux premières années) un « espace perceptif » ou « sensori-moteur » (pouvant être rapproché de l’« espace sensible » de Poincaré), puis un « espace représentatif » (pouvant être rapproché de l’« espace géométrique » de Poincaré) et que ces deux types d’espace sont dotés d’une structure mathématique qui s’enrichit progressivement suivant un développement similaire : d’abord topologiques (caractérisés par des rapports de voisinage, de séparation, d’ordre…), ils deviennent finalement euclidiens (avec une métrique) [30].

3 – Quelle est la géométrie qui décrit adéquatement la structure de l’espace physique ?

29Nous avions annoncé dans l’introduction que Poincaré se positionne par rapport à deux questions débattues dans deux communautés différentes. La seconde question « Quelle est la géométrie qui décrit adéquatement la structure de l’espace physique ? » fait débat chez les mathématiciens et les physiciens.

30Soulignons qu’avant l’avènement des géométries non-euclidiennes dans la première moitié du XIX^e siècle, la question ne se posait pas. La réponse tacite était tout simplement la géométrie euclidienne, la seule disponible. Comme l’écrit Max Jammer : « À défaut d’une autre alternative, Newton et ceux qui l’ont immédiatement suivi pensaient naturellement que l’espace absolu était euclidien » [31].

31En revanche, la question s’est posée avec insistance à partir du moment où les mathématiciens ont établi qu’il existait plusieurs géométries possibles : non plus seulement la géométrie euclidienne, mais également les géométries « hyperbolique » (ou « de Lobatchevski ») et « elliptique » (ou « de Riemann »). Ces géométries sont toutes trois consistantes (c’est-à-dire cohérentes du point de vue logique) et mutuellement incompatibles (car se basant sur un 5^e axiome différent).

32Les mathématiciens qui se sont d’abord emparés de la question à la lumière des géométries non-euclidiennes ont pensé que la réponse pouvait être tranchée par l’expérience. Leur raisonnement est formulé par Lawrence Sklar en ces termes :

33

Si des alternatives au monde euclidien existent effectivement, alors comment pourrions-nous être certains, avant toute observation et toute expérience, que les hypothèses fondamentales de la théorie d’Euclide ne pourraient pas, en fait, être falsifiées par l’expérience [32] ?

34Max Jammer exprime la même idée de la manière suivante :

35

Avec la découverte de la géométrie non euclidienne, il devint clair qu’il n’y avait pas de moyens a priori de décider à partir du versant logique et mathématique quel type de géométrie représente effectivement les relations spatiales entre les corps physiques. Il est donc naturel de faire appel à l’expérience pour déterminer si le problème de la vraie géométrie pouvait être résolu a posteriori [33].

36Ainsi Gauss tenta-t-il de déterminer si l’espace physique est euclidien ou non (« anti-euclidien » selon son expression) en mesurant à grande échelle la somme des angles d’un triangle, pour voir si le résultat correspond effectivement à 180° ou non, le triangle en question étant formé par les sommets de trois montagnes distantes d’une centaine de kilomètres chacune. Lobatchevski chercha lui aussi à déterminer si l’espace physique est euclidien ou non (hyperbolique), et ce, avec des mesures à plus grande échelle encore, à l’échelle astronomique, en mesurant la parallaxe d’une étoile. Mentionnons également Riemann, dont les idées anticipaient celles d’Einstein (sur la dépendance de la courbure de l’espace physique à l’égard de la distribution de la matière), et qui estimait possible de déterminer la structure de l’espace en mesurant sa courbure, supposant que cette dernière était une propriété intrinsèque de l’espace. Les résultats de ces différentes expériences ne mirent pas en défaut la géométrie d’Euclide [34]. Pour autant, ils n’apportèrent pas une confirmation définitive que cette géométrie décrit adéquatement l’espace physique. Comme Hermann von Helmholtz le remarqua en 1878, ces résultats ne sont concluants que dans les « limites de la précision acquise pour l’instant dans la mesure » [35].

37Cette évolution dans l’histoire des mathématiques semblait avoir sonné le glas de la conception kantienne de l’espace. Toutefois, dans les années 1870-1880, Helmholtz apporta un regard plus nuancé. La conception kantienne de l’espace, selon lui, ne doit pas être rejetée en bloc. Avec Kant, on peut maintenir l’idée que nous avons une intuition a priori de l’espace, laquelle nous permet de mettre en forme le matériau de notre expérience sensible. Mais contre Kant, eu égard à l’existence de plusieurs géométries, on peut douter que la structure particulière de l’espace de notre intuition « concorde » avec celle de l’espace physique [36]. Quelle géométrie décrit adéquatement l’espace physique ? Cela ne peut être déterminé a priori, mais uniquement par l’expérience. Helmholtz forge à cette occasion la notion de géométrie physique, décrite comme une « science de la nature », notion qui inspirera par la suite les travaux d’Albert Einstein.

38La conception d’Helmholtz fut à l’origine d’un courant néo-kantien rassemblant des philosophes soucieux de préserver l’approche transcendantale, mais en la révisant à la lumière des avancées scientifiques. L’un des points de culmination de ce courant est l’œuvre d’Ernst Cassirer, qui, dans un livre publié en 1921 et examinant les conséquences épistémologiques de la théorie de la relativité d’Einstein, proposa une conception de l’espace en termes d’a priori évolutif (car relatif aux théories physiques elles-mêmes en évolution), ou suivant son expression, en termes de « forme vivante et mouvante » [37].

39La conception d’Helmholtz, qui concilie l’apriorisme kantien avec une forme d’empirisme, influença également Poincaré. On retrouve ces deux ingrédients philosophiques dans l’approche conventionnaliste défendue par ce dernier sur la question du rapport entre les géométries et l’espace physique. Cependant, l’apriorisme de Poincaré s’écarte trop fortement de l’apriorisme kantien pour que l’on puisse dire qu’il en constitue une version révisée. En effet, selon lui, non seulement (et à l’instar de Helmholtz) la structure particulière de l’espace géométrique n’est pas déterminée a priori de manière univoque, mais en outre cet espace doit être considéré comme une forme de l’« entendement » et non de la sensibilité [38]. Par ailleurs, le conventionnalisme de Poincaré s’écarte fortement de l’empirisme classique dans la mesure où il retire à l’expérience le rôle de pouvoir nous faire connaître la structure de l’espace physique. Avec cette approche conventionnaliste, Poincaré apporte un éclairage puissant et original sur la question formulée plus haut : « Quelle est la géométrie qui décrit adéquatement la structure de l’espace physique ? ».

40Présentons et discutons le raisonnement précis de Poincaré. Celui-ci est exposé de la façon la plus claire, nous semble-t-il, dans un passage de l’article de 1891 intitulé « Les géométries non euclidiennes » [39]. Poincaré commence par un argument contre la conception de Kant selon laquelle nous pouvons établir de manière a priori que l’espace physique est euclidien : si c’était le cas, affirme Poincaré, nous ne pourrions pas construire des géométries non-euclidiennes. Autrement dit, l’existence même de géométries non-euclidiennes invalide la conception de Kant :

41

[…] nous devons d’abord nous demander quelle est la nature des axiomes géométriques. Sont-ce des jugements synthétiques a priori, comme disait Kant ? Ils s’imposeraient alors à nous avec une telle force, que nous ne pourrions concevoir la proposition contraire, ni bâtir sur elle un édifice théorique. Il n’y aurait pas de géométrie non euclidienne [40].

42Poincaré considère alors la conception empiriste, antagoniste de celle de Kant et selon laquelle c’est l’expérience qui permet de déterminer quelle est la géométrie qui décrit adéquatement l’espace physique : « Devons-nous donc conclure que les axiomes de la géométrie sont des vérités expérimentales ? » [41]. Poincaré répond négativement. Dans son argumentation réside, selon nous, l’apport décisif de Poincaré. D’après lui, nous ne pouvons pas observer directement l’espace et ses propriétés. Nous ne pouvons observer que des corps matériels ou des phénomènes lumineux. Ce n’est que par l’intermédiaire de l’observation de ces corps matériels ou de ces phénomènes lumineux que nous pouvons obtenir des informations sur les propriétés de l’espace. Dans l’article de 1891, il écrit ainsi : « […] on n’expérimente pas sur des droites ou des circonférences idéales ; on ne peut le faire que sur des objets matériels » [42]. Ailleurs, il réaffirme ce point en ces termes :

43

Les expériences ne nous font connaître que les rapports des corps entre eux ; aucune d’elles ne porte, ni ne peut porter, sur les rapports des corps avec l’espace, ou sur les rapports mutuels des diverses parties de l’espace [43].

44Dans ces deux citations, Poincaré ne parle pas explicitement de l’observation des phénomènes lumineux. Toutefois, dans l’un de ses exemples, il est bien question de propriétés spatiales dérivées à partir de l’observation de phénomènes lumineux, en l’occurrence à partir de l’observation d’« un pinceau de rayons lumineux » identifié comme un « objet concret » [44].

45Par conséquent, les conclusions que nous tirons sur les propriétés de l’espace impliquent le recours à des hypothèses à propos de ces corps matériels ou à propos de la lumière – lesquelles restent implicites chez Gauss, Lobatchevski, Riemann ou Helmholtz.

46Reformulons en des termes différents l’idée de Poincaré. Une géométrie ne peut pas être confrontée seule aux données de l’expérience. Pour ce faire, il faut adjoindre à cette géométrie d’autres hypothèses sur le monde physique, sur les corps matériels et/ou sur la lumière. Ce qui est confronté aux données de l’expérience, c’est un ensemble d’hypothèses sur le monde physique, ce sont conjointement des hypothèses sur l’espace et des hypothèses sur les corps matériels ou sur la lumière. Formulée ainsi, l’idée de Poincaré apparaît comme une anticipation de la conception holiste du rapport entre théorie et expérience défendue d’abord par Pierre Duhem en 1906 [45], puis par Willard Van Orman Quine en 1951 [46] – conception que l’on nomme communément « thèse de Duhem-Quine ».

47Exprimons cette idée d’une autre manière encore, afin de mieux en comprendre le sens. Étant données les hypothèses de la physique sur les corps matériels et la lumière, l’expérience détermine univoquement la géométrie qui décrit adéquatement l’espace physique. Par exemple, étant donnée l’hypothèse selon laquelle la lumière se meut en ligne droite, les données de l’expérience disponibles avant 1900 indiquent provisoirement que l’espace physique possède une structure euclidienne. Autrement dit, nous pouvons seulement conclure que l’ensemble {hypothèse selon laquelle la lumière se meut en ligne droite + géométrie euclidienne} est en accord avec ces données d’expériences.

48Selon Poincaré, rien n’interdit d’imaginer que, dans le futur, les résultats de nouvelles expériences nous donnent, par exemple, une valeur différente de 180° pour la somme des angles d’un triangle ou une valeur négative pour une parallaxe. Devrions-nous conclure que la géométrie euclidienne est réfutée ? Non, nous devrions en conclure uniquement que l’ensemble {théorie actuelle de la lumière selon laquelle celle-ci se meut en ligne droite + géométrie euclidienne} est réfuté. Il reste tout à fait envisageable que, moyennant une révision de la théorie de la lumière, nous puissions maintenir la géométrie euclidienne pour décrire la structure de l’espace physique, de sorte que l’ensemble {nouvelle théorie de la lumière selon laquelle celle-ci ne se meut pas en ligne droite + géométrie euclidienne} soit en accord avec les nouvelles données d’expériences. C’est ainsi que Poincaré écrit :

49

Mais ce qu’on appelle ligne droite en astronomie, c’est simplement la trajectoire du rayon lumineux. Si donc, par impossible, on venait à découvrir des parallaxes négatives, ou à démontrer que toutes les parallaxes sont supérieures à une certaine limite, on aurait le choix entre deux conclusions : nous pourrions renoncer à la géométrie euclidienne ou bien modifier les lois de l’optique et admettre que la lumière ne se propage pas rigoureusement en ligne droite [47].

50En d’autres termes, eu égard à un ensemble de données empiriques, plusieurs ensembles théoriques mutuellement incompatibles sont tenables, tandis que d’autres sont réfutés. Par exemple, pour rendre compte de l’observation contrefactuelle (imaginée par Poincaré) de parallaxes négatives, nous avons le choix entre deux ensembles théoriques tenables, à savoir :

• l’ensemble {théorie actuelle de la lumière selon laquelle celle-ci se meut en ligne droite + géométrie non euclidienne} et ;
• l’ensemble {nouvelle théorie de la lumière selon laquelle celle-ci ne se meut pas en ligne droite + géométrie euclidienne} ;
  tandis que l’ensemble {théorie actuelle de la lumière selon laquelle celle-ci se meut en ligne droite + géométrie euclidienne} est réfuté.

51En fin de compte, soutient Poincaré, le choix pour l’une ou l’autre des géométries est une affaire de convention. Une géométrie particulière n’est pas soit vraie soit fausse, ou soit en accord avec l’expérience ou en désaccord avec l’expérience : « […] que doit-on penser de cette question : La géométrie euclidienne est-elle vraie ? Elle n’a aucun sens » [48].

52Cette conclusion peut également être tirée de l’analyse d’une expérience de pensée, devenue célèbre, proposée par Poincaré dans son article de 1895 [49]. Il imagine un monde renfermé dans une sphère où la température diminue graduellement lorsqu’on s’éloigne du centre, pour atteindre le zéro absolu à la limite du monde, c’est-à-dire au niveau de la sphère. Il imagine, en outre, que tous les corps se dilatent de manière équivalente de sorte que la longueur de toute règle est proportionnelle à la température absolue. Ainsi, plus un corps est éloigné du centre, plus il devient petit. De même, plus une règle est éloignée du centre, plus elle devient petite. Par conséquent, un habitant de ce monde, qui mesurerait la longueur d’un objet avec une règle, trouverait toujours le même résultat lorsque l’objet est déplacé. S’il construit la géométrie comme un groupe de déplacements de corps solides qui ne se déforment pas lors d’un déplacement, il constaterait expérimentalement que les géodésiques sont courbes et serait conduit à décrire la structure de l’espace physique au moyen d’une géométrie non-euclidienne – en l’occurrence, au moyen de la géométrie de Lobatchevski.

53L’interprétation de cette expérience de pensée n’est pas évidente. Dans le passage mentionné, Poincaré s’appuie sur elle pour soutenir que des habitants d’un tel monde, dont nous pouvons très bien imaginer l’existence, seraient habitués à une géométrie non-euclidenne, de même que nous le sommes à une géométrie euclidienne. Plus fondamentalement, selon nous, il laisse entendre implicitement que le choix de l’une ou l’autre géométrie n’est pas imposé, mais simplement suggéré par l’expérience (ou « guidé » par l’expérience, pour reprendre une expression qu’il emploie souvent dans d’autres passages). Dans notre monde, l’expérience suggère une géométrie euclidienne, tandis que dans l’autre monde imaginaire, l’expérience suggèrerait une géométrie non-euclidienne. Mais dans les deux mondes, il reste possible d’opter pour une autre géométrie, au prix de la révision d’autres parties de nos théories physiques. Dans le monde imaginaire, les habitants pourraient opter pour la géométrie euclidienne en invoquant l’existence de champs de force causant le rétrécissement des volumes.

4 – Discussion

54L’analyse menée ici permet de mettre en lumière l’existence d’un lien étroit entre les réponses apportées par Poincaré aux deux questions « D’où tirons-nous la représentation commune de l’espace physique ? » et « Quelle est la géométrie qui décrit adéquatement la structure de l’espace physique ? ». D’une part, ses deux réponses sont l’occasion pour lui de développer une et même position conventionnaliste cohérente. D’autre part, la mise en évidence du caractère conventionnel de la géométrie euclidienne dans le domaine de la physique constitue, pour lui, un argument de poids pour illustrer le caractère conventionnel de la structure euclidienne de notre représentation commune de l’espace physique.

55Le conventionnalisme que Poincaré élabore à partir de l’étude des rapports entre la géométrie et l’espace n’est identifiable ni à une variante d’empirisme ni à une variante de néokantisme. Cependant, il possède à la fois un aspect empiriste et un aspect aprioriste. L’aspect empiriste intervient à deux niveaux. Premièrement, notre représentation commune de l’espace, selon Poincaré, a pour source les sensations. Deuxièmement, le choix de la géométrie qui décrit adéquatement l’espace physique est guidé par les résultats d’expériences. S’agissant de l’aspect aprioriste, il peut être décrit en ces termes : les scientifiques imposent aux phénomènes une structure géométrique particulière parmi les multiples structures possibles qu’ils ont forgées au moyen de leur entendement.

56L’influence de Poincaré sur ses contemporains et les penseurs qui poursuivront après lui la réflexion sur les rapports entre la géométrie et l’espace est très grande. Il convient toutefois de mentionner au moins deux critiques pouvant lui être adressées. La première concerne le rôle de l’expérience. Poincaré soutient que, quelles que soient les données empiriques, nous pouvons toujours choisir la géométrie de notre choix pour décrire l’espace physique. Or, si effectivement il existe toujours, par principe, une liberté de choix entre plusieurs géométries possibles, l’ensemble des résultats d’expériences dont nous disposons aujourd’hui rend le choix de certaines géométries quelque peu artificiel. En particulier, il est vrai que la géométrie euclidienne peut en principe être maintenue malgré l’existence de résultats expérimentaux qui, de prime abord, nous poussent à l’abandonner. Considérons, par exemple, la mesure de la déviation de rayons lumineux par un champ gravitationnel. Cependant, ce maintien n’est possible qu’au prix de changements d’autres parties de la physique. Pour tenir compte de la déviation des rayons lumineux par un champ gravitationnel, il faudrait par exemple invoquer l’existence de nouveaux champs de force. Comme l’écrit Max Jammer, de tels champs de forces n’ont pas été observés et font figure de « fiction » [50]. Dans la mesure où ces changements théoriques sont motivés, non par l’expérience, mais par une volonté de maintenir la géométrie euclidienne, ils peuvent être perçus comme étant artificiels. En d’autres termes, selon nous, l’expérience s’avère être plus contraignante ou suggestive que ne le soutient Poincaré.

57La seconde critique porte sur l’application du critère de simplicité invoqué par Poincaré pour opérer le choix entre plusieurs ensembles théoriques. D’après lui, au regard de ce critère de simplicité, c’est la géométrie euclidienne qui est et sera probablement toujours retenue. Cette idée, d’après certains commentateurs tels que Lawrence Sklar, est considérée comme le « point le plus faible » de la conception de Poincaré [51]. La géométrie euclidienne peut éventuellement être considérée comme plus simple que les géométries non-euclidiennes – quoique ce point même est contesté par certains [52]. En revanche, l’ensemble {théorie actuelle de la lumière selon laquelle celle-ci se meut en ligne droite + géométrie riemannienne} peut être considéré comme plus simple que l’ensemble {nouvelle théorie de la lumière selon laquelle celle-ci ne se meut pas en ligne droite + géométrie euclidienne}. Ainsi, si l’expérience impose de choisir entre ces deux ensembles théoriques, le critère de simplicité devrait nous inciter à abandonner la géométrie euclidienne en faveur de la géométrie riemannienne. Certains commentateurs estiment que Poincaré échappe dans une certaine mesure à cette critique. Ainsi, Scott Walter écrit que « la commodité de la géométrie euclidienne n’est pas un dogme chez Poincaré, mais plutôt une expression de sa confiance dans la stabilité de la base empirique, et dans la puissance explicative des principes de la physique classique » [53]. Pour le moins, il peut être reproché à Poincaré de ne pas préciser clairement à quels éléments s’applique le critère de simplicité : à la partie mathématique des théories physiques ou aux théories physiques dans leur ensemble. Comme le souligne Anastasios Brenner, « il y a un flottement notoire dans l’appréciation de la simplicité, et il convient de définir plus précisément ce concept », ce que fera notamment Rudolf Carnap après Poincaré [54].