Relations de cointégration intra et inter-individuelles

16Dans une telle représentation, on peut envisager deux types de relations de cointégration. On peut tout d'abord envisager l'existence de relations de cointégration parmi les variables du vecteur x, que l'on pourrait qualifier _it de relations de cointégration intra-individuelles. Tout comme en séries temporelles, on dit qu'il existe une ou plusieurs relations de cointégration dans le vecteur x si et seulement si il existe une ou plusieurs combinaisons _it linéaires des variables x_it^{j( )} qui soient stationnaires. Formellement, pour l'individu i, il existe r_i relations de cointégration intra-individuelles si et seulement si :

17Formellement, si l'on souhaite tester (ou estimer) à la fois des relations de cointégration entre des variables différentes observées pour un même individu et des relations de cointégration faisant intervenir des variables observées sur plusieurs individus, la solution consiste à considérer le vecteur empilé x_t des variables individuelles. Pour simplifier, supposons que l'on considère le même nombre de variables endogènes pour tous les individus, i.e. k k i =. On dit qu'il existe au total r relations de cointégration intra et/ou inter individuelles si et seulement si :

18Naturellement, l'approche qui consiste à tester la cointégration en prenant en compte les éventuelles relations inter-individuelles apparaît comme la plus séduisante dans de nombreuses problématiques économiques. Une telle approche permettrait en effet par exemple de définir des tendances stochastiques au niveau international, régional, etc., suivant le panel considéré. Malheureusement, une telle approche en système « complet » n'est possible sur le plan technique que pour des panels de dimension individuelle relativement modérée. Par exemple, l'estimation d'un simple modèle Var d'ordre 1 en système complet implique d'estimer k N 2 2 paramètres à partir de NT observations. Dès lors, une telle approche n'est techniquement possible que si l'on considère un panel où la dimension temporelle T est largement supérieure à la dimension individuelle N, ce qui n'est généralement pas le cas dans les panels macroéconomiques. Ainsi, pour ces raisons, rares sont les modèles proposés qui considèrent un système complet (full system representation) autorisant d'éventuelles relations de cointégration inter-individuelles [7].

Hétérogénéité / homogénéité des relations de cointégration

19Une autre problématique spécifique à la cointégration en panel est celle de l'homogénéité ou de l'hétérogénéité des paramètres de la relation de long terme et plus généralement de la représentation VECM. Commençons par nous intéresser à la question de l'homogénéité de la relation de long terme avant, dans un second temps, de nous intéresser à la question de l'homogéneité de la représentation VECM dans son ensemble.

La relation de long terme

20Admettons que l'on exclut l'existence de relations linéaires entre les variables I(1) appartenant à des individus différents, et que, par conséquent, l'on exclut l'existence de relations de cointégration inter-individuelles. Formellement, cela revient à imposer la nullité des matrices ? pour i j?. Supposons également que pour _ij chaque individu parmi les k variables endogènes I(1) il existe r relations de cointégration intra-individuelles.

21_i La matrice ? de la représentation VECM est alors bloc diagonale et peut s'écrire sous la forme :

où ? désigne la matrice des vecteurs de cointégration de l'individu i et ? est la matrice des coefficients _ii d'ajustement à ces relations de long terme pour l'individu i. Si ? ? i N= ? =, ,...,1 on parle alors de relations de i cointégration homogènes, dans le cas contraire on parle de relations de cointégration hétérogènes (Phillips et Moon, 1999). L'hypothèse d'homogénéité de la relation de cointégration est parfois l'expression d'une contrainte théorique, comme par exemple dans le cas de la parité des pouvoirs d'achat. Dans ce cas, la relation de long terme est la même pour tous les pays, tandis que les forces de rappel à cette relation de long terme, i.e. les ? _i peuvent être différentes d'un pays à l'autre. En revanche, dans d'autres cas, cette hypothèse peut être plus discutable comme par exemple lors de l'estimation d'une fonction de production de long terme sur un panel international [8] (Canning et Pedroni, 1999) et cela même si les ajustements à cette structure productive homogène de long terme sont eux supposés hétérogènes.

22Plusieurs remarques s'imposent ici. Tout d'abord, l'hypothèse de relation de cointégration homogène implique naturellement que les vecteurs de cointégration aient la même dimension pour tous les individus, i.e. dim( ) ( , ), ,...,? k r i N= ? =1. Autrement dit, un modèle de cointégration homogène [9] implique que les rangs de _i cointégration soient les mêmes pour tous les individus, i.e. r r i N= ? =, ,...,1. Enrevanche, dans un modèle de i cointégration hétérogène, rien n'impose a priori que le rang de cointégration pour l'individu i soit identique à celui de l'individu j. On peut donc avoir par exemple des individus pour lesquels il existe des relations de cointégration parmi les k variables endogènes et d'autres pour lesquels il n'en existe pas. À l'extrême limite, on pourrait concevoir un modèle de panel de cointégration hétérogène où n'existeraient des relations de cointégration parmi les k variables que pour un seul individu. Toutefois, en l'état actuel de la recherche, les tests de cointégration et les représentations VECM autorisant des relations de cointégration hétérogènes (Groen et Kleibergen, 2003) imposent généralement, eux aussi, une contrainte d'homogénéité sur le rang de cointégration. Ainsi, dans le cas d'un panel à relation de cointégration hétérogène, on suppose que tous les individus ont le même nombre de relations de cointégration mais que les paramètres des vecteurs de cointégration peuvent être différents d'un individu à l'autre, i.e. r r i = et ? ?( , ) /i j_{i j} ? ?.

23La deuxième remarque porte sur l'estimation des paramètres d'une relation de cointégration hétérogène. Phillips et Moon (1999) montrent que dans ce cas, l'estimateur pooled obtenu en estimant (à tort) un modèle totalement homogène converge à la vitesse N vers une quantité définie comme un coefficient moyen de long terme (long run average coefficient). Les propriétés asymptotiques de l'estimateur pooled dans le cas d'une cointégration hétérogène (tant dans la vitesse de convergence que la forme du coefficient moyen de long terme) sont donc similaires à celles que l'on obtient dans le cas d'une régression fallacieuse. Notons que ce coefficient moyen de long terme vers lequel converge l'estimateur pooled ne correspond pas (sauf cas particulier) à la moyenne des N vecteurs individuels de cointégration ? ?=₌ ? ( / )1₁ ?_ii^N.

Dépendances inter-individuelles

25Tout comme dans le cas des tests de racine unitaire, les premiers tests de cointégration proposés en panel (en particulier les tests de Pedroni, 1995,1997; voir infra) excluaient a priori non seulement l'existence de relations decointégration inter-individuelles, mais plus généralement l'existence detoute dépendance entre lesindividus. Naturellement cette hypothèse d'indépendance entre les individus est peu crédible dans de très nombreuses applications empiriques, et notamment dans le cas de panels de variables macroéconomiques. La question se pose alors de savoir comment spécifier l'existence de dépendances entre les individus dans une représentation VECM.

26La première façon évidente de spécifier ces dépendances serait d'envisager explicitement des relations de cointégration inter-individuelles dans un système complet. Si l'on exclut cette solution qui pose plusieurs problèmestechniques, lesdépendances entrelesindividus du panelpeuvent êtrespécifiéesde différentesfaçons. Groen et Kleibergen (2003) envisagent ainsi la possibilité d'une corrélation des résidus des relations de cointégration pour différents individus sans spécifier de forme particulière pour cette relation. Dans ce cas, cette dépendance se traduit par une matrice de variance-covariance? dans la représentation VECM (équation 1) non diagonale. Une telle spécification correspond alors à une notion de dépendance contemporaine ou de causalité instantanée inter-individuelle.

27Une autre spécification possible des liens entre individus dans les relations de cointégration consiste à utiliser des représentations à facteurs communs (Bai et Ng, 2001; Dees, di Mauro, Pesaran et Smith, 2005). Afin de mieux comprendre les enjeux associés à cette question de la spécification des dépendances inter-individuelles, considérons la représentation à facteurs communs du vecteur de variables endogènes x x x it it itk =( ,..., )'( ) ( )1 proposée par Dees, di Mauro, Pesaran et Smith (2005) et Breitung et Pesaran (2005). On admet que x_it peut s'écrire sous la forme suivante :

28Admettons que les facteurs communs inobservables f_t et les composantes individuelles w_it sont intégrés d'ordre un. Si l'on suppose en particulier que w f i0 0 0= = et que ?_{0 0} 0= =v_i, on obtient alors :

29De plus, en l'absence de tendances stochastiques communes aux N individus, i.e. ? ( )1 0=, les k variables endogènes observées pour l'individu de référence i sont cointégrées si la matrice propre à cet individu, ? ( )1, est _i non nulle et admet un rang strictement inférieur à k. Dans ce cas, il existe rang [ ( )]? 1 tendances stochastiques _i « communes » aux k variables mais spécifiques à l'individu i du panel. Dit autrement, parmi les k tendances stochastiques s spécifiquesàl'individu i, il existe rang [ ( )]? 1 tendancesstochastiques indépendantes. Chaque _iti individu peut dans ce cas avoir un nombre de tendances communes différent suivant le rang de ?_i ( )1.

30Dans une telle spécification, le lien entre deux individus i et j i? du panel peut provenir de trois sources. Premièrement, cette dépendance peut provenir d'un ensemble de facteurs communs observables d_t et/ou de la composante déterministe du modèle. Bien évidemment, en pratique, cela pose le problème de l'identification ex ante de ces facteurs communs. Dans leur application, Dees, di Mauro, Pesaran et Smith (2005) considèrent ainsi un ensemble de variables macroéconomiques comme le revenu et l'inflation des pays n'appartenant pas à l'ensemble géographique figurant dans le panel, le prix du pétrole, etc.

31Deuxièmement, la dépendance inter-individuelle peut être spécifiée sous la forme d'un ensemble de tendances stochastiques communes à l'ensemble des N individus du panel. Plus précisément, le lien entre les variables endogènes x et x peut provenir d'un ensemble de n m? tendances stochastiques communes [12] parmi les m _itjt composantes non stationnaires ? ( )1 s_t des facteurs communs inobservables, où n rang= [ ( )]? 1. Par exemple, ces n tendances stochastiques communes peuvent s'interpréter comme des tendances stochastiques internationales ou régionales indépendantes dans le cas d'un panel macroéconomique.

32Enfin, troisièmement, la dépendance entre individus peut être spécifiée tout simplement au travers d'une corrélation des composantes stationnaires des facteurs communs, i.e. ?^* ( )L_t ?. Chaque vecteur de variables x_it dépendant d'un ensemble de m composantes stationnaires communes, on retrouve une dépendance entre les individus du panel.

33Naturellement, c'est le choix du test de cointégration qui conditionne le schéma de dépendance (ou d'indépendance) inter-individuelle retenu même si peu de tests de cointégration, encore aujourd'hui, intègrent les dépendances inter-individuelles.

Notions de convergence

34Comme nous l'avions déjà mentionné dans le cas de la littérature sur les tests de racine unitaire (Hurlin et Mignon, 2005), l'étude des propriétés asymptotiques des estimateurs des paramètres d'une relation de cointégration (ou d'une régression fallacieuse) en panel pose le problème de la notion de convergence utilisée. Rappelons qu'en économétrie de panel, il existe plusieurs concepts de distribution asymptotique (Phillips et Moon, 1999). On distingue tout d'abord la convergence dite séquentielle, pour laquelle on suppose que les dimensionsconvergent dansuncertainordre. On raisonnedans un premiertemps à N fixe(ou T) etl'on faittendre T (ou N) vers l'infini, puis l'on fait tendre N (ou T) vers l'infini. C'est souvent l'approche la plus simple pour dériver les lois asymptotiques, mais ilconvient d'être prudentavec ce typede résultats car ils peuvent parfois être différents lorsque l'on renverse l'ordre de convergence ou lorsque les deux dimensions tendent simultanément vers l'infini. Dans la seconde approche, dite convergence le long d'une diagonale, on fait tendre N et T vers l'infini simultanément sous l'hypothèse que T = T(N) est une fonction monotone de N. Par exemple, on peut supposer que le ratio T/N converge vers une constante c non nulle. Bien évidemment, l'inconvénient de cette approche réside, d'unepart, dans lecaractère spécifique dela fonction T(N) quipeut conditionner les résultatset, d'autre part, dans le fait que les dimensions ( / )N T d'un panel peuvent ne pas correspondre, et de loin, à la relation T = T(N) postulée. Latroisième approche, la plus généralemaisaussila plus difficileà utiliser, consisteà supposer que N et T tendent vers l'infini sans supposer une quelconque relation entre T et N. Dans les tests que nous présenteronspar la suite, laconvergenceséquentielleconsidérée estla suivante :T ? ? suivi de N ? ?.

35La prise en compte de ces différentes notions spécifiques aux panels nous permet à présent de décrire les conséquences de l'absence de cointégration, i.e. de la régression fallacieuse.

Les tests de Pedroni

46Pedroni (1995,1997) a proposé divers tests visant à appréhender l'hypothèse nulle d'absence de cointégration intra-individuelle à la fois pour des panels homogènes et hétérogènes. Les valeurs critiques figurant dans ces travaux étant relatives à la présence d'un seul régresseur dans les relations de cointégration, Pedroni (1999, 2004) propose une extension au cas où les relations de cointégration comprennent plus de deux variables. Tout comme les tests de racine unitaire de Im, Pesaran et Shin (2003), les tests de Pedroni prennent en compte l'hétérogénéité par le biais de paramètres qui peuvent différer entre les individus. Ainsi, sous l'hypothèse alternative, il existe une relation de cointégration pour chaque individu, et les paramètres de cette relation de cointégration ne sont pas nécessairement les mêmes pour chacun des individus du panel. La prise en compte d'une telle hétérogénéité constitue un avantage indéniable puisqu'en pratique, il est rare que les vecteurs de cointégration soient identiques d'un individu à l'autre du panel. Dans ces conditions, imposer de manière erronée une homogénéité des vecteurs de cointégration aurait pour conséquence un non rejet de l'hypothèse nulle d'absence de cointégration, alors même que les variables sont cointégrées (voir Pedroni, 1998).

47La mise en œuvre des tests nécessite d'estimer en premier lieu la relation de long terme :

• pour les tests basés sur la dimension intra, l'hypothèse alternative s'écrit : ? ? i i= < ?1;
• pour les tests basés sur la dimension inter, l'hypothèse alternative s'écrit : ?_i i< ?1.

48On constate ainsi que le test basé sur la dimension inter est plus général au sens où il autorise la présence d'hétérogénéité entre les individus sous l'hypothèse alternative.

49Les sept tests développés par Pedroni sont les suivants :
• Tests basés sur la dimension within (panel cointegration statistics) :
(i) Test non paramétrique de type rapport de variance (panel v ? statistic) :

50Afin de mettre en œuvre les différents tests, Pedroni suggère une procédure en cinq étapes [17] : Étape 1. On estime la relation de long terme (31) et on récupère les résidus estimés ?_it. Étape 2. Pour chaqueindividu, on différencie la série y_it et oncalcule les résidusissusde la régression suivante : Étape 3. On estime la variance de long terme L_i112 de ?_it.

51Étape 4. En utilisant les résidus estimés ?_it, on choisit la régression appropriée :

• pour les tests non paramétriques, à l'exception des tests de type t de Dickey-Fuller Augmenté, on estime la relation ? ? ? it i it it u= + ?1. On calcule la variance de long terme de u_it, notée ?_i2. On en déduit alors
  
  
  
  où s_i2 désigne la variance de u_it;
• pour les tests paramétriques, on estime la relation ^* u_it, notée ^* s_i2.
  
  

52. On calcule la variance de Étape 5. À l'aide des calculs réalisés dans les étapes précédentes, il est possible de construire l'une des sept statistiques présentées.

53Pedroni (1995,1997) a montré que, sous des normalisations appropriées basées sur des fonctions de mouvements browniens, chacune des sept statistiques suit une loi normale centrée réduite pour T et N suffisamment importants :

54Afin de comparer les différents tests entre eux, synthétisons les résultats issus des simulations effectuées par Pedroni (1997,2004). Concernant tout d'abord la taille des tests, les conclusions peuvent être résumées comme suit :

• dans le cas où N est fixe ( N = 20) et où T varie, les tests du type t • statistics exhibent une taille relativement importante (en excès de l'ordre de 10% par rapport à la taille théorique pour T = 40), alors que les autres tests sont caractérisés par une taille inférieure à la taille théorique;
• dans le cas oùT est fixe ( T =250) et N varie, les tests panel v • statistic et panel? • statistic affichent une taille au dessus de la taille théorique pour de faibles valeurs de N, alors que la taille des tests du type t • statistics est très proche de la taille théorique, même pour de faibles valeurs de la dimension individuelle;
• lorsque N et T varient à des taux différents ( N T=1 2^/ à N T=5 6^/ ), le test panel? • statistic converge vers la taille théorique très rapidement pour N T=3 4^/ et plus lentement pour N T=1 2^/. Pour ce qui est du test? •group statistic, les meilleurs résultats sont obtenus pour N T=5 6^/.

55Concernant à présent la puissance des tests, les simulations menées par Pedroni montrent que :

• lorsqueles résidus de la relationde cointégration suivent un processus AR (1) avec un coefficient autorégressif égal à 0,9, N est fixe( )N =20 et T varie, la puissance de tous les tests augmente rapidement lorsque Taugmente; le test atteignant la puissance maximale le plus lentement étant le test group ? • statistic. Les autres tests atteignent la puissance de 100% pour une valeur de T égale à 50;
• lorsque le coefficient autorégressif augmente et prend la valeur 0,95, les résultats précédents restent globalement valables, même si la taille T nécessaire pour atteindre la puissance maximale est désormais plus élevée. À titre d'exemple, le test panel v • statistic atteint une puissance égale à 100% pour T = 90;
• enfin, dans le cas où le coefficient autorégressif est très proche de 1 (0,99), c'est-à-dire que l'hypothèse alternative est très proche de l'hypothèse nulle, la taille de l'échantillon nécessaire pour atteindre une puissance égale à 100% est nettement plus importante : T = 350 pour le test panel v • statistic et T = 500 pourle test panel? • statistic.

Les tests de Kao

56Kao (1999) a également proposé des tests de l'hypothèse nulle d'absence de cointégration : test de type Dickey-Fuller et test de type Dickey-Fuller Augmenté. Contrairement aux tests de Pedroni, Kao considère le cas particulier où les vecteurs de cointégration sont supposés homogènes entre les individus. En d'autres termes, ces tests ne permettent pas de tenir compte de l'hétérogénéité sous l'hypothèse alternative et ne sont par ailleurs valablesquepourunsystème bivarié (i.e. lorsqu'unseul régresseur estprésentdanslarelationde cointégration). Soit w v it it it =( , )'µ unprocessusbivariéde moyennenulleetde matrice devariance-covariance delongterme :

57Le premier test proposé est un test de type Dickey-Fuller appliqué aux résidus estimés ?_it de (46) :

58Le second test proposé par Kao (1999) est un test de type ADF basé sur la régression suivante :

59Afin d'évaluer la performance des cinq tests proposés, Kao (1999) a mené des simulations de Monte Carlo. Celles-ci font globalement ressortir que pour de faibles valeurs de T (T = 10), les écarts à la taille théorique sont importants pour les 5 tests et disparaissent lorsque T augmente à 25 (quelle que soit la valeur de N). De manière générale, les tests DF_?^* et DF_t^* conduisent à de meilleurs résultats que les 3 autres tests en termes de taille. Concernant la puissance, les tests ne sont pas très performants pour T = 10 et de faibles valeurs de N, ce qui est conforme à ce que l'on attendait. Pour T = 25, le test DF_?^* domine le test DF_t^* ainsi que le test ADF, quelle que soit la valeur de N. Les simulations de Kao (1999) mettent donc globalement en avant que les tests DF_?^* et DF_t^* sont plus performants que les tests DF_?, DF_t et ADF en termes de taille et de puissance.

Le test de Bai et Ng

60Bai et Ng (2004) ont proposé un test de racine unitaire [19] qu'ils ont étendu au cas d'un test résiduel afin de tester l'hypothèse nulle d'absence de cointégration. La méthodologie générale sous-jacente au test repose sur la décomposition de chaque série du panel en la somme d'une composante déterministe, d'une composante commune (ensemble de facteurs communs) et d'une composante individuelle (idiosyncratique) [20]. La série ainsi définie est alors non stationnaire si un ou plusieurs facteurs communs est non stationnaire, ou si la composante individuelle est non stationnaire, ou encore si les deux composantes sont non stationnaires. C'est précisément la possibilité qu'un ou plusieurs facteurs communs soit intégré qui permet au test de Bai et Ng de tenir compte de la présence possible de corrélations entre les individus [21].

61Soient e_it les résidus estimés de la relation :

62On note DF i ec ( )et DF i e? ( ) les tests de Dickey-Fuller appliqués aux résidus estimés respectivement des modèles (55) et (56). Supposons que r facteurs soient intégrés d'ordre 1, avec r r r<, désignant le nombre total de facteurs. Tester l'hypothèse nulle de racine unitaire dans de e revient alors à tester l'hypothèse nulle d'absence _it cointégration entre y et les r facteurs. Dans ces conditions, Bai et Ng (2004) montrent que DF i ec ( ) et DF i e? ( )

63_it ont les mêmes distributions asymptotiques que les tests de cointégration proposés par Phillips et Ouliaris (1990) avec r régresseurs, auxquels on rajoute une constante et une tendance déterministe dans la relation de cointégration, respectivement. Les simulations menées par Bai et Ng (2004) mettent en évidence que la taille du test est proche de la taille théorique de 5%.

Une note sur les tests de cointégration multiple

64Les tests que nous avons précédemment présentés reposent sur l'existence d'au plus une relation de cointégration pour chaque individu du panel et supposent que l'ensemble des variables intervenant dans cette relation est a priori connu. Il est cependant possible, à l'instar des travaux de Johansen (1991) en séries temporelles, de recourir à une approche vectorielle multiple de la cointégration en panel. Une telle approche permet de détecter l'existence de plusieurs relations de cointégration (cointégration multiple), sans supposer que le rang de cointégration est a priori connu. Dans cette catégorie de tests figurent notamment ceux proposés par Larsson et alii (2001), Groen et Kleibergen (2003) ou encore Breitung (2005).

65Groen et Kleibergen (2003) ont ainsi suggéré l'utilisation de statistiques du rapport de vraisemblance afin de développer un test du rang de cointégration dans des modèles à correction d'erreur vectoriels individuels, à la fois pour des vecteurs de cointégration homogènes et hétérogènes [22]. Il convient de souligner que, même si la présence de relations de cointégration intra-individuelles hétérogènes est autorisée, le rang de cointégration est supposé êtrelemême pourtouslesindividus du panel. Le testde Groenet Kleibergenest basé sur letestde la trace proposé par Johansen (1991,1995). Soit LR r k( | ) la moyenne des N statistiques de la trace individuelles :

66L'intérêt de ces tests est qu'ils permettent de détecter des relations de cointégration multiples au sein du panel considéré. Toutefois, comme le souligne Banerjee (1999), des recherches futures dans ce domaine sont nécessaires car divers résultats ne sont pas clairement établis. Tel est notamment le cas pour le test de Larsson et alii (2001) dont le théorème principal est supposé et non démontré.

Simulations : quelques résultats

69Il existe assez peu detravaux proposantune comparaisondesdiverstestsde cointégrationen termes de tailleet de puissance. Nous nous proposons ici de résumer les principaux résultats issus des simulations de Monte Carlo menées par Gutierrez (2003). Ce dernier compare la puissance des tests de Pedroni (1999), Kao (1999) et de Larsson et alii (2001). Il considère diverses valeurs pour la dimension individuelle N et la dimension temporelle T (10,25,50 et 100) et fait également varier le pourcentage relatif au nombre de relations qui sont cointégrées (de 0 à 100% relations de cointégration). Les résultats obtenus par Gutierrez (2003) peuvent être synthétisés comme suit :

• la puissance de tous les tests croît avec la dimension temporelle, pour une valeur fixe de N.
• lorsque la dimension temporelle est fixée et faible (T = 10) et que N augmente, les tests de Kao sont plus puissants que les tests de Pedroni. Pour ces derniers, la puissance reste relativement faible, même lorsque la dimension individuelle est égale à 100;
• les tests de Kao dominent ceux de Pedroni en termes de puissance lorsque la dimension temporelle est faible, et les tests de Pedroni sont plus puissants que ceux de Kao lorsque T augmente. Ainsi, plus la taille de l'échantillon augmente, plus les tests de Pedroni dominent ceux de Kao;
• concernant le test de cointégration multiple de Larsson et alii (2001), la puissance et la taille sont proches pour de faibles valeurs de T. La puissance du test tend à augmenter lorsque la dimension temporelle croît, mais les tests de Kao et de Pedroni restent toujours plus puissants.

70De façon générale, Gutierrez (2003) montre que la puissance de tous les tests tend à augmenter lorsque N et T augmentent et lorsque le nombre de relations de cointégration au sein du panel croît.

Estimation et inférence

71Bien que les estimateurs MCO des vecteurs de cointégration soient super-convergents, leur distribution est asymptotiquementbiaiséeetdépendde paramètres denuisance associésà laprésence decorrélationsérielle dans les données (voir Kao et Chen, 1995; Pedroni, 1996 et Kao et Chiang, 2000). De tels problèmes, existant dans le cas traditionnel univarié, se posent également pour les données de panel et ont tendance à être encore plus marqués en présence d'hétérogénéité (voir notamment Kao et Chen, 1995).

72Pour estimer des systèmes de variables cointégrées, tout comme pour effectuer des tests sur les vecteurs de cointégration, il est en conséquence nécessaire d'utiliser une méthode d'estimation efficace. Diverses techniques existent, comme par exemple la méthode FM-OLS (Fully Modified Ordinary Least Squares) initialement proposée par Phillips et Hansen (1990) ou la méthode des moindres carrés dynamiques (Dynamic Ordinary Least Squares, DOLS) de Saikkonen (1991) et Stock et Watson (1993). Dans le cas des données de panel, Kao et Chiang (2000) ont montré que ces deux techniques conduisaient à des estimateurs asymptotiquement distribués selon une loi normale de moyenne nulle. Des résultats similaires sont obtenus par Pedroni (1996) et Phillips et Moon (1999) pour la méthode FM-OLS.

La méthode FM-OLS

73Cette procédure, étudiée notamment par Pedroni (1996), permet de tenir compte des problèmes d'endogénéité du second ordre des régresseurs (engendrée par la corrélation entre le résidu de cointégration et les innovations des variables I(1) présentes dans la relation de cointégration) et des propriétés d'autocorrélation et d'hétéroscédasticité des résidus. Considérons le système cointégré suivant [27] :

74L'estimateur FM-OMS ?_FM de ? est donné par (voir Pedroni, 1996) :

75Il convient par ailleurs de noter que Pedroni (1996) a proposé une extension des tests de racine unitaire afin de tester des contraintes sur les coefficients estimés de la relation de cointégration, c'est-à-dire sur les vecteurs de cointégration. Ces tests reposent sur la méthode FM-OLS qui présente l'avantage de donner des résultats plus robustes que laméthode usuelle des MCO lorsque les échantillonssont depetite taille; lessimulations de Pedroni (1996) montrant que les tests de racine unitaire basés sur la méthode des MCO sont biaisés en petit échantillon et tendent à rejeter trop fréquemment l'hypothèse nulle (voir également Phillips et Moon, 1999). En outre, comme nous l'avons précédemment mentionné, les distributions asymptotiques des estimateurs basés sur la méthode FM-OLS sont non biaisés et ne dépendent pas des paramètres de nuisance.

La méthode DOLS

76L'approche DOLS a été initialement suggérée par Saikkonen (1991) dans le cas des séries temporelles, puis adaptée par Kao et Chiang (2000) et Mark et Sul (2003) au cas de données de panel. Cette technique consiste à inclure des valeurs avancées et retardées de ?x dans la relation de cointégration, afin d'éliminer la corrélation _it entre les variables explicatives et le terme d'erreur :

77Pour conclure, mentionnons que Kao et Chiang (2000) se sont intéressés aux propriétés en échantillon fini des estimateurs des MCO, FM-OLS et DOLS. Leur étude met en avant que l'estimateur des MCO souffre d'un important problème de biais et que l'estimateur FM-OLS ne permet pas d'améliorer de façon substantielle l'estimateur des MCO. Ils concluent alors en termes de supériorité de l'estimateur DOLS dans l'estimation des relations de cointégration sur données de panel.